高中阶段平均值不等式的几点应用

贺安全

【摘要】均值不等式是高中数学学习的重点内容，在很多领域都有十分重要的应用，是高考试题的一个热点。笔者根据多年的教学经验，浅谈了高中阶段平均值不等式的几点应用，具有一定的参考意义。

【关键字】均值不等式；高中；应用；最值

中图分类号：G633.6

均值不等式是高中数学教材的一个重点和难点内容，在这部分的学习中，均值不等式的应用主要有三个方面，用于求最值，用于比较式子大小和用来证明不等式的成立。应用均值不等式解题时需要注意均值不等式的使用条件，掌握变形技巧，这样才能得心应手的应用均值不等式。作为一名数学教育工作者，我在教学时不断摸索和总结高效的教学方法，我发现通过开展总结性的教学专题，有利于取得更好的教学效果。例如，在教学均值不等式这部分时，我对均值不等式的各种应用情况和应用技巧进行总结，使同学们形成一个系统的框架，有利于加深同学们的理解，熟练的进行应用。

一、灵活配凑，求出最值

应用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙变形求最值、结合待定系数法求最值三个层次。解题时的技巧是要学会灵活的配凑，配凑方法主要有拆项配凑法、加倍裂项配凑法、平方裂项配凑法、添项配凑法、换元配凑法和待定系数配凑法等。

我在对这一应用类型进行教学时，将每种配凑方法都用对应的几道典型例题进行讲解，让同学们体会配凑方法的选取与应用。例如，已知x>-1<-1，求函数y=（x+5）（x+2）/（x+1）的最小值。解题时，我们选取了拆项配凑法，在各因式中分别配凑出（x+1），借助于裂项解决问题。因为x+1>0，所以y=[（x+1）+4][（x+1）+1]/（x+1），进而化简为y=[4/（x+1）]（x+1）+5，化简到这一式子即可应用均值不等式，y≥5+2√（x+1）[4/（x+1）=9，当且仅当x=1时成立，y的最小值为9。通过对典型例题进行分析与讲解，同学们掌握了拆项配凑法求最值的解题方法。另外，对于不同的求最值题型，我也总结出相应的求解技巧，以促进同学们遇到时能快速的做出判断。例如在求几个正数和的最值时，解题关键在于构造条件，使其积为常熟，然后选用配凑的方法进行变换。求几个正数积的最大值时，首先需要创造条件使和为常数。通常是通过乘以或除以常熟或拆因式的方法创造。最后，我对同学们的易错点进行了强调，同学们解题时常常忽略了定值的选取或是“=”号成立的条件，并对同学们的错题进行举例，以加深同学们的记忆，达到更好的教学效果。

在上述教学过程中，我通过习题讲解的方法向同学们渗透各种求最值的方法，目的是让同学们学会如何灵活的应用均值不等式。利用均值不等式求最值的方法多种多样，变化多端，只有掌握所有的变形技巧和求解方法，多做一些求最值的题型，加强训练，多多体会，在解题时灵活的配凑，才能达到举一反三的目的。

二、注意条件，比较大小

均值定理可以用来比较式子的大小。掌握这一均值定理的应用的方法是快速求最值，证明不等式和解决应用题这些题型的基础。同学们需要通过进行灵活的变化，应用均值不等式来比较式子大小。

对于这一应用，同学们经常会忽略均值定理的使用条件，致使解题思路虽然正确但因为一些偏差而错误。对于这部分进行总结时，我将同学们出现过的典型错题进行分析与讲解，让同学们既学会这一应用的技巧和方法，同时把握住易错点，做题时谨慎注意。例如，a>b>1，Q=√（lga*lgb），W=（lga+lgb）/2，S=lg[（a+b）/2]，比较Q、W、S的大小。因为a>b>1，所以我们可以判断出lga>lgb>0，所有变元为正数，因此在解题时，可以通过均值定理来比较三个式子的大小。否则，如果题目中没有给出a>b>1的条件，我们需要分a>1，b>1和a<1，b<1，和a>1，b<1，和a<1，b>1这四种情况进行分类讨论的。同学们在解题过程中，需要首先判断是否可以应用均值定理，在解答中明确的写出判断能够应用均值定理的条件，然后再进行比较大小，这样的解题过程才是最完整、最准确的解答。

在应用均值定理比较大小时，同学们一定要首先判断是否满足应用均值定理一“正”，二“定”，三“相等”的条件，然后灵活的应用均值不等式a^2+b^2≥2ab和a+b≥2√（a*b），进行式子大小的比较。

三、巧妙代换，转化证明

均值定理是证明不等式的有力工具，应用技巧主要有巧用常熟、巧变项，通过巧添、巧拆、巧凑常数或者是项进行巧妙的代换，然后应用均值定理实现不等式的证明。

对于均值定理的这一应用的教学中，我首先通过例题讲解了巧用常数与巧变项的方法。例如，已知a>0，b>0，a+b=1，求证√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤2。对于这道题的求解，是通过巧用常数进行转化的。为了脱去左边不等式的根号，可以通过条件a+b=1来实现，把a+1/2看作是（a+1/2）*1把， b+1/2看作是（b+1/2）*1，然后利用均值定理凑出常数因子，√[1*（a+1/2）] ≤（1+a+1/2）/2=a/2+3/4，√[1*（b+1/2）] ≤（1+b+1/2）/2=b/2+3/4，因此原不等式就转化为√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤a/2+3/4+ b/2+3/4=（a + b）/2+3/2=2，不等式得证。通过对于这一例题的讲解，同学们理解了巧用常数这一技巧。同样的其他常数的用法和项的用法也是通过例题向同学们渗透。对方法进行完总结后，我对利用均值定理证明不等式的常见题型进行了汇总。第一类是对称性的不等式，这类不等式的证明技巧通常是分别应有均值定理然后将所得不等式两边分别相加或相乘即可得证。第二类是需要整体替换的不等式，这类不等式通常是先观察不等式的特征，然后结合题目中的条件进行整体替换。第三类是在证明中需要利用题目中隐含条件的不等式。这类问题需要同学们善于充分挖掘题目中隐含条件，例如通过题目提供的条件a+b=1，可以挖掘出a* b≤1/4这一条件，在证明过程中进行替换。

应用均值定理证明不等式，需要同学们仔细观察不等式和所给条件，分析所证不等式的结构特征，灵活运用各种技巧和方法进行解题。同学们经过不断的练习，才能迅速的通过观察分析找到解题思路，准确迅速的求证。

均值不等式因其应用的广泛性与灵活性，是高中学习的一个难点。本文对均值不等式的求最值、比大小、证不等式这三个应用进行了总结与探讨，并对同学们的易错点进行分析，旨在强化同学们对于均值不等式的应用。同学们在应用均值不等式时，一定要切记均值定理的使用条件和变形技巧，減少错误的发生，提高解决问题的能力。

参考文献：

[1]刘艺.均值不等式的应用[J]. 教育教学论坛，2011（17）.

[2]赵建勋.浅谈均值不等式的应用[J].高中数学教与学，2011（03）.