探月飞船跳跃式再入轨迹可达域分析

杜 昕，刘会龙

（中国空气动力研究与发展中心高速空气动力所，绵阳621000）

探月飞船跳跃式再入轨迹可达域分析

杜 昕，刘会龙

（中国空气动力研究与发展中心高速空气动力所，绵阳621000）

针对探月飞船跳跃式再入轨迹分段多、段与段相互耦合、可达域求解与分析较直接再入更加困难的问题，给出了跳跃式再入轨迹可达域的数学描述，在此基础上将可达域求解问题拆分为两类最优控制问题，并建立了相应的优化模型。采用基于高斯伪谱法的两步优化策略进行求解，得到了跳跃式再入轨迹可达域边界。最后分析了初始条件（再入角、再入方位角）对可达域的影响。仿真结果表明两步优化策略能兼顾计算精度和计算效率。

探月飞船；跳跃式再入；可达域；高斯伪谱法；两步优化策略

1 引言

探月飞船返回地球时，将采用跳跃式再入以降低过载、热流等［1］。再入轨迹可达域是工程上比较关心的一个问题，其分析结论可为任务方案总体设计提供参考。跳跃式再入能量更高，可达域范围更大，但轨迹特性与直接再入差别较大，需要对其可达域问题进行专门研究。

再入轨迹可达域问题实际上是多个最优控制问题的组合，需要在沿初始速度方向的一系列纵程点上求取最大的横程绝对值。目前，计算再入轨迹可达域主要有四种方法：第一种方法采用平衡滑翔假设来降低问题的复杂度，且不考虑路径约束，通过坐标变换，将问题转化为一系列更为简单的终端纵程自由、横程最大的最优控制问题，并采用间接法求解［2⁃3］；第二种方法是采用直接优化算法（如伪谱法）进行求解［4⁃6］；第三种方法基于航天飞机再入制导算法，其核心思想就是飞行器的纵程与飞行过程中的阻力加速度成反比［7⁃8］；第四种方法运用拟平衡滑翔条件，将可达域问题转化为一系列更为简单的单变量寻根问题，并采用近似最优控制律求解［9］。

第一种方法由Vinh在上世纪70年代提出。他对问题作了很多简化，忽略了科氏加速度，并且不考虑路径约束［2］。实际上，科氏加速度会造成可达域的非对称性，是一个必须要考虑的因素。而不考虑任何路径约束也与实际问题出入较大。第二种方法的最大缺点就是求解速度较慢，这也是直接法的缺点。第三种方法同时考虑了科氏加速度和路径约束，能够较为快速地计算可达域。第四种方法引入了拟平衡滑翔条件［10］，在考虑路径约束的条件下能够快速求得最优解。总的说来，第三种方法求解快速、精度较高且使用范围广，是目前为止比较出色的计算落点可达域的方法，航天飞机的故障飞行管理（Shuttle Abort Flight Manager，SAFM）模块正是采用了这种方法［11］。

第三种和第四种方法不适用于小升阻比的飞船再入，而第一种方法对于跳跃式再入精度较差。本文主要是离线计算可达域并对其进行分析，对于计算速度的要求并不高，因此采用第二种方法进行求解。首先，采用基于高斯伪谱法的两层优化策略求解最优控制问题，第一层优化算法采用较少的高斯节点给出一个精度不高的优化结果，第二层优化算法采用较多的高斯节点给出精度较高的优化结果；其次，按照横程的符号将整个可达域分为两边，同一边里上一个边界点的优化结果作为下一个边界点的优化初值，逐点推进，直至求解完成；最后通过仿真算例验证方法的有效性。

2 再入轨迹可达域问题描述

2.1三自由度再入运动方程

考虑地球为旋转圆球的三自由度再入运动方程如式（1）～（6）所示［12］：

其中：r为地心距，θ为经度，ϕ为纬度，V为飞行器速度，γ为飞行路径角，ψ为速度方位角（正北方向为零，顺时针旋转为正），σ为滚转角（控制变量），ω为地球自转角速度，g为重力加速度，L和D分别为升力加速度和阻力加速度，定义如式（7）～（8）所示：

