快速傅里叶变换对刃边法测量遥感相机MTF的影响

王浩 王怀义 练敏隆

（北京空间机电研究所，北京 100094）

快速傅里叶变换对刃边法测量遥感相机MTF的影响

王浩 王怀义 练敏隆

（北京空间机电研究所，北京 100094）

调制传递函数（MTF）是反映航天光学遥感器成像性能的重要参数。刃边法是测试 MTF一种简单有效的途径，快速傅里叶变换因计算量小在刃边法中得到了广泛应用。由于线扩展函数在空间域是无限连续的信号，而快速傅里叶变换处理的有限长离散序列，对线扩展函数应用快速傅里叶变换时需先对其截断、采样；截断引起频谱泄露，采样造成频谱混叠，泄露与混叠双重效应将导致最终 MTF的测量误差。文章基于采样理论，定量分析了线扩展函数截断区间和采样间隔对奈奎斯特频率处 MTF的影响。针对不同应用和误差要求，给出了合理的采样间隔、截断区间要求，规范了快速傅里叶变换在刃边法测量光学遥感相机MTF中的应用。

调制传递函数 快速傅里叶变换 刃边法 截断长度 采样间隔 空间相机

0 引言

调制传递函数（MTF）是表征航天光学遥感器成像品质的重要性能参数之一，无论是实验室还是在轨都需要精确测量航天光学遥感器的MTF。目前，MTF的测试方法有点源法[1]、矩形脉冲法[2]、刃边法[3-5]、矩形靶标法[6]和高分辨率图像法[7]等。刃边法的优点是可以得到一条全频段的MTF曲线，对采样图像的要求较低，图像选取比较容易，无论是在轨还是实验室都得到了广泛应用。

为了提高刃边法测试MTF的精度，国内外学者对影响刃边法测量MTF精度的各种因素作了相关研究，文献[8]介绍了边缘扩展函数（ESF）的有限元差分的影响，文献[9-10]研究了MTF的频率域压缩的影响，文献[11]介绍了噪声、刃边拟合精度的影响，文献[12]研究了刃边倾角、辐射定标和刃边图像的对比度对精度的影响。

笔者发现即使对于同一刃边图像，应用不同研究机构的算法，最终测得的MTF存在差异。通过研究发现造成这种差异的原因有：噪声的处理方法、ESF模型的选择、快速傅里叶变换（FFT）的应用等。很多学者通过改进噪声的处理方法、优化ESF模型来提高测试精度[13-16]，忽略了FFT的近似计算过程也带来误差。

本文基于采样理论，分析了FFT近似计算的误差来源——线扩展函数（LSF）的截断长度、采样间隔，并定量分析了它们对于刃边法测试MTF的影响。针对不同应用和误差要求，给出了合理的线扩展函数截断长度、采样间隔要求，规范了快速傅里叶变换在刃边法测量光学遥感相机MTF中的应用。

1 刃边法测量MTF

1.1 测量原理

对于一个线性移不变的成像系统，输出图像o(x，y)是输入图像i(x，y)与点扩散函数（PSF）h(x，y)卷积的结果

设垂直刃边方向为x轴方向，沿刃边方向为y轴方向，以垂直刃边方向的线扩展函数h(x)为例，一维线扩展函数与点扩散函数的关系

一般遥感成像系统是径向对称系统，满足点扩散函数变量可分离性质

式中 h(y)为沿刃边方向的一维线扩展函数。

e(x)表示边缘扩展函数，它是刃边目标（阶跃信号）s(x)与一维线扩展函数卷积的结果，对 e(x)求一阶导数

式中 阶跃信号s(x)的导数δ(x)是狄拉克δ分布函数。

从退化后的刃边图像中提取边缘扩展函数后求导即可得到线扩展函数，对其傅里叶变换，取模，得到MTF。

1.2 算法过程

图1为刃边法原理及算法示意图，从图1中可看出算法主要包含以为几个步骤：

1）提取刃边方程。若实际刃边目标是一条直线，则图像上的刃边也应该是一条直线，但由于噪声等因素的影响，算法得到的刃边点可能不是位于一条直线上，某些刃边点可能会偏离刃边直线，这会对后续计算 MTF带来较大的误差。因此，需要对得到的刃边点进行最小二乘拟合，将所有刃边点拟合到一条直线上。

