题组复习，提高高三数学一轮复习效率

江苏省常熟市尚湖高级中学(215500) 余志峰 ●

题组复习，提高高三数学一轮复习效率

江苏省常熟市尚湖高级中学(215500) 余志峰 ●

本文论述了在高三数学复习过程，如何进行题组复习，以提高复习效率．

高三数学;题组复习;复习效率

目前，在江苏高中教学改革后，课时大量减少，而课堂作为教育教学的主阵地，我们数学老师应当向课堂要质量，在课堂上引导学生自主学习、探索、反思和总结．但很多老师在高三复习时，总是按照知识内容的顺序把学生学过的概念、公式等知识重复一遍，然后就进行“题海战术”．这种做法，使学生感到乏味，且不能提高复习效益．若能站在系统的高度，把学过的知识模块化、整体化、问题化，精心编创题组，通过一题多问、一题多变、一题多解、多题一解，就会起到以点带面，触类旁通的复习效果．

一、一题多问

在学生一定的知识基础上，可以将章节的知识融于一道题中，以一题多问的形式，引导学生在解决问题的过程中巩固知识和方法，提升解题能力，可以收到较好的复习效果．

在高三一轮复习三角函数的图象和性质时，我设计如下题组:

例1 已知函数f(x)=asin2ωx－b sin2ωx+c(a＞0，ω＞0)的周期为π，图象经过点(0，1)，且f(x)的最大值是2，最小值是－2．(1)求f(x)的表达式，并指出振幅、初相; (2)用五点法作出一个周期内的图象;(3)分别求出当f(x)取得最大值和最小值时相应的x的集合;(4)写出对称中心坐标和对称轴方程;(5)求f(x)的单调区间(变:在［0，2π］上的单调区间);(6)说出f(x)的图象可由 y= sinx的图象经过怎样的变换得到;(7)解不等式f(x)＞若射线y=2(x≥0)与f(x)的图象交点的横坐标由小到大依次为x1，x2，…，xn，…求的值，并求S=x1+x2+…+x10的值．(变:射线y=1(x≥0))

分析前六问可直接得到答案;第(7)问可利用函数单调性和数形结合来解不等式;第(8)问是解三角方程和数列相结合的一道题，其变式得到的是一个分段数列，综合性较强．

在复习立体几何时，我设计如下题组:

例2 如图1，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AD=2BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别是AD、PD的中点．(1)求证:CF∥平面PAB;(2)设AC、BD交于点O，试在PD上确定一点Q，使得OQ∥平面PAB;(3)求证:PA⊥平面ABCD;(4)点M是CD上一动点，试证:平面PAM⊥平面ABCD;(5)若平面PAB∩平面PCD=l，问:直线l能否与平面ABCD平行?请说明理由;(6)若AB=BC= 1，PA=2，求四棱锥P－ABCD的体积和表面积．

分析第(1)问可用线线平行或面面平行来证;第(2)问想证明OQ∥PB，先要确定点O的位置;第(3)问可由两个面面垂直得到PA⊥AB，PA⊥AD;第(5)问是立体几何中典型的用反证法解决的题目;第(6)问体积和表面积不难算得．通过这一题组，学生对立体几何的知识和方法就有了一个整体性的把握和认识．

二、一题多变

在复习过程中，通过对例题的深入挖掘，加工改造，探索知识的内在联系，让学生横向联想，发现解题的一般规律，解一题带一片，锻炼学生思维的灵活性、开放性和创造性，进而让学生掌握蕴涵其中的数学思想方法．

在复习不等式、方程恒成立和有解时，我引入如下题组:

例3 (1)若不等式x2－2x+3+m＞0在［0，3］上恒成立，求m的取值范围．(2)若不等式x2－2x+3+m≥0在［0，3］上恒成立，求m的取值范围．(3)若不等式x2－2x+3+m＞0在(0，3)上恒成立，求m的取值范围．(4)若不等式x2－2x+3+m＞0在［0，3］上有解，求m的取值范围．(5)若方程x2－2x+3+m=0在［0，3］上有解，求m的取值范围．(6)若方程x2－2x+3+m=0在［0，3］上无解，求m的取值范围．(7)若方程x2－2x+3+m=0在［0，3］上有唯一解，求m的取值范围．(8)若方程x2－2x+3+m =0在［0，3］上有两解，求m的取值范围及两根之和．(9)若方程mx+3+n=0在［0，3］上恒成立，求m、n的值．

