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探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧

2017-04-17郭可欣

课程教育研究·上 2017年11期
关键词:准线抛物线焦点

郭可欣

【摘要】在高中教学中,数学是一门很重要的学科,抛物线的知识又是在高考中占据着很大的比例,很多同学都被抛物线中的难点搞得晕头转向,针对于抛物线的难点,我们要清楚的把握住抛物线的焦点和准线位置,并根据抛物线的定义准确的把我抛物线的性质,其性质包括坐标轴的交点、交点的数量、坐标的方向等问题。本文主要是以平时作业中的易错点为出发点,来探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧。

【关键词】抛物线 焦点 准线 坐标

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章編号】2095-3089(2017)11-0147-02

1.引言

掌握相关数学解题方法,为同学们数学的学习奠定基础,当掌握一定的解题技巧后,做题效率也会事半功倍,本文通过对平时例题和考试中的抛物线题型进行分析,抛物线的部分在考试中分别占有一定的比重,而在进行此类的题目解答时,通常都只是凭着死记硬背,缺少一定的解题方法和技巧。

抛物线的定义:平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F叫做抛物线的焦点;定直线l叫做抛物线的准线;定义焦点到准线的距离为焦准距,用p表示(p>0)。

其表现方法有参数表示和标准方程表示等等,抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线,抛物线在核实的坐标变换下也可以看成是二次函数的图像。

2.抛物线中常见的参数

抛物线的标准方程为:右开口抛物线:y2=2px(p>0)。左开口抛物线:y2=2px (p<0);上开口抛物线:y=x2/2p (p>0);下开口抛物线:y=x2/2p (p<0)

在抛物线的公式中,二次项系数a决定其图像开口的方向和大小。

当a>0时,抛物线的图像开口向上;当a<0时,则向下向下开口。

当|a|越大,图像的纵坐标数值与横坐标数值比越大,则二次函数图像与y轴的夹角越小,开口越小;反之则开口越大。

对称轴的位置则由一次项系数b和二次项系数a共同决定。

当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴的x小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号。

同理,当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴的x要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号。

所以对于对称轴的位置有左同右异来表示,同异便是说的a、b的正负值,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。

事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

3.距离说明抛物线的解题方法和技巧

例:若动点M到F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程。

分析:本题若设动点的坐标为(x,y),根据题意,列出等式■=x+5-1,则化简教复杂,如果能把题中的距离不等化为距离相等,则根据抛物线定义,立即可得到方程。

解:本题等价与:“若动点M到(4,0)的距离与它到直线x+4的距离相等,求点M的轨迹方程。”设点M的坐标为(x,y),根据抛物线的定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线,因为P\2=4.所以P=8,又因为焦点在X轴的正半轴上,所以点M的轨迹方程为Y2=16x。

在解决抛物线问题时,解法相对比较灵活,综合性强,解决时,可以从不同角度入手,化难为易,从简单的点入手,会使得学生更容易解决抛物线的相关问题。

方法比答案更重要。有教学经验的老师都知道,当学生来问问题的时候,不要把现成的答案告诉学生,而是要把做题的方法分析给学生听。有了好的学习方法,就如同学生们有了一件法宝,这件法宝可以带领学生翻山越岭,渡过千难万险。因此学习时,尽可能多的去思考,学习起抛物线的相关知识时,能够得心应手,事半功倍的解决抛物线问题。

综上,想要在高中数学中学好抛物线,第一,就要对基本的概念和公式进行掌握,第二,进行巩固和拓展,通过做大量的习题,以达到巩固的效果,例题是考察学生的基础知识和概念的运用,所以要重视例题的作用,最后,进行抛物线的深化,可以做一些有深度的习题,进行更深层次的挖掘,循序渐进,是学习知识的最佳途径。

参考文献:

[1]郝文丽,王洪涛,许霞,王鲜华,刘庆. 一种用于讲解抛物线知识点应用的高中数学教具[P]. 河南:CN203786960U,2014-08-20.

[2]裘莹莹. 上海高中生对抛物线概念的理解[D].华东师范大学,2013.

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