2）依据亚像素边缘位置提取采样数据，拟合出边缘扩展函数曲线。为了消除噪声对传递函数计算的影响，常常通过构造ESF的函数模型，对采样的ESF数据进行非线性拟合，得到ESF的数学表达式，再通过求导运算得到LSF的表达式。这样就避免了对采样的ESF数据做有限元差分运算，提升了LSF的信噪比。目前拟合ESF曲线的函数模型多种多样，常用的有误差函数、Fermi函数、组合Fermi函数、高斯函数与指数函数组合模型等。

3）对线扩展函数进行截断、采样，然后离散傅立叶变换（DFT），取变换后各频率分量的模，并以0频率处的MTF值为基准作归一化处理，就得到了不同频率下的MTF值[17]。

由于DFT需要的计算量较大，运算时间长，在某种程度上限制了它的使用。为了减少运算量同时保持结果的精确度，一般采用FFT算法，可以节省相当大的计算量。

2 FFT及对MTF测试的影响

2.1 FFT变换原理

这样长序列N点的DFT就转变成了两个短序列N/2的DFT，复乘运算节省一半；若N/2仍为偶数，则可重复利用上述方法，将每一个长度为N/2子序列分成两个N/4点的更短的子序列来进行计算，按此一直分解下去，直至达到一点序列时为止，这就是FFT的基本思路[18]。

2.2 FFT对MTF测试精度的影响

点扩散函数在空间域是连续的、无限延伸的，由式（2）一维方向积分得到的线扩展函数h(x)仍具备这种性质。快速傅里叶变换处理对象是有限长离散信号，用来处理无限长连续的线扩展函数是近似计算，将带来MTF的计算误差，误差来源主要有两方面：

第一，LSF是空间域无限延伸的连续信号，进行FFT变换之前，需截取LSF一定区间范围的值，截断将引起LSF频谱的泄露[19]，导致MTF测试误差。如图2所示，窗口函数长度L=6个像元，截断过程可以理解为LSF与窗口函数w(x)相乘

截断的线扩展函数h′( x)的频谱是窗口函数的频谱W(ω)与线扩展函数频谱H(ω)卷积的结果，见图2（f）。

对比线扩展函数频谱图（图2（d））与截断的线扩展函数频谱（图2（f）），看出截断过程使频谱产生失真，它从原有频率图形扩展开来，称为泄露。

第二，对截断的LSF离散采样时，由于线扩展函数转化成有限长连续信号，有限信号的频率范围是(0,+∞)，根据香农采样定理，采样频率需大于信号最高频率的两倍，频谱才不会发生混叠；因此无论如何增加采样频率或减小采样间隔，只可能减弱混叠效应，不可能避免混叠，这将导致MTF测试误差。

泄露与混叠有着密切联系，因为泄露导致频谱扩展，从而引起混叠。图3给出截断区间长度L=5个像元，采样间隔T=0.5像元时，由于混叠与泄露双重效应导致的MTF失真。下面定量分析刃边法测MTF时，线扩展函数截断长度和采样间隔的选择对MTF测试精度的影响。

3 定量分析

假设光学遥感成像系统点扩散函数h( x，y)满足高斯分布

式中 σ代表点扩散函数能量分布的标准差，+0%以上的能量都集中在半径为3σ的圆中。

σ取值不同，遥感相机点扩散函数的半高宽（Full Width at Half Maximum，FWHM）不同。实际上由于遥感相机点扩散函数并不是对称的，因此不同方向的PSF半高宽也一般不同，这里假设点扩散函数为高斯分布，因此各个方向的FWHM 是相同的。一般遥感相机对于奈奎斯特频率处MTF的要求高于0.1，这里σ取0.6，即FWHM为1.43个像元时（见图4），奈奎斯特频率处MTF理论=0.169 2，具有普遍代表性。

采用8°刃边倾角，由公式（1）理想倾斜刃边图像与点扩散函数卷积得到退化的刃边图像。这里讨论的是FFT对于MTF测试误差的影响，因此先不考虑噪声影响。截取128×64大小的退化刃边图像，选用误差函数模型作为ESF的数学表达式

式中 a，b，c，d是待定系数。

对边缘扩展函数e(x)求导得线扩展函数h(x)

奈奎斯特频率处MTF的相对误差e

由图5知，采样间隔T不变，随着截断长度L的增加，相对误差e单调减小，这是因为截断区间越长，越接近原始的线扩展函数，频谱泄露越小，因此具有单调性；区间长度L不变，相对误差随着采样间隔T的减小而减小，但这种减小并不是单调的。由图6可知具有波动性，总体趋势是随着采样间隔T的减小，相对误差e减小。具体对截断区间长度和采样间隔的选择，要根据实际情况的需要：1）当不需要实时性测量 MTF时，要根据处理器的性能，选择足够长的截断区间和足够小的采样间隔会使快速傅里叶变换引起的误差降到最小；2）当需要实时性测量遥感器MTF时，过小的采样间隔与过长的截断区间将带来计算量的激增，若截断长度增加k1倍，采样间隔减小k2倍，则计算量将增加k1k2倍，计算量的增加将影响MTF测试的实时性。