其中：ρ为大气密度，m为飞行器质量，S为飞行器参考迎风面积。大气密度模型采用美国1976标准大气模型。

2.2可达域问题的数学描述

其中，σ 0，t( )表示从0时刻到t时刻的滚转角剖面，其容许集Ut()可以表示为式（10）：

其中，C20，t[ ]表示在时间区间 0，t[ ]上具有连续一阶导数和二阶导数的连续函数域。

定义P⊂X为满足约束的状态域如式（11）：

当高度达到10 km时，认为达到开伞条件，因此，定义开伞状态域D⊂X为式（12）：

可行的再入轨迹是指滚转角函数在其容许集Ut()内，满足路径约束，且终端状态在D内的轨迹。可达域（Reachable Set，RS）是指从初始状态x0出发的可行轨迹所能达到的终端状态的集合，表示为式（13）：

而在再入问题里通常所说的可达域实际上指的是可达覆盖区（Reachable Footprint，RFP），定义为式（14）：

RS和RFP的定义如图1所示［13］。在本文后面的讨论中，默认可达域为RFP，它是由再入点状态、再入飞行器气动特性以及路径约束共同决定，不同的再入点状态会得到完全不同的可达域。在应急或故障情况下，再入点的状态不能事先预测，为了快速评估可能的着陆点以规划应急再入轨迹，需要在线快速生成可达域。

3 可达域求解策略

计算再入飞行器的轨迹可达域实质是计算可达域的边界。而求解完整的可达域边界需要两个步骤：一是优化计算沿初始速度方向纵程的最小值和最大值；二是在纵程最小值和最大值之间选取一系列离散点，在这些点上优化计算横程的最小值和最大值（对应横程符号一正一负）。相应的优化模型如下：

1）路径约束

再入问题的典型路径约束为动压、过载以及热流密度约束，如式（15）～（17）所示［13］。

此外，为防止跳出高度过高导致任务失败，路径约束还应包括一个高度约束。这里设定最大高度不超过300 km，如式（18）所示：

2）终端约束

以高度作为判断再入段结束的标志，即当高度达到开伞高度10 km时认为再入段结束，达到开伞状态。因此有终端约束如式（19）：

对于步骤一中的优化模型，终端约束只有式（19）一项，但对于步骤二中的优化模型，终端约束还应包括式（20）：

其中，RV0为沿初始速度方向的纵程，其定义如图2所示，图中为再入初始点的经纬度，为开伞点的经纬度，为沿初始速度方向的横程，Rt为再入初始点与开伞点之间的大圆弧距离。Rspec为选定的各个离散点处的RV0值。RV0、ZV0的计算公式如式（21）～（23）所示［14］。

其中，ψ为再入初始点的速度方位角，Ψ为再入初始点到开伞点的视线角。

3）目标函数

对于步骤一中的优化模型，目标函数为式

（24）或者式（25）：

对于步骤二中的优化模型，目标函数为式（26）或者式（27）：

对于可达域问题，对求解速度的要求高于对求解精度的要求，因此，要选择计算效率较高的优化算法。本文选择高斯伪谱法进行优化计算，并采用两步优化策略：第一步采用较少的高斯节点（例如取6个节点），计算得到一个较为粗略的结果作为下一步优化的初值；第二步取较多节点（如取20个节点），并采用第一步的计算结果进行插值，得到当前多节点下的设计变量初值，计算得到一个精度较高的最优解。高斯伪谱法最终将最优控制问题转化为非线性规划问题，本文采用SQP算法求解所有的非线性规划问题。

同时，在求解时，可达域边界同一边（横程符号相同）上相邻的两点，上一个点的计算结果作为下一个点的初值，逐点推进，可以提高计算效率。

4 仿真验证

再入点状态为：再入点高度120 km，再入点经度0°，再入点纬度0°，再入速度11 km／s，再入角－6°，再入点速度方位角45°。

飞船参数取Apollo 11号返回舱参数［1］，质量5500 kg，大底截面直径 3.9 m，驻点曲率半径2.5 m，升力系数0.387 73，阻力系数1.289 1。

路径约束如下［1，15］：q≤30 kPa，n≤7g0，Q·≤6 MW／m2。

第一步，先优化得到沿初始速度方向最大的纵程和最小的纵程。计算得到最大纵程约为10 816 km，最小纵程约为1674 km。

第二步，在1674 km至10 816 km之间取一系列点，优化得到这些点处的横程最大值（正向最大和负向最大），这样就求得了可达域的边界。最后将这些边界点连接起来，就得到了可达域。

优化结果如图3～8所示。其中图3给出了可达域边界轨迹的地面航迹，图4给出了可达域，图5给出了可达域边界轨迹的高度曲线，图6给出了可达域边界轨迹的过载曲线，图7给出了再入角对可达域的影响，图8给出了再入航向角对可达域的影响。

