扩张p6阶Φ41(16)家族群
2017-04-11陈科成班桂宁聂婷婷
陈科成，班桂宁，聂婷婷
(广西大学数学与信息科学学院, 广西 南宁 530004)
扩张p6阶Φ41(16)家族群
陈科成，班桂宁，聂婷婷
(广西大学数学与信息科学学院, 广西 南宁 530004)
利用群的扩张理论与自由群理论得到p6阶Φ41(16)群的扩张, 并且给出了它们的一些性质, 最后特别地验证了新得到群为LA-群.
有限p-群; 群的扩张; LA-群; 自由群
在Augustin-Louis Cauchy, Niels Henrik Abel, Galois等一批数学巨匠创造群论以来, 群论已经极大地推动力数学的发展, 在多个领域内熠熠生辉. 其中有限p群是有限群最基本和最重要的分支之一. 在有限非交换p-群中有一类有限p-群把其定义为LA-群，LA-群:p-群G满足|G||Aut(G)且|G|>p2. 在LA-群及有限p-群自同构的研究上俞曙霞与班桂宁教授获得到了一些有价值的成果[1-4]。本文结合Rodney James关于p6阶的分类[5]对Φ41家族进行扩张, 基于所得的扩张形式，运用自由群理论证明扩张形式构成群. 对新得到的p-群进行研究, 得到新群的一些基本性质. 最后利用中心内自同构的方法证明新群是LA-群.
1 主要引理
引理1[6]设G是群,a,b,c∈G
1)[a,b]-1=[b,a];2)[ab,c]=[a,c]b[b,c];3)[a,bc]=[a,c][a,b]c.
4) 若[a,b]∈Z(G), 又设n是正整数. 则有[a,bn]=[a,b]n.
引理3 如果,Z(G)≤Φ(G) 那么G为PN-群.
注:群的一般符号均可参看文献[6].
2 主要结论
定理1 可把p6群中的Φ41(16)群扩张成群:G=〈α1,α2,β,β1,β2,γ|[α1,α2]=β,[β,α1]=β1,[β,α2]=β2,[α1,β1]=γ,[α2,β2]=γ-ν,α1pt1=α2pt2=βpt3=β1pt4=β2pt5=γppt6=1〉, 根据扩张可得G构成群的充要条件是:{t1,t2}≤t3≤{t4,t5}≤t6, 其中v表示模p的非二次剩余类的最小的整正数. 且|G|=pt1+t2+t3+t4+t5+t6.
2.1 求成群的限定条件
首先假设定理中所给的G是一个群. 由换位子可得下列共轭式子:
γpt1=γpt2=γpt4=γpt5=1,βt1=β2t3= 1 ,β1t1=β1t3= 1.
因为已知o(α1)=pt1,o(α2)=pt2,o(β)=pt3,o(β1)=pt4,o(β2)=pt5,o(γ)=pt6, 所以{t1,t2}≤t3≤{t4,t5}≤t6.
2.2 进行两次扩张得到G并且证明定义关系的确定性
2.2.1 第一次扩张并确定其定义关系
G(1) =〈α1,β,β1,β2,γ|[β,α1] =β1,[α1,β1] =γ,α1pt1=βpt3=β1pt4=β2pt5=γppt6= 1,t1≤t3≤{t4,t5}≤t6>的存在性, 且G(1)中所给的关系即为群G(1)的定义关系. 令:
N=〈β,β1,β2,γ|βpt3=β1pt4=β2pt5=γppt6= 1〉, 显然N≅Zpt3×Zpt4×Zpt5×Zpt6,N为型不变量(pt3,pt4,pt5,pt6)的交换群.设F=
G1=<α1,β,β1,β2,γ>.因此G(1)是存在的, 且|G(1)|=pt1+t3+t4+t5+t6.
因为由上面确定的群的定义关系可能会有扩大的情况，下文根据自由群理论证明G(1)即为群G(1)的定义关系.
2.2.2 第二次扩张并确定其定义关系
设G=〈α1,α2,β,β1,β2,γ|[α1,α2]=β,[β,α1]=β1,[β,α2]=β2,[α1,β1]=γ,[α2,β2] =γ-ν,α1pt1=α2pt2=βpt3=β1pt4=β2pt5=γppt6= 1〉的存在性, 且G中所给的关系即为群G的定义关系. 令:
下文根据自由群理论证明G即为群G的定义关系.
定理2 群G有下列性质:
性质2 且|Z(G)|=Z1(G)=〈α1pt3,α2pt3,βm,β1pt6,β2pt6,γ〉且|Z(G)|=pt1+t2+t4+t5-t3-t6-m
性质3Z2(G) =〈α1pm,α2pm,βpt6,β1,β2,γ〉其中|Z2(G)|=pt1+t2+t3+t4+t5-2m,|G/Z2(G)|=pt6+2m.
性质4G为PN-群.
