数学函数图像中的对称性问题浅析

曹逸帆

G633.6

函数是我在高中数学的学习过程中非常重要的一部分，因为函数的应用几乎贯穿了整个高中数学学习中，它也是整个高中数学的核心内容，而高考中对于函数的考查也特别多，甚至考查的内容可能会比课本上的知识更深一点，因此我觉得能不能学好函数是在高考中数学是否能拿到高分的关键所在。

学好函数就要了解函数的概念和定义，还要熟练掌握函数的性质——单调性、周期性以及对称性。在这里，我想主要谈一下我对函数对称性的理解。我对于函数的对称性还是比较感兴趣的，从表面上看，函数的对称关系体现了数学之美，因为对称的图形总是比较美观的；往深里说，函数的对称性一直都是各种数学类考试的重点和热点，而且利用好函数的对称性还能很巧妙地解决数学问题。

我把函数的对称性问题进行了归纳和总结后，分成了两大类，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图像的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题。

虽然将函数的对称性这样分成两大类更容易理解与掌握，但其实在实际的学习过程中，两函数图像关于某直线对称或关于某点成中心对称，还有函数自身的对称轴或对称中心这两种情况，我们总是容易混淆，从而造成解题失误。事实上，这两种类型是有本质区别的，我想就这个问题总结一下相关的一些结论。

函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者则是函数的变换问题。

课本中的定理都很明确，那为什么我们总是不能较好地掌握函数图象的对称性呢？分析一下其中的原因，我觉得有两个方面：一个是在学习的过程中我们没有把“函数的图像关于某点或某直线对称”、“两个函数的图像关于某点或某直线对称”、“平移、周期与对称”等這几个概念区分清楚；另一方面就是我们对函数图像的对称性没有进行更加系统的学习，知识点都太分散，所以不能把学到的性质都用到解题的过程中。

所以，当我们在解决一个函数问题时，首先可以根据题目画出函数的图像，这一点是很重要的，也是解题的关键所在，我们在学习数学的过程中应当养成这个数形结合的习惯。因为，有的时候一旦图像有了，就会觉得一目了然，问题也就迎刃而解。有些题目，只看函数的解析式可能不能得出什么，但是当我们画出函数的曲线，更加直观地展示出变量间关系时，才会发现问题并不是很复杂，可以根据曲线得出更多的条件，进一步得出结论。所以遇到这样的题目，一定不能“懒惰”，多画图还是有好处的。

对称是数学高考中的常见问题之一，函数图像对称和几何中讲的曲线对称都属于图像的对称，也都是关于点、直线的对称。用对称方法解决高考题中函数的运算问题，在一定程度上可以降低难度，不但可以更容易解出题目，还可以提高解题速度。因此，掌握好函数图像的对称性也是很重要的。