表1列出了L=20，T=0.10不同PSF半高宽的遥感器MTF测试误差。由表1可知，对于同一种刃边法测量算法，即LSF截断区间长度，采样间隔是相同的，将其应用于不同点扩散函数FWHM的遥感器MTF测量时，FWHM越大，相对误差e越大。

表1 L=20，T=0.10不同PSF半高宽的遥感器MTF测试误差Tab.1 L=20，T=0.10 MTF measurement error of different sensors

因此，对于同一误差要求，FWHM越大的遥感器，LSF截断区间长度L的选择应该越长，采样间隔T应该越小。为规范化截断长度、采样间隔的选择，我们作如下考虑：一般遥感器FWHM要小于2个像元，CBERS-02B卫星WFI相机红外波段跨轨方向FWHM为1.18个像元，沿轨方向FWHM为1.16个像元，HJ卫星CCD相机沿轨方向FWHM为1.+2个像元；FWHM过大，将导致相机空间分辨率的降低，如我国的CBERS-02卫星上的CCD相机，虽然空间分辨率高于TM的分辨率，但其目视效果及信息含量却不如TM[20]。这里考虑FWHM为2个像元时的极限情形，相对误差e随截断长度L、采样间隔T的变化，如图7所示；图8给出相对误差e＜0.2%时，对截断长度、采样间隔的要求，红色阴影部分是连续分布的区域，其中任何一点都满足相对误差小于0.2%；此区域为阶梯型，减小采样间隔可以降低对截断长度的要求，增大截断长度，可以减小对采样间隔的要求。折中取值，取L＞120个像元，T＜0.04个像元。同样方法，得到不同误差对于截断长度和采样间隔的要求，如表2。

表2 不同误差对于截断长度和采样间隔的要求Tab.2 The requirement of length truncation and sampling interval for different error

4 结束语

本文以采样理论为基础，分析了快速傅里叶变换的近似计算将导致刃边法测试光学遥感相机 MTF误差，误差来源主要两方面：线扩展函数截断区间长度和采样间隔；然后对理论分析进行了仿真校验，得出以下结论：

1）MTF测试误差随线扩展函数截断区间长度的增加单调减小，随采样间隔的减小波动性地减小；

2）不需要实时性测量MTF时，要根据处理器的性能，选择足够长的截断区间和足够小的采样间隔会使快速傅里叶变换引起的误差降低；

3）需要实时性测量遥感器MTF时，过大的采样间隔与过小的截断区间将带来计算量的激增，若截断区间增加k1倍，采样间隔减小k2倍，则计算量增加将k1k2倍，计算量的增加将影响MTF测试的实时性；

4）同一种刃边测量算法，应用于不同的遥感器，点扩散函数半高宽越大，FFT导致的测量误差越大；

5）针对不同误差要求，给出了合理的采样间隔、截断区间要求，规范了快速傅里叶变换在刃边法测量光学遥感相机MTF中的应用。

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Effect of FFT on Knife–edge Measurements of MTF

WANG Hao WANG Huaiyi LIAN Minlong

（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

Modulation transfer function (MTF) is an important parameter for imaging quality of optical remote sensor. Knife-edge method is simple and effective for measuring MTF. Fast Fourier transform has been widely applied in this method because of its less calculation. Fast Fourier transform is only used to deal with finite length of digital signal, however, line spread function is an infinite and continuous signal in the spatial domain. So it is necessary to truncate and sample the line spread function. But truncation causes spectrum leakage and sampling causes spectrum aliasing. All these result in the error of MTF measurement. Based on the theory of sampling, this paper analyses the influence of length truncation and sampling interval on MTF. According to different applications and error requirements, the reasonable length truncation and resampling interval are given, and normalize the applications of fast Fourier transform in knife-edge method, are normalized.

modulation transfer function; fast fourier transform; knife-edge method; length truncation; sampling interval; space camera

V443.5；TB871

: A

: 1009-8518(2017)01-0061-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2017.01.009

王浩，男，1988年生，2012年获鲁东大学通信工程专业学士学位，现为中国空间技术研究院光学工程专业在读硕士研究生。研究方向为空间光学遥感器总体设计。E-mail: 252870495@qq.com。

（编辑：王丽霞）

2016-04-19