例谈高考数学中常见的解三角形问题

王江峰

(广东省深圳市福田区福田中学 518000)

高考试题命题方向的改革推进着全国高考命题方向的逐渐统一化，对于数学学科来说，其具有很强的逻辑性和推理性，而解三角形问题一直是高中数学的重要内容，也是高考命题方向的重点内容，其综合性极强，例如，该知识点常常与平面向量、不等式、三角函数以及立体几何和解析几何融合起来，题目能够不断的推陈出新，随机应变，实时地解决一些实际性的问题，也因此解三角形问题历年来成为高考命题的热点和重点话题以及成为高考考试的必考点.

一、解三角形的考点分析

数学中的“解三角形”事实上就是理清三角形的所有边和所有角之间的关系，即就是求解三角形的所有边和所有角的问题，而三角形中的正、余弦定理则是指解三角形问题时作为一个有力的工具出现的角色内容，又因为正余弦定理本身和三角形函数之间有着必要的相关性，彼此之间相互联系，因此，在三角形中求角、求边问题的涉及亦或判断三角形形状问题时，需要将其与三角形的“正、余弦定理”有效结合起来，包括两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数以及诱导公式等将三角函数之间的关系进行转变，最终多种关系相结合以进一步进行解三角形.而我们通过对历年高考题的进一步分析得到，高考试题中对解三角形知识点内容的分布和探讨发现其大部分涉及的是解三角形的面积、边和角等问题，有少部分则是涉及解三角形不等式及向量问题，综合高考试题的分析以及结合历年来解三角形问题的知识点分布状况来看，高考中重点考查的还是学生对综合知识的应用能力和分析问题的综合能力.

二、三角函数与正、余弦定理结合解三角形

结合三角函数与正、余弦定理之间解三角形的关系相结合来解三角形，题型看起来比较简单，但是题目考查所涉及的知识点内容却很广泛，特别是涉及三角函数中两角的和与差、二倍角的正、余弦以及正切公式等诱导公式的灵活应用是解三角函数问题中的难点内容，这其中解三角形时又存在一些隐藏的条件，像三角形的内角和整体为180度，以及三角形的性质问题，比如，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等.

例题赏析1 (2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图(此处图省略)，△ABC中，∠ABC=90°，其中AB=2，BC=1，又有P为△ABC内一点，并且∠BPC=90°.

(1)若给定条件PB=3，求PA的长度；

(2)若三角形中∠APB=150°，求tan∠PBA.

试题分析 依据题目有已知条件，我们分析思考，△PAB中利用余弦定理即可求解PA，然后利用三角形正弦定理得出tan∠PBA.

试题小结 题目考查的内容主要是学生对于三角形正弦以及余弦定理的理解及应用，并且又对一些简单的三角函数诱导公式作以分析和探讨.

三、不等式与解三角形结合

解三角形问题中涉及三角形求角、边、面积范围的问题时，就会涉及到三角形不等式问题相关知识的应用，比如最基本的不等式，“解三角形”中需要从研究分析三角形角与边的取值范围，充分考虑到三角形函数值符号以及三角形三个边的关系，有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，内含三角形内角和为180度，此时三角形所隐含的条件使其尽可能的缩小角于边的取值范围，以使得避免增根产生或“扩大”所求变量的取值范围.

例2 (2014课标全国Ⅰ，理16)有三角形的三个角A、B、C所对应的三个边分别为a、b、c，其中已知a=2，并且有(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，求三角形ABC面积的最大值.

试题分析 题目所给条件得已知(2+b)(sinA-sinB)=(c-B)sinC，边和正弦值都确定了，于是联想到利用正弦定理统一变量，然后观察化解后的形式以及余弦定理，根据公式转化求得cosA，然后利用面积公式S=bcsinA解出三角形面积的最大值.

试题小结 题目考查的内容主要针对学生对三角形正弦定理、余弦定理的理解及应用，以及二者的综合应用，解三角形与基本的不等式的结合.

四、三角形三边最值问题

考题实例：海中有一小岛周围有暗礁，海轮航行的方向为由西向东，这时望见海岛在北偏东70度的位置，航行后该岛位置在北偏东60度的位置，假若轮船不改变原来的航向继续前进，会不会有触礁的危险？

母题评析 题目考查的是三角形正余弦定理的应用与三角形有关的综合问题，也属于高考的常考题型.

思路方法 依据题目意思画出相关解题图形，这时为岛所在的位置，亦是该游轮航行前后的位置，故根据题意判断需要计算C点到直线AB的距离CD以此来判断游轮是否会触礁，再利用正弦定理计算出三角形ABC的中BC的值，然后再通过解直角三角形得到CD.

方法总结

1.三角形的最值问题针对三角形中边的代数式的最值问题，假若是三角形中最大或最小的边长问题，则首先需要根据三角形的角来判定三角形的三个边的关系，然后利用三角形的正余弦定理进行求解，倘若是关于两条边以上齐次代数式，能够求得两边之和以及其积为常数，这时就可以利用基本的不等式来求得最值，可以利用基本不等式求最值，也可以利用三角形的正余弦定理的转化来确定对应的角来计算三角函数的最值，一般在解题过程中会将常用题中的定理条件以及三角形内角和定理转化为一个角的三角函数式的最值问题，进一步搬用三角形三角函数的公式套用解决某一范围内的三角函数问题，进一步利用三角函数的图象以及相关的条件性质来解决三角函数三边之间的最值问题，解题时需要注意消除角的范围和留下角的范围的确定.

2.三角形中三角函数的最值问题中，倘若是三角形的某个角的余弦最值问题，则解题时常常用余弦定理化边然后利用基本不等式求最值，如果含有多个角的三角函数值问题兼并，一般解题时会运用题中的条件以及三角形内角和定理将其转化为一个角的三角函数最值问题，再进一步利用三角函数公式套用解决和最后结合利用三角函数的函数图象解决最终问题.

高中阶段的“解三角形”问题可谓数学学科参考的重点内容甚至要点内容，历年以来高考中此方面的题型安排也是年覆一年地出现，这也足以说明了高考对解三角形问题部分知识点内容的重视程度，换言之，其应该被教师和学生给予一定程度的重视.

[1] 陈君.解读高考中的三角函数综合题[J].中学数学教与学， 2011.

[2] 吕振现.高考中的“解三角形”[J].中学生数理化，2012.