逆矩阵的三种常用求法

段桂花

【摘要】矩阵理论是高等代数的一个主要内容，求逆矩阵是矩阵理论的一个重点，也是一个难点。求逆矩阵的常用方法有：定义法，初等变换法，公式法。

【关键词】逆矩阵 定义法 初等变换法 公式法

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）11-0150-01

矩阵理论是高等代数的一个主要内容，求逆矩阵是矩阵理论的一个重点，也是一个难点。求逆矩阵的常用方法有：定义法，初等变换法，公式法。本文就简单地来介绍逆矩阵的三种常用求法。

一、定义法

定义：设A是数域F上的一个n阶矩阵。若F上存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则A称为可逆矩阵（或非奇异矩阵），B称为是A的逆矩阵。记为A-1=B.即有AA-1=A-1A=I

例1.设A为n阶矩阵，满足ax2+bx+c=0（c≠0），即aA2+bA+cI=0.证明：A是可逆矩阵，并求出A的逆矩阵。

证明：因为aA2+bA+cI=0且c≠0

例3.设A=cosa -sinasina cosa，求A-1。

解：A=cosa -sinasina cosa=cos2a+sin2a=1。

A11=（-1）1+1cosa=cosa，A12=（-1）1+2sina=-sinaA21=（-1）2+1（-sina）=sina，A22=（-1）2+2cosa=cosa所以有A？鄢=A11 A21A12 A22=cosa sina-sina cosa A-1==cosa sina-sina cosa

逆矩陣的求法有很多，本文只是列举了常用的三种方法。由于逆矩阵在高等代数中的应用比较广泛，所以要会用不同的方法求逆矩阵。要根据具体的可逆矩阵的特点去选择不同的方法去求其逆矩阵。

参考文献：

[1]《高等代数》张禾瑞，郝鈵新编，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]《高等代数-导教、导学、导考》徐仲等编.西安：西北工业大学出版社，2004.3.

[4]《高等代数辅导与习题解答》黄光谷等编.武汉：华中科技大学出版社，2004.3.

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