性质2证明 对任意的z∈Z(G), 设z=α1x1α2x2βyβ1y1β2y2γz, 根据换位子的运算性质以及引理1则可得到如下的运算：
其它换位子的类似，其结果分别如下所示:
1=[β1,z] = [β1,α1x1α2x2βyβ1y1β2y2γz] =γ-x1;
1=[β2,z] = [β2,α1x1α2x2βyβ1y1β2y2γz] =γvx1;
可得:pt6|x1,pt4|x1,pt3|x1,pt3|x2,pt5|x2,pt6|x2,pt4|y,pt5|y,pt6|y1,pt6|y2
所以有x1=max{pt3,pt4,pt6}=pt3,x2=max{pt3,pt4,pt5}=pt3,y=max{pt4,pt5},y1=y2=pt6, 因为不能确定max{pt4,pt5}的值, 令max{pt4,pt5}=m, (下文中也这样表示)则可记y=m.这便使得:z∈〈α1pt3,α2pt3,βm,β1pt6,β2pt6,γ〉, 即Z(G)≤〈α1pt3,α2pt3,βm,β1pt6,β2pt6,γ〉.由z的任意性可得〈α1pt3,α2pt3,βm,β1pt6,β2pt6,γ〉≤Z(G), 于是可得：Z(G) = 〈α1pt3,α2pt3,βm,β1pt6,β2pt6,γ〉，因此|Z(G)|=pt1+t2+t4+t5-t3-t6-m
性质3证明 因为：Z2(G)/Z1(G)=Z(G/Z1), 所以[Z2(G),G]⊆Z1(G)那么对任意的z=α1x1α2x2βyβ1y1β2y2γz∈Z2(G),有：[α1,z],[α2,z],[β,z],[β1,z],[β2,z]都属于Z(G),由性质2得到的换位子关系，可得如下整除关系:
pt6|x1,pmax{pt4,pt5}|x1,pt6|x2,pmax{pt4,pt5}|x2,pt4|x2,pt6|y
这便使得z∈〈α1pm,α2pm,βpt6,β1,β2,γ〉,Z2(G)≤〈α1pm,α2pm,βpt6,β1,β2,γ〉, 由z的任意性可得：〈α1pm,α2pm,βpt6,β1,β2,γ〉≤Z2(G), 所以Z2(G) =〈α1pm,α2pm,βpt6,β1,β2,γ〉.
因此易得|Z2(G)|=pt1+t2+t3+t4+t5-2m, |G/Z2(G)|=pt6+2m.
性质4证明 由性质2与性质3知Z(G)≤Φ(G), 故G为PN-群.
定理3 证明新群G为 LA-群
由定理2知G/G′=〈α1G′〉×〈α2G′〉，其不变形为(t1,t2).Z(G)的不变型为(t1-t3,t2-t3,t3-m,t4-t6,t5-t6,t6),其中m=max{t4,t5}.由引理4可以求得a如下：
a=min{t1,t6}+min{t1,t5-t6}+min{t1,t4-t6}+min{t1,t3-m}+min{t1,t2-t3}+min{t1,t1-t3}+min{t2,t6}+min{t2,t5-t6}+min{t2,t5-t6}+min{t2,t3-m}+min{t2,t1-t3}+min{t2,t2-t3}，又因{t1,t2}≤t3≤{t4,t5}≤t6，
故可得到a=min{t1,t2-t3}+min{t2,t1-t3}+t1+t2+2t4+2t5-2t6-2m.|R|=|Ac(G)|·|G:Z2(G)|=pa.pt6+2m=pmin{t1,t2-t3}+min{t2,t1-t3}+t1+t2+2t4+2t5-t6.所以只要判定min{t1,t2-t3}与min{t2,t1-t3}的值，有下面4种情况:
1)当t1≤t2-t3,t2≤t1-t3时：因为由上面的不等式变形得到t1-t2≤-t3,t1-t2≥-t3,
因为t3≠0, 所以此种情况不成立.
2)当t1≤t2-t3,t1-t3≤t2时：|R|=p2t1+2t2+2t4+2t5-t6=|G|·p2(t1-t3)+(t4+t5-2t6)≥|G|由此可知G为LA-群.
3)当t1≥t2-t3,t2≤t1-t3时：|R|=p3t1+t2+2t4+2t5-t6-t3=|G|·p2(t2-t3)+(t4+t5-2t6)≥|G|由此可知G为LA-群.
4)当t1≥t2-t3,t2≥t1-t3时：|R|=p2t1+2t2+2t4+2t5-t6-2t3=|G|·pt1+t2t4+t5-3t3-2t6)≥|G|由此可知G为LA-群.
综上可知扩展的群:G=<α1,α2,β,β1,β2,γ|[α1,α2]=β,[β,α1]=γ,[α2,β2]=γ-ν,α1pt1=α2pt2=βpt3=β1pt4=β2pt5=γppt6= 1,{t1,t2} ≤t3≤{t4,t5}≤t6〉是LA-群.
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p6-group ofΦ41(16) Group Extension
CHEN Kecheng, BAN Guining, NIE Tingting
(School of Mathematics and Information Sciences, Guangxi University, Nanning 530004, China)
We extended the order ofp6-group ofΦ41(16) group, by using the extension theory of group and the theory of free group,p6-group ofΦ41(16) group is obtained, some properties are provided, and the group newly obtained is proved to be new LA-group.
finitep-group; extension of group; LA-group; free group
2016-05-20
国家自然科学基金项目(61074185);广西省自然科学基金项目(0832054).
班桂宁(1962—),男,教授,博士,主要从事有限群论与控制论研究.E-mail:banguining101@sina.com
10.3969/j.issn.1674-232X.2017.02.013
O152.1 MSC2010：20B25
A
1674-232X(2017)02-0195-05
