关于函数对称性的一些探讨

陆嘉玮

摘 要： 函数思想在高中数学体系中位置毋庸置疑，历年来高考也经常从各个方面考函数的思想，其中函数的对称性作为函数的重要性质一直是考察的重点。本文将首先介绍一下什么是函数的对称性，然后对不同函数对称性进行一些探讨，最后通过例子验证函数对称性的应用。

关键词：函数 对称性 轴对称 中心对称

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2017）02-0127-01

前言

函数思想作为我们高中数学学习的主线，广泛应用于我们的解题过程中，对称关系作为函数的一个主要性质，往往可以帮助我们使问题更简捷的获得解决。有调查表明：有80%以上的学生对数学中的对称性是有所了解的，但学生对于数学中对称性的认识还大都是一种自发的状态，处于潜意识的状态，认识比较简单，知识面很窄[1]。现今高考命题日益新颖，变形较多，这种浅显的认知现状使我们无法快速准确的利用对称性这一性质进行问题的解决。本文就这一现状对函数对称性的一些性质进行了探讨。

一、什么是函数的对称性

所谓函数的对称性一般体现在函数图像上，我们常见的函数对称性主要有两种：1.函数轴对称。如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。2.函数中心对称。如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

二、不同函数对称性汇总

高中阶段我们接触的函数类型众多，不同函数因为构成的不同所具有的对称性质也不尽相同。下面就对我们高中学习过程中涉及到的几类函数的对称性进行一下汇总：

1.常数函数：既是轴对称又是中心对称函数，与该直线垂直的直线均是它的对称轴，直线上的所有点均为它的对称中心。

2.一次函数：既是轴对称又是中心对称函数，与该直线垂直的直线均是它的对称轴，直线上的所有点均为它的对称中心。

3.二次函数：是轴对称函数，而不是中心对称函数，其对称轴方程式为x=-b/（2a）。

4.三次函数：三次函数中的奇函数是中心对称函数，对称中心是原点，其他的三次函数是否具备对称性需因题而异。

5.正弦函数：既是轴对称又是中心对称函数，其中（kπ，0）为其对称中心，x=kπ+π/2为其对称轴。由正弦函数变形而来的正弦型函数y=Asin（ωx+φ）同样既是轴对称也是中心对称函数，其对称中心的横坐标可以通过ωx+φ=kπ解出，纵坐标依然为零；其对称轴x可以通过ωx+φ=kπ+π/2解出。需要特别提一下，如果图像向上或向下平移，对称轴不会变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

6.余弦函数：既是轴对称又是中心对称函数，其中x=kπ为其对称轴，（kπ+π/2，0）为其对称中心，其变形函数可参考正弦函数解法。

7.正切函数：是中心对称函数，不是轴对称函数，它的对称中心为（kπ/2，0）；

8.反比例函数：既是轴对称又是中心对称函数，它的对称中心是原点，它的对称轴为y=x和y=-x。

9.幂函数：幂函数中的奇函数很显然是中心对称函数，它的对称中心是原点；幂函数中的偶函数则为轴对称函数，它的对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。

10.对号函数：是中心对称函数，不是轴对称函数，对号函数y=x+a/x（其中a>0）因为是奇函数所以是中心对称，它的对称中心是原点；很多同学误以为它的对称轴是在最值处，但举个简单的例子，我们画“√”时不会把两边画的一模一样，这样大家就好理解了。

11.绝对值函数：我们要说的绝对值函数主要是y=f（│x│）和y=│f（x）│这两类。前者显然是偶函数并且是轴对称，其图像关于y轴对称；后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，没有一个绝对的定论，例如y=│lnx│没有对称性，而y=│sinx│却仍然为轴对称函数。

12.指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称；对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

三、函数对称性的应用举例

学习知识的目的是为了应用，上面我已经就我们高中阶段经常遇到的函数类型在对称性上的一些规律进行了总结，下面举几个例子来展示一下函数对称性在具体解题中的应用。

例1[2].设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f （x） = x，则f （7.5 ） = （ ）

A. 0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

解析：∵y = f （x）是定义在R上的奇函数，∴其对称中心为点（0，0）；

又∵f （x+2 ）= -f （x） = f （-x），即f （1+ x） = f （1-x）， ∴直线x = 1是y = f （x） 对称轴，故y = f （x）是周期为2的周期函数；∴f （7.5 ） = f （8-0.5 ） = f （-0.5 ） = -f （0.5 ） =-0.5 ，故B选项为答案。

例2.函数y=4sin（2x-π/6）的图像的一个对称中心是（ ）

A.（π/12，0） B.（π/3，0） C.（-π/6，0） D.（π/6，0）

解析：三角函数的性质是每年高考必考的内容，由正弦函数是中心对称函数，且其对称中心是（kπ，0）可知，令2x-π/6=kπ（k？？）得出的x值即为正弦函数中心对称的横坐标，计算得x=kπ/2+π/12（k？？），取k=0时，x=π/12，故A选项为答案。

结论

对称性是函数的一项基本性质，不仅准确详细地刻画了函数各部分之间的关系，同时利用对称性也能巧妙解题[3]。作为一个高中生，本文简单的对函数对称性进行了一些论述，希望可以成为同学们解答相关问题的参考资料。

参考文献

[1]王小杭. 高一学生函数对称性的认知研究[D].华东师范大学，2008.

[2]李红伟. 函数对称性的探究[J]. 上海中学数学，2012，03：45-46.

[3]葛雯雯. 浅谈函数教学中的对称性问题[J]. 數理化解题研究，2016，30：31.