基于复杂网络理论的桁架结构可靠性分析

钱子菡，游世辉

(湘潭大学 土木工程与力学学院，湘潭 411105)

基于复杂网络理论的桁架结构可靠性分析

钱子菡，游世辉

(湘潭大学 土木工程与力学学院，湘潭 411105)

提出了一种基于复杂网络理论的桁架结构的可靠性分析方法.建立了桁架结构无权无向网络模型，运用复杂网络对其可靠性进行分析，在无权无向网络的基础上，建立更符合桁架结构工作状态的加权有向网络模型，基于结构能量网络并以构件的可靠指标的倒数为权值建立加权有向网络模型，进而计算该加权有向网络模型中各个节点的特征参数，通过量化不同构件可靠指标变化对桁架结构可靠性的影响，结合各个节点参数确定桁架结构中的关键构件.基于此方法可以对桁架结构进行优化设计.

复杂网络；结构能量网络；桁架结构；可靠性分析

0 引言

桁架结构是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构.桁架结构因其自身良好的优点被广泛应用于桥梁、车站、机场等大跨度建筑中，随着桁架结构的大量使用，人们对其可靠性也提出了更高要求.可靠性研究源于上世纪初期，对于单个构件的可靠性分析方法已经有中心点法、验算点法、近似概率法等[1].结构体系可靠性作为衡量结构系统安全与否的重要依据，是结构可靠性研究领域的热点和难点，虽然结构体系可靠性研究得到了一定的成果，但是在实际工程中的应用仍未成熟.

近些年，复杂性科学，特别是复杂系统的可靠性问题成为研究的热点.复杂网络理论是从系统角度对各种复杂系统进行可靠性建模与分析的一种重要工具[2].复杂网络的可靠性研究最早可追溯到1955年LEE对电信交换网络的研究，伴随复杂网络的可靠性研究不断深入和完善，该方法已经广泛用于交通网络[3]、通信网络、电力网络、高铁牵引系统[4]等复杂系统的可靠性研究中.

桁架结构与网络具有相似的构造特征，吴炳焜等[5]运用网络理论对桁架结构进行了研究.然而，以往运用网络对桁架结构的研究仅限于结构内力研究[6]，然而并未涉及桁架结构系统的可靠性研究.本文尝试在前人的基础上借鉴复杂网络理论中可靠性分析方法对桁架结构进行可靠性分析.本文提出基于桁架结构能量流动网络和构件可靠指标建立桁架结构的加权有向网络模型，通过分析在不同构件可靠指标下桁架结构加权有向网络模型的网络参数的变化情况，找到影响桁架结构可靠性的关键构件，由此提高桁架结构的可靠性.

1 复杂网络静态参数

网络科学的发展大致可分为规则网络、随机网络、复杂网络三个阶段[7]，伴随着这三类网络模型的出现，对于现实世界的网络描述越来越来精确.网络模型可以运用图论的知识来描述，图是由若干个节点和连接其中某些节点的线组成，可以用数学语言表示为，节点由非空集合V={v1,v2,···,vn}表示，连边由非空集合E={e1,e2,···,en}表示，图则由这两个集合组成表示为G.若将图中节点等效为边，边等效为节点，则可得到该图的对偶图G′，本文以桁架结构对偶图为基础构建网络模型.用于分析复杂网络的参数有度分布、节点介数值、节点紧密度指标、聚类系数、平均路径等，用于研究网络可靠性的参数主要包括如下三个内容.

1.1 节点度及度分布

节点度[7]是网络中中最基本的拓扑参数，节点度记为k，节点度的定义为与该节点相搭接的边的数目.由定义可知，某节点度值越大就意味着该节点在某种意义上越“重要”.节点度分布用分布函数P(k)表示，它代表了在网络中随机抽取到度为k的概率为P(k).

1.2 节点介数指标

网络中所有节点之间的最短路径中经过该节点的最短路径数目与网络中最短路径总数的比值称为节点介数[7]，介数反映了相应的节点在整个网络中的作用和影响力，具有很强的现实意义，可表示为：

(1)

1.3 紧密度指标

某个节点到达网络中其它所有节点的最短距离之和的倒数称为该节点的紧密度指标[7]，紧密度值可以用于描述该节点通过网络对其他节点施加影响的能力,可表示为：

(2)

式中dij为节点vi到节点vj的最短距离.

2 基于无权无向网络模型的桁架结构可靠性分析

2.1 无权无向网络模型构建方法

(3)

式中aij为邻接矩阵的元素.