从图3～4中可以看到，跳跃式再入的可达域是一个长条状的区域，若不考虑地球自转，那么这个区域应该是对称的。另外，可达域边界应是光滑边界，不光滑的点是由于优化算法在这一点处计算的结果不太理想所导致，另外一个原因是由于离散点的个数取的不够多。

计算程序采用MATLAB语言编码，在安装Pentium 4（2.5 GHz）处理器的微机上运行。优化得到一条边界轨迹的时间平均约30 s，得到整个可达域的总时间约12 min。当然，取点的密集度越大，计算总时间会相应增长。

从图5中可以看到，最短纵程对应的两条轨迹是直接再入轨迹，轨迹没有出现跳跃。随着纵程的增大，轨迹出现跳跃，并且跳跃高度越来越高。而且是两条轨迹一组，高度曲线较为接近，这是因为这两条轨迹的纵程一致，只是横程一正一负。

从图6中可以看到，最短纵程对应的两条轨迹的过载峰值几乎达到了约束的最大值7g0，而其他轨迹的过载峰值则均小于7g0。与高度曲线相同的是：过载曲线也是两条轨迹一组。这是由于高度、过载等均是纵向运动状态决定的量，与横程运动关系不大。

图7 给出了再入角对可达域的影响。从图中可以看到，再入角的绝对值越大，即初始再入轨迹越陡，可达域会更靠近再入点，但并不明显，这是因为存在过载峰值的约束，可行的再入轨迹不可能达到很小的纵程。从图中还可以看到，初始再入轨迹越陡，可达域的范围越窄，新的边界点全部落在原边界线以内。

图8 给出了再入航向角对可达域的影响。由于本文中航向角的定义是从正北起算，顺时针方向为正。因此，当航向角增大时，可达域整体向南移动；当航向角减小时，可达域整体向北移动。

5 结论

本文采用两层直接优化策略计算得到跳跃式再入轨迹的可达域并进行了分析，结论如下：

1）建立了跳跃式再入轨迹可达域问题的优化模型，并采用基于高斯伪谱法的两层优化策略进行求解。仿真结果表明这种优化策略能较好地兼顾精度和计算效率。

2）可达域边界理论上为光滑边界，不光滑的点是由于优化算法在这一点处计算的结果不太理想以及离散点个数较少所导致，离散点越多，可达域范围越精确，但计算时间越长。

3）分析了再入初始条件对可达域的影响。初始再入轨迹越陡，可达域的范围越窄，且整体更靠近再入点。当航向角增大时，可达域整体向南移动；当航向角减小时，可达域整体向北移动。

4）本文采用直接法求解跳跃式再入轨迹可达域。由于直接法的计算速度难以适应在线任务的要求，因此仅适用于线下的任务设计与分析。跳跃式再入轨迹可达域的在线生成还需要进一步研究。

（References）

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［13］ Benito J，Mease K D.characterizing the controllable entry states and reachable sites for planetary landing［C］／／6th In⁃ternational Planetary Probe Workshop.Atlanta，GA，2008.

［14］ 赵汉元.飞行器再入动力学和制导［M］.长沙：国防科技大学出版社，1997：354⁃361. Zhao Hanyuan.Flight Vehicle Reentry Dynamics and Guid⁃ance［M］.Changsha：National University of Defense Tech⁃nology Press，1997：354⁃361.（in Chinese）

（责任编辑：龙晋伟）

Analysis of Reachable Sets of Lunar Module Skip Entry Trajectory

DU Xin，LIU Huilong

（High Speed Aerodynamics Institute of China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，China）

The multiple phases of the skip entry trajectory are coupled with each other，so the land⁃ing footprint computation and analysis of the skip entry is much more difficult than that of the direct entry.To solve this problem，the mathematical descriptions of the reachable set and the landing foot⁃print were given.On this basis，the landing footprint problem was converted into two optimal control problems，and the corresponding optimal models were established.Then，a two⁃step optimization strategy based on Gauss pseudospectral method（GPM）was used to obtain the landing footprint. The effects of initial condition（entry flight path angle and heading angle）on landing footprint were analyzed.The simulation results indicate that the two⁃step optimization strategy has good perform⁃ance on both computational accuracy and efficiency

lunar module；skip entry；reachable sets；Gauss pseudospectral method；two⁃step opti⁃mization strategy

V412

：A

：1674⁃5825（2017）02⁃0163⁃05

2015⁃12⁃14；

2017⁃02⁃17

国家自然科学基金（11372345）

杜昕，男，博士，工程师，研究方向为飞行器轨迹规划与制导控制。E⁃mail：232783682＠qq.com