对高中数学中直线与椭圆的交点分析
2017-04-10张峻源
张峻源
摘要:在高中数学中,直线和椭圆的关系成为高考一个必考的内容,其涉及的内容可深可浅,运算量可以非常简单,同时也可能很复杂,可以作为选择题、填空题或是最后的压轴大题。关于直线和椭圆交点的分析在高中数学教学中占据主导地位,需要学生花大量的时间进行消化和运用。本文主要对椭圆进行简单的介绍,重点阐述椭圆和直线两者之间存在的联系和所涉及的一些基本运算。
关键词:高中数学;直线与椭圆;交点分析;位置关系
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一、椭圆的基本介绍
1.椭圆的定义
平面内的点与两个定点距离之和等于常数,该常数大于两定点之间的距离,这样的常数形成的点的轨迹叫做椭圆。而这两个定点叫做椭圆的焦点,其之间的距离叫做椭圆的焦距。
2.椭圆的标准方程式
共分两种情况:当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0); 当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0);其中a^2-c^2=b^2。
3.椭圆的几何性质
关于椭圆的一些几何性质,有几个方面。当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b,当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a;椭圆的对称性,其对称中心其实就是椭圆的中心;椭圆的顶点,就是椭圆对称轴的四个交点;长轴与短轴,指的就是对称轴上两对顶点之间的线段;椭圆的离心率,指的是焦距与长轴之比,记作e,范围在0和1之间,e越接近于1,椭圆就越扁,反之越圆。
二、直线和椭圆的交点问题
直线和椭圆可以是没有交点、一个交点或两个交点,其分别体现的是直线与椭圆的相离、相切和相交。当直线和椭圆相离时,两者之间没有交点;当直线和椭圆相切时,存在一个交点,就是切点;当直线和椭圆相交时,会有两个交点,那么我们如何才能判定直线和椭圆的位置关系呢。
在探索直线和椭圆的位置问题时,主要是靠研究两者之间的交点个数进行判断,因此可以用代数的方法联立方程组求解,从而进行判定。首先,把直线方程和椭圆方程联立为方程组。其次,消去y或x得到一元二次方程。最后,计算△=b^2-4ac,当△>0,即表示直线和椭圆相交;当△=0,直线和椭圆相离;当△<0,直线和椭圆相离。当然,假如求得y或x有两个解时,说明有两个交点;只有一个解时,说明只有一个交点;无解的话,说明相互之间是没有交点的。主要通过根和系数的关系和求根公式来解决这个问题,学会使用数形结合的方式可以更直观、更清晰的表达出内容。
三、直线和椭圆交点问题的基本运算
直线和椭圆之间涉及到很多考点,要解决两者之间的问题无非是要注意这几个方面:(1)直线的斜率不存在,直线的斜率存在;(2)联立直线和曲线的方程组;(3)讨论类一元二次方程;(4)一元二次方程的判别式;(5)韦达定理,同类坐标变换;(6)同点纵横坐标变换;(7)x,y,k(斜率)的取值范围;(8)目标:弦长、中点、垂直、角度、向量、面积及范围等。接下来列举几个常见的题型,进而进行分析和解答。
1.求取值范围的问题
例如,直线和椭圆始终有交点,求椭圆方程中a或b的取值范围。
一般遇到这种情况,可以先看直线方程,找出其特点,看该直线是否过定点,同时观察椭圆的定点,初步确定所求变量的取值范围。该题的解题关键是直线和椭圆恒有公共点,从而确定题目的答案。
2.形成几何面积问题
例如,椭圆方程已知,求两焦点与椭圆y轴上的一个顶点所形成的面积。
做这种题目时,首先第一件事就是把图画出来,把需要的点都标出来。这个题目其实很简单,因为椭圆的方程式是已知的,就可以知道两个焦点的坐标,以及四个顶点的坐标,只需要进行简单的等腰三角形的求和公式的运算就可以得出答案。
3.求最小距离的问题
例如,椭圆方程已知,直线方程已知,求椭圆上是否存在一点到直线的距离最小以及最小距离为多少。
同样,第一件事是画图,将已知的内容全部画上去。假设存在一点与直线的距离最小,得出距离d的一个方程,与椭圆的方程进行联立求解,从而得出答案。从这个题目中,我们也可以得出,假如存在一个这样的点,距离d等于零的话,说明直线与椭圆相切;距离大于零,则说明直线与椭圆相离。假如存在两个点,距离d都等于零的话,说明直线与椭圆相交。
除此以外,还有其他很多关于直线和椭圆的题型,如椭圆上一点到两焦点连线的垂直问题、直线被椭圆所截得的弦长问题、求椭圆方程的问题等。但不管怎样,只要理清楚椭圆和直线所涉及的各个变量的运算方式和相关公式,要解决整个问题就不难,所谓万变不离其宗,其道理是一樣的。
四、结语
直线和椭圆之间的相关联系,一直都是高中数学教学中备受关注的,能够理清两者之间的交点问题,还是能够解决大部分的直线和椭圆之间的问题。不管是于直线和椭圆,直线和抛物线和其他曲线的解答思路都是差不多的,无非都是围绕相交、相切和相离几个因素转。因此,同学们应该重视这一方面的学习,不能在自己解决不了的问题面前止步不前,需要有耐心和坚定的信念一直走下去,那时候就会发现,其实并不是想象中的那么难走。
参考文献:
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