分析 这一整组题，很好地锻炼了学生分离参数、函数思想、数形结合等思想方法，借助图形帮助学生理清不等式恒成立和有解的区别和联系，不等式有解和方程有解的区别和联系．

在复习解析几何里“距离之和最小”、“距离之差最大”问题上，我引入如下题组:

例4 在直线l:3x－y－1=0上求一点P，使得:(1)点P到A(4，1)和B(3，4)的距离之和最小;(2)点P到A (4，1)和C(0，4)的距离之差最大．

分析 例4主要是一个对称问题．问距离之和最小时，通常要把两点放到直线的异侧;问距离之差最大时，通常要把两点放在直线的同侧．例5先要判断点A在双曲线内，双曲线上的点P又要分在左支、右支上，求PA+ λPF2的最小值时，若λ=1，通常转化为到另一焦点的距离;若，通常转化为到相应准线的距离．

三、一题多解

数学复习离不开解题，解题不在于多，而在于精．精选典型问题，引导学生从不同角度观察、联想，探索多种解决问题的途径，是数学复习的重要一环，这样有利于学生从题海中解脱出来，通过解一题，通一片，提高一步，收到以少胜多，事半功倍的效果．

例6 已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)=0，求的最大值．

分析 学生一般多能到这一步:c2－(a+b)·c=0，但以下错误很普遍:c=0或c=a+b．正确的思路有以下几条:

思路2 坐标法

设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x，y)，则a－c=(1－x，－y)，b－c=(－x，1－y)，由(a－c)·(b－c)=0得(1－x)(－x)－y(1－y)=0，即x2+y2－x－y=0．问题转化为求圆x2+y2－x－y=0上的点与原点的距离的最大值．

思路3 图解法

分析 本题是三角函数和分式函数的复合，初次接触本题大部分学生会感到束手无策，即使在高三一轮复习，情况也不会有太大改观．下面给出几条常用且能想到的思路．

思路1 导数法求单调性

思路2 利用三角函数的有界性

思路3 数形结合

精解一题，寻求多种解法，不仅能开拓思路，还能培养学习兴趣和提高创新能力．这样做并非鼓励简单的罗列多种解法，而要注意在解后反思哪种方法是最优解法，最容易记住的方法，使能力在比较中形成与提高．通过一题多解的探索，既复习了知识，训练了方法，又发展了学生的思维．

四、多题一解

多题一解，培养学生思维的广阔性和变通性．从千变万化中寻找共同性，形成系统性、灵活性、创新性的思维，也会使学生的思维空间在扩大中“缩小”，让学生在层出不穷中进行比较、对比、分析，从而加深对知识的理解和掌握，获得新知识、新方法、新体验，把握解题规律．

在复习求二次函数在定区间上的最值或值域时，我引入以下题组:

例8 求解下列各题:(1)求函数y=－x2+4x－2，x∈［0，3］的值域．(2)求函数的值域．(3)设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)，，求f(x)的最值，并给出取最值时对应的 x的值．(4)求函数 y= sinxcosx+sinx+cosx的最大值．(5)已知，求siny－cos2x的最大值与最小值．(6)若数列 {an}是等差数列，d=2，a15=－10，求数列 {an}的前n项和的最小值．(7)设点A(a，0)，a∈R，求曲线y2=2x上的点到点A距离的最小值d．(8)已知椭圆左右顶点为A、 B，点P是椭圆C内的动点，且PA·PB=PO2，求的取值范围．

分析 这一组题，都可以转化为求二次函数在定区间上的最值问题，在很多问题的求解过程中都有灵活的应用．多题一解可以使学生懂得很多题目可以借助于同一核心知识来解决，只要将题目的内涵与外延挖掘透彻，进而灵活运用就可以了．多题一解的题组设计可以围绕某一重要的数学知识点，可以围绕某一重要的数学思想，也可以围绕某一基本方法的应用．

数学离不开解题，数学知识、方法、技能几乎完全是通过解题得到巩固、熟练和升华的．高三的一轮复习不同于高一、高二阶段，随着知识内容的进展，由单纯新授课转变到复习课，由单元知识的检测转化到全面知识的考查．因此，通过对重要知识点和重要方法技能的覆盖和辐射精心编创一题多问、一题多变、一题多解、多题一解的题组，使学生达到巩固知识、熟练技能，提高复习效率的目的．

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