从复合函数到复合算子的性质研究

【摘要】复合函数是高等数学中最重要的函数之一，高等数学中的很多函数都是复合函数。本文从高等数学中的复合函数定义出发，引出复合算子的定义，并得出复合算子的一些代数性质，并给出一些特殊的复合算子。

【关键词】复合函数；复合算子；線性性质

【基金项目】重庆市教委项目（KJ120704）

O177.6

在高等数学中，给定两个函数 和 ，如果函数 的值域是 定义域的子集，则 和 可以做复合运算，复合之后的新函数为： ，称为 和 的复合函数，其中 称为外函数， 称为内函数，在不引起混淆的情况下，有时也记为 。复合运算在数学中占有重要地位，高等数学中的初等函数就是由基本初等函数经过有限次的复合及加减乘除运算得到了。在求导数及偏导数中，复合函数也有专门的链式法则。

高等数学中研究的函数的定义域是数域（主要是实数域和复数域），即把数映射到数，如果我没把研究的对象推广一下，比如扩展到函数空间上，就可以把对函数的研究推广到对算子的研究。算子是从一个函数空间到另外一个函数空间或函数空间自身之间的映射。常见的算子有复合算子、乘积算子、加权复合算子、微分算子、Laplace算子等。在泛函分析中，复合算子主要是作用在Banach空间上，如Hardy空间、Bergman空间、Fock空间等；在物理学特别是动力系统领域，复合算子主要是指Koopman算子。本文主要介绍函数空间上复合算子的一些代数性质。

一、复合算子的定义及性质

其中共有 个 进行了复合。迭代通常用于复合算子不动点的研究。迭代性质和函数的 次复合类似。

算子理论属于大学高年级及研究生阶段的内容，在高等数学的教学过程中，讲授复合函数时，可以给学生简要介绍复合算子的一些基本性质，提高学生的知识面及对数学的学习热情。

参考文献：

[1]Carl C. Cowen， Barbara D. MacCluer， Composition operators on spaces of analytic functions. Studies in Advanced Mathematics， CRC Press， Boca Raton， Fla， USA， 1995

[2]同济大学数学系，高等数学（第六版）.高等教育出版社，2007.

[3]华东师范大学数学系，数学分析（第三版）.高等教育出版社，2001.

[4]刘炳初，泛函分析.科学出版社，2004.

作者简介：

耿立刚，男，1984.04生，籍贯：山东，学历：博士研究生，民族：汉，单位：重庆工商大学，讲师，研究方向：函数空间与算子理论