桁架结构由铰接点与杆件构成，从外观上具有图的特征[5].因此，将铰接点等效为网络节点，杆件等效为连边，即可得到桁架结构的等效网络模型G.由图G可以得到以杆件为节点，铰接为边的对偶图G′.本文以桁架结构的对偶图G′构建桁架结构无权无向网络模型.

按照上述方法，可将图1所示的桁架结构等效成图2所示的无权无向网络模型.

图1 桁架结构示意图

图2 桁架结构无权无向网络模型

2.2 桁架结构无权无向网络模型可靠性分析

网络效率E[3]是复杂网络中常用的脆弱性与可靠性分析的网络特征参数，网络效率值可以刻画网络传输信息或能量的强弱，其定义为任意两节点之间最短路径长度倒数和的平均值.可表示为：

(4)

式中dij为节点vi到节点vj的最短距离

网络效率值可以在一定程度上反映桁架结构的可靠性.在无权无向网络模型中，各个节点只有两种状态即正常和失效，则邻接矩阵同式3.假设桁架结构中的杆件分别失效并计算相应的桁架结构无权无向网络模型网络效率值，可以反映各个构件对桁架结构可靠性的影响，由此确定桁架结构中的关键构件.下面以图1所示桁架为例，详细阐述如何利用桁架结构无权无向网络模型进行可靠性分析.

通过计算得到的桁架结构无权无向网络模型的网络效率值变化曲线如图3所示.从图3可以发现当构件6失效时，桁架结构无权无向网络模型的网络效率下降幅度最大，说明构件6对桁架结构的可靠性影响最大.

图3 分别删除构件时网络模型的网络效率变化曲线

3 基于加权有向网络模型的桁架结构可靠性分析

上节所述的无权无向网络模型，只能模糊地反映桁架结构的可靠性，且该模型不能详细描述桁架结构工作时的状态.因此在本节将建立更符合桁架结构工作状态的加权有向网络模型.

3.1 桁架结构加权有向网络模型的构建

若图G中的边vivj与边vjvi对应的不是同一条边，则该网络图被称为有向网络.对于图G的每一条边e来说，都对应于一个实数W(e)表示两节点之间的关系程度，我们把W(e)称为e的权.加权有向图G的邻接矩阵A的定义如下

(5)

(6)

对图1所示的桁架结构内力进行计算，可得到其能量流动网络[8]，如图4所示.运用蒙特卡洛法并结合ANASYS中的概率设计模块APDL可靠结构中各个杆件的可靠指标[1]，桁架结构构件的随机变量参数情况如表1所示.

表1 桁架结构构件随机变量参数

按照上述方法，图1所示桁架结构对应的加权有向网络模型如图5所示.

图4 桁架结构能量流动网络

图5 桁架结构加权有向网络模型

3.2 桁架结构加权有向网络模型的可靠性分析

(1)桁架结构加权有向网络模型指标计算

经计算，图1所示桁架结构的加权有向网络模型相关指标结果如表2所示.

表2 网络模型中各节点参数

从表2可知，桁架结构加权有向网络模型中节点1的度值最大，说明节点1失效时受到直接影响的构件较多，节点1的紧密度值最大，由紧密值定义可知节点1通过网络对其他节点施加影响的能力最大，节点9的介数值最大，表示该网络中通过该节点的最短路径数目最多.由上述对各节点的参数计算可以知道节点1和节点9在网络中扮演着重要角色.

(2)桁架结构加权有向网络模型可靠性的分析方法

将试验一所得数据制成时间函数和上拉杆角度(如图5所示)、上拉杆垂直力(如图6所示)、上拉杆水平力(如图7所示)、右拉杆垂直力(如图8所示)、右拉杆水平(如图9所示)、左拉杆垂直力(如图10所示)及在拉杆水平力(如图11所示)，从上图可以看出，当毒饵喷撒机做提升试验时上拉杆角度在(32°～68°)的范围内。上拉杆垂直力在(0～7 285N)范围内；上拉杆水平力在(0～5 189N)范围内；右拉杆垂直力在(0～5 721N)范围内；右拉杆水平力在(0～5 575N)范围内；左拉杆垂直力在(0～5 238N)范围内；左拉杆水平力在(856～5 863N)范围内。

在加权网络中通过改变权值，并计算相应的网络效率值，即可对该加权网络进行可靠性分析.改变桁架结构中构件的可靠指标，并计算相应的桁架结构加权有向网络模型网络效率值，可以反映各个构件对桁架结构可靠性的影响，由此确定桁架结构中的关键构件.下面以图1所示桁架为例，详细阐述如何利用桁架结构加权有向网络模型进行可靠性分析.

