一类具有饱和发生率和治愈率的SEIR模型研究

2017-04-17杨彩虹胡志兴

郑州大学学报（理学版） 2017年2期

关键词：预防接种平衡点分支

杨彩虹, 胡志兴

(北京科技大学数理学院北京 100083)

一类具有饱和发生率和治愈率的SEIR模型研究

杨彩虹, 胡志兴

(北京科技大学数理学院北京 100083)

饱和发生率; 饱和治愈率; 垂直传染; 预防接种; SEIR; 后向分支

0 引言

目前为止已经建立的传染病模型有SI, SIS, SIR, SIRS, SEIR, SEIRS,SVIR等.其中SEIR模型与SIR模型的区别在于SEIR模型对人口的分类上出现了潜伏者E.文献[1-4]分别对SIR,SVIR,SEIR模型进行了研究，并且考虑了不同的治愈函数、垂直传染、预防接种等因素的影响.本文研究了一类新的具有饱和发生率与饱和治愈率的SEIR传染病模型.

1 模型建立

考虑到接触传播、垂直传播、预防接种等因素的影响，建立模型(1)，

化简得

(2)

2 平衡点存在性分析

(3)

将式(3)代入系统(2)的第一个等式得

AI2+BI+C=0，

(4)

其中：B=ωβ(bm(1-k)-pδ)+(b+ω+ε)(αb+β)(pδ+γ+ξ)+kb(b+ω+ε)(pδ+γ)；A=k[ωβ(bm-pδ)+(b+ω+ε)(pδ+γ)(β+αb)]>0；C=b(b+ω+ε)(pδ+γ+ξ)(1-R0).

由上面的分析可以得定理1.

定理1 1) 当R0>1时, 系统(2)有一个地方病平衡点P2=(S2,E2,I2).

3) 当R0<1, 若B≥0时，系统(2)没有地方病平衡点.

3 局部稳定性与后向分支

3.1 无病平衡点P0处的局部稳定性

定理2 当R0<1时, 无病平衡点P0是局部渐近稳定的，当R0>1时，无病平衡点P0是不稳定的.

证明系统(2)在无病平衡点P0处的雅可比矩阵为

3.2 后向分支

定理3 当B<0时，系统(2)在R0=1处出现后向分支(见图1).

为了进一步得到后向分支出现的条件，考虑以φ为参数的一般系统

(5)

假设对于任意φ，点0都是系统(5)的平衡点, 特别地，对φ=0，f(0,φ)≡0.

由文献[5]中定理4.1可知，当φ=0时出现跨临界分岔, 即当a1<0且a2>0时，在φ=0处会出现前向分支；当a1>0且a2>0时，在φ=0处会出现后向分支.令ξ为系统(2)的分支参数, 令S=x1,E=x2,I=x3，则系统(2)变成

(6)

(7)

v1w1+v2w2+v3w3=1.

(8)

定理4 若R1>1，系统(2)在R0=1处会出现后向分支；若R1<1，系统(2)在R0=1处会出现前向分支.(以ξ为参数的分支图见图2)

图1 系统在R0=1处出现后向分支Fig.1 The backward bifurcation diagram when R0=1

图2 以ξ为分支参数的后向分支图像Fig.2 The backward bifurcation diagram of I1andI2versusξ

4 全局稳定性

证明由文献[6]引理1.2可知，选择序列tk→∞,τk→∞，(k→∞)，使得E(tk)→E∞，I(Tk)→I∞,

引理3[8]设ψ在Rn上是可求长的简单闭曲线,则存在σ>0,使得对任意的φ∈∑(ψ，Rn),都有Sφ≥σ.

令xf(x)∈Rn，x∈D⊂Rn，是一阶连续可微的函数.考虑自治微分方程

(10)

证明易知,如果不等式对z成立,那么对-z也成立, 下面分情况进行讨论.

以上8中情况都有D+‖z‖≤-η‖z‖，z∈R3.

由定理6和定理7可以得到定理8和定理9.

定理9[9]若max{ω+ξ-b,βm+pδ+γ+ξ-b-ω-ε,(b+β)m+ξ-pδ-b-ω-ε}<-η成立,则可以得到下面结论：1) 如果系统没有地方病平衡点,则系统(2)所有的解都趋于无病平衡点.

2) 当R0>1时,如果E(0)>0,则系统(2)的所有解都趋于地方病平衡点P2.

3) 当R0<1时,如果存在两个地方病平衡点,则系统(2)的所有解要么趋于无病平衡点,要么趋于地方病平衡点P2.

5 结论

[1] HU Z X, MA W B, RUAN S G. Analysis of SIR epidemic models with nonlinear incidence rate and treatment [J]. Mathematical biosciences,2012,238(1):12-20.

[2] 侯文涛，王辉, 胡志兴,等. 具有治疗和疫苗接种的SVIR模型的稳定性研究[J].郑州大学学报(理学版), 2015, 47(4):38-42.

[3] LI X Z, ZHOU L L. Global stability of an SEIR epidemic model with vertical transmission and saturating contact rate [J].Chaos, solitons and fractals,2009，40(2):874-884.

[4] ZHOU X Y,CUI J G. Analysis of stability and bifurcation for an SEIR epidemic model with saturated recovery rate [J]. Communications in nonlinear science and numerical simulation,2011,16(11):4438-4450.

[5] CASTILLO-CHAVEZ C, SONG B J. Dynamical models of tuberculosis and their applications[J].Mathematical biosciences and engineering MBE, 2004,1(2):361-404.

[6] THIEME R H. Persistence under relaxed point-dissipativity(with applications to an endemic model)[J]. SIAM Journal of mathematical analysis,1993,24(2):407-435.

[7] LI Y, MULDOWNEY J S. On bendixson′s criterion[J]. Journal of differential equations,1993,106(1):27-39.

[8] HIRSCH M W. Systems of differential equations that are competitive or cooperative.VI: A localCrclosinglemmafor3-dimensionalsystems[J].Ergodictheoryanddynamicalsystems，1991,3(11):443-454.

[9]JULIENA,DRIESSCHEPVD.Globalresultsforanepidemicmodelwithvaccinationthatexhibitsbackwardbifurcations[J].SIAMJAPPLMath,2003,64(1):260-276.

(责任编辑：方惠敏)

Analysis of an SEIR Model with Saturated Incident Rate and Treatment Rate

YANG Caihong, HU Zhixing

(SchoolofMathematicsandPhysics,UniversityofScience&TechnologyBeijing,Beijing100083，China)