与椭圆相关的高考定值问题的求解策略

江苏省海州高级中学(222000) 谢 身 ●

与椭圆相关的高考定值问题的求解策略

江苏省海州高级中学(222000) 谢 身 ●

椭圆相关的定值是高中数学的难点，也是高考数学的重点考查内容．本文以几道近几年的高考题为例，说明与椭圆相关的定值问题的求解策略，以供参考．

高考数学;椭圆相关定值;求解

一、设直线方程，求目标点坐标或线段长度

1．设一条直线方程，运用韦达定理整体求解

(1)求椭圆的方程;

(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．

(ⅱ)求证:PF1+PF2是定值．

例2 (2011年高考数学四川卷理科第21题)椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点 F (0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．

点评 通过设出一条直线的方程，将单个目标点转换成两个相关点(直线与椭圆的两个公共点)，再由方程联立消元，运用韦达定理进行整体运算，求出目标点坐标或是相关的线段长度，可以简化运算过程，克服了列出方程(组)却解不出来的困难(计算本身就是例2求解的难点)．

2．设两条直线方程，由对偶性代换配对求解

例3 (2012年高考数学上海卷理科第22题)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2－y2=1．

(1)(2)略;(3)设椭圆C2:4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证:O到直线MN的距离是定值．．

点评 对于成对出现的目标点，常利用对偶性设出两条直线的方程，分别与曲线方程联立，通过代换或是同理得到两个式子进行配对运算，可以起到整体求解、降低运算难度的效果．类似的考题有2010年高考数学山东卷理科第21题．

二、设相关点坐标，求目标点轨迹方程

1．设相关点坐标，设而不求整体代入，求出目标点轨迹

(1)求该椭圆的标准方程;

2．设相关点坐标，代入求点坐标消参，求出目标点轨迹

例5 (同例1)

一般地，与椭圆相关的定值问题的求解，归根结底是运用方程的思想，将问题转化为解方程(组)的问题，体现出解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质．解决的途径是通过引入适当的参数合理地表示所求证的量，再消参后得出常数或是求得相应的轨迹方程，以算代证．这一类问题的求解对于转化、计算都有着很高的要求，需要在平时的解题过程中重视并且学会进行转化、计算，讲求根据条件、结论进行合理设参、合理表示、合理变形、合理计算．

G632

B

1008－0333(2017)06－0043－02