(3)高可靠指标构件对桁架结构可靠性的影响

按现行结构设计规范，提高构件的可靠性可提高结构整体可靠性，但是盲目的提高构件可靠性会造成浪费.因此需要确定影响结构可靠性的关键构件并提高其可靠指标，才是提高结构可靠性的有效策略.

假设图1桁架结构中所有构件的可靠指标分别提升10%、30%和50%，对应的桁架结构加权有向网络模型网络效率值变化曲线如图6所示.从图6可以看出，当桁架结构中各个构件的可靠指标分别增大时，桁架结构加权有向网络模型的网络效率值都会呈现一定程度的上升，且当各个构件的可靠指标增大幅度越大，桁架结构加权有向网络模型网络效率值增幅就越大，说明提高构件的可靠指标可以提高桁架结构的可靠性，该结论与桁架结构实际状况相符.

下面分析单个构件对桁架结构可靠性的影响，通过对图6的进一步分析，可以发现即使所有构件的可靠指标按相同的幅度提升时，桁架结构加权有向网络模型的网络效率值增长幅度却有较大差异.其中，提升构件1、构件3和构件9的可靠指标使得该桁架结构的加权有向网络模型的网络效率值会得到较大幅度的提升，说明构件1、构件3和构件9是桁架结构中的关键构件.

4 结束语

本文提出了一种基于复杂网络加权有向网络模型的桁架结构可靠性分析方法.本文主要工作：

(1)运用图论知识，根据桁架结构特征将其转化为图，并依据其对偶图建立了以杆件等效为节点，以铰接为等效边的无权无向网络模型.

(2)运用复杂网络可靠性知识对桁架结构的无权无向网络模型进行了可靠性分析，寻找对其可靠性影响最大的构件.

(3)在桁架结构无权无向网络模型的基础上，根据结构能量流动网络[8]赋予网络方向，根据构件可靠指标的倒数来确定边的权值，由此构建出可以反映桁架结构实际工作情况的加权有向网络模型.

(4)通过计算网络模型中各个节点网络参数，分析了各个节点在网络中扮演的角色重要程度；借鉴复杂网络理论中的可靠性分析方法，量化了结构中不同构件可靠指标变化对结构可靠性的影响程度，从而确定结构中的关键构件，实现了桁架结构可靠性分析.

本文所提出的方法是将复杂网络理论应用于桁架结构系统可靠性分析的一种有意义的尝试，为桁架结构系统的可靠性分析提供了一种新思路.

[1] 鲁汉银. 结构中的构件可靠度分析方法研究[D].重庆大学硕士学位论文,2014.

[2] 郭 伟. 野战地域通信网可靠性的评价方法[J]. 电子学报,2000(1):3-6.

[3] 王云琴. 基于复杂网络理论的城市轨道交通网络连通可靠性研究[D].北京交通大学硕士学位论文,2008.

[4] 宗 刚,张 超,王华胜. 基于复杂网络理论的高速列车牵引系统部件可靠性研究[J]. 中国铁道科学,2014(1):94-97.

[5] 吴炳焜. 桁架网络的环路分析[J]. 西南交通大学学报,1986(1):17-31.

[6] 尹佳庆,田 石. 图论在结构分析中的应用[J]. 化工施工技术,1995(1):6-9.

[7] 刘 涛,陈 忠,陈晓荣. 复杂网络理论及其应用研究概述[J]. 系统工程,2005(6):1-7.

[8] 张雷明,刘西拉. 框架结构能量流网络及其初步应用[J]. 土木工程学报,2007(3):45-49.

Reliability Analysis of Truss Structure Based on Complex Network Theory

QIAN Zi-han, YOU Shi-hui

(College of Civil Engineering and Mechanics， Xiangtan University， Xiangtan 411105， China)

A reliability analysis for truss structure based on the complex network theory is presented in this paper, and a truss structure is illustrated as an example. At first, the unweighted network model of the truss structure is built, and the knowledge of complex network reliability is used to analyze it. Then the weighted and directed network model is built based on the unweighted network model. The weighted directed network model of the truss structure is builtd base on energy flow network and the reliability index so that parameters of each node of weighted directed network model can be calculated. Finally, the key components in the truss structure are defined by quantifying the influence of each component under different reliability indexes.

complex network; structure energy flow network; truss structure; reliability analysis

2016-05-13

国家自然科学基金项目(51375416)资助；湖南省教育厅创新平台开放基金项目(Z).

钱子菡(1990-)，男，硕士研究生；研究方向：工程力学与计算.

游世辉(1962-)，男，博士，教授，博士生导师，研究方向：工程力学与计算.

TU323.4

A

1671-119X(2017)01-0080-05