对计算山体极限高度的探讨——第33届全国中学生物理竞赛预赛第12题的剖析

靳玉保

对计算山体极限高度的探讨
——第33届全国中学生物理竞赛预赛第12题的剖析

靳玉保

（焦作市基础教育教学研究室，河南焦作 454000）

本文通过对第33届全国中学生物理竞赛预赛第12题的分析，在考虑高度对重力加速度的影响下，山体极限高度的计算思路会发生相应变化，计算结果也会有较大差异．

山体高度；重力加速度；物理竞赛

2016年第33届全国中学生物理竞赛预赛落下了帷幕，试卷注重理论联系实际，注重模型的建立．但就本试卷上的第12题，笔者认为解法不够严谨，下面谈谈自己的一些看法．

原题．一固体星球可近似看作半径为R（足够大）的球形均匀的固体，构成星球的物质的密度为ρ，引力常量为G．

（1）考虑星球表面山体的高度．如果山高超出某一限度，山基便发生流动（可认为是山基部分物质熔化的结果，相当于超出山的最高限的那块固体物质从山顶移走了），从而使山的高度减低．山在这种情况下其高度的小幅减低可视为一小块质量的物质从山顶移至山底．假设该小块物质重力势能的减少与其全部熔化所需要的能量相当，山体由同一种物质构成，该物质的熔化热为L，不考虑温度升到熔点所需要能量，也不考虑压强对固体熔化热的影响．试估计由同一种物质构成的山体高度的上限．

（3）月亮是一个固体星球，其密度和半径分别为3．34×103kg／m3和1．7×106m．假设月亮全由SiO2构成，SiO2的熔化热为2．4×105J／kg．已知G＝6．67×10－11N·m2／kg2．估计月球上的山体高度与月球半径比值的上限．

此题能很好地考查学生的审题能力、建模能力，是一道难得的好题．解决此题的关键是突破第（1）问，第（2）、（3）是第（1）问导出结果的变形和代入数据．我们不妨先看一下参考答案．

原解析：（1）由于星球是均匀球体，且山体的高度h远小于球体的半径R．按题模型有mghmax＝mL．

式中hmax是由同样物质构成的山体高度上限，m是会熔化掉的那一小块物质的质量．在星球表面由引力产生的加速度为，式中M是星体的质量．

命题者在设计此题时，都是以星球半径足够大为模型进行求解的．如果认为星球半径足够大（即无限大），则山的高度可以忽略，重力加速度g也就不会随山的高度而变化．然而笔者认为，如果星球半径足够大，则星球半径与山高就不具有可比性，这就与本题的第（2）问星球半径最小是山高的10倍相矛盾．可见，星球对山体而言不能看作无限大．高度为的山体顶端与底端的重力加速度应该有明显的差别，山体高度对重力加速度的影响自然就不能忽略，因此解决此题的思路也必将发生变化．由于重力加速度随着高度将发生变化，故重力势能的表达式mgh将不能使用．我们只好使用天体的重力势能表达式Ep＝－，式中r是物体到天体球心的距离，M是天体的质量，m是物体的质量，并取无限远处重力势能为0．

鉴于以上分析，若考虑天体表面高度对重力加速度的影响，此题解法如下．

（1）由于星球是均匀球体，重力势能的表达式为式中r是物体到天体球心的距离，按题模型有

式中hmax是由同样物质构成的山体高度上限，m是会熔化掉的那一小块物质的质量．

根据题设有

由（2）、（3）式得

故该星球上山体的高度满足

（2）按题设要求，

由（4）、（6）式得

（3）将（5）式变形得

代入题给数据得

通过以上分析可以看出，笔者计算的山体最大高度是0．098倍的天体半径，而原参考答案计算的山体最大高度是0．09倍的天体半径．两者计算结果相差将近10%，显然是不能忽略的．那么为什么笔者计算的山体高度会更高呢？这是因为随着高度的增加，重力加速度g减小，同样高度笔者计算的某物体重力势能就比原参考答案计算的重力势能要小，而要让山基部分同等质量的物质熔化，在重力加速度g减小的情况下，只有增加山的高度才能使山顶物质的重力势能达到应有的大小，从而使山基部分物质熔化．

2016－09－04）