电气化铁路钢轨感抗的精确计算公式

朱　峰，李　鑫，李朋真，李嘉成，邢学彬

(1.西南交通大学 电气工程学院；四川 成都　610031；2.长春轨道客车股份有限公司；吉林 长春　130062)

钢轨是电气化铁路牵引供电网系统中的重要组成部分[1-2]，除了作为高速动车组的走行轨外，还兼做牵引供电网的回流导体[3]。高速动车组与普速列车相比，动车组的牵引回流大。且高速动车组中有大量的电子设备，如速度传感器、温度传感器、列车自动保护系统(Automatic Trian Protection，ATP)、综合专用数字移动通信系统(Global System for Mobile Communications-Railway，GSM-R)等。这些电子设备的保护接地都是通过车体连接到钢轨上，当车体的接地布局不合理时，易引起大电流上车，造成不同程度的地电位不平衡问题，使车体与钢轨之间产生较大的电势差[4-7]。不同系列的CRH型动车组其接地方式也不同[8-9]，这也将出现各种电磁兼容问题，如CRH380BL型动车组降弓时因TCU型速度传感器受到电磁干扰，导致车门不能正常闭合[10]；CRH380CL型动车组停靠在车站内时由于BCU型速度传感器受到电磁干扰，导致车门无法打开。此外，钢轨作为轨道电路的载体，在研究轨道电路传输特性[11]时，需要得知钢轨感抗在不同电流频率和电流幅值下的数值。综上所述，精确计算钢轨感抗的数值对于高速动车组的安全运行具有重要意义。

总结前人的研究成果[8]可发现，由于分析车体接地电位不平衡时忽略了钢轨感抗的影响而只考虑钢轨的电阻，因此不能精确分析车体接地的电位不平衡问题。目前，国外一般是通过试验测量的方法得到钢轨感抗参数[12-16]；我国学者曹建猷院士给出了钢轨阻抗的经验公式[17]，文献[18—19]给出了钢轨阻抗的测量参数。但是这些研究都没有给出具体的理论分析，缺少从物理层面对钢轨阻抗进行分析。钢轨感抗作为钢轨阻抗的一部分，只有在精确确定钢轨感抗的基础上才能确定钢轨阻抗。

本文从集肤效应和电流与钢轨内磁通的交链机理出发，通过建立钢轨等效模型，推导钢轨感抗的精确计算公式。该研究不仅从理论上阐明了钢轨感抗的机理，同时对于电气化铁路的工程实践具有指导意义。

1　钢轨等效模型

在物理电磁学中，电流与磁通的交链称为磁通链，又称磁链。其中磁通分为内磁通和外磁通，穿过导体横截面的磁通称为内磁通，穿过导体外部的磁通称为外磁通。

长直通载流导体中电流与内磁通的交链如图1所示。图中：I为通过载流导体的电流；l为载流导体的长度；R为载流导体的半径；r为磁场路径包围的圆的半径；I′为半径r处磁场路径所包围的电流；Bi为半径r处的磁通密度；dr为半径r上的微元宽度。

图1　长直通载流体内电流与内磁通的交链示意图

利用安培环路定理得出半径r处的磁通密度Bi为

(1)

其中，

式中：μ为导体磁导率；π为圆周率。

图1中电流I形成的回路构成电流环，而在长度为l、宽度为dr的矩形面上内磁通微元也为环形，两环相交构成交链，则内磁通与电流的交链为

(2)

则载流导体的感抗Xi为

(3)

式中：f为电流频率。

得出式(3)的前提为电流密度在载流导体中是均匀分布的，并没有考虑集肤效应的影响；但实际情况是，由于集肤效应的存在，通过钢轨的电流密度并不均匀分布，而是从钢轨表面到钢轨内部成指数形式衰减。故不能直接使用式(3)计算钢轨的感抗。

通过有限元法仿真分析不同电流幅值和频率下钢轨内部的电流密度分布，如图2—图5所示。

图2频率均为1 Hz的不同幅值电流通过钢轨时的电流密度分布

图3频率均为10 Hz的不同幅值电流通过钢轨时的电流密度分布

图4频率均为50 Hz的不同幅值电流通过钢轨时的电流密度分布

图5频率均为100 Hz的不同幅值电流通过钢轨时的电流密度分布

由图2—图5可见：由于集肤效应的存在，钢轨内大部分工频及工频以上的电流都分布在钢轨表面，即钢轨中的电流只分布在其截面边缘，且在同一频率下，钢轨内电流幅值为1 000 A的集肤效应比电流幅值为100 A更明显，这将导致钢轨内通过1 000 A的电流时其感抗数值将大于通有100 A电流的钢轨感抗。因此计算分析工频以上电流的钢轨感抗时需要采用圆柱载流导体等效模型，并且必须考虑集肤效应对电流密度的影响。

钢轨集肤深度d为

(4)

式中：μr为钢轨的相对磁导率；μ0为真空磁导率；γ为钢轨的电导率。

按照上述有限元仿真分析知，钢轨内部工频及工频以上的电流会由于集肤效应而集中分布在钢轨表面。因此可以将钢轨等效为电流密度成指数衰减的圆柱形载流导体，研究钢轨感抗，其等效模型如图6所示。图中：J0为钢轨表面电流密度；J(r)为等效钢轨半径r处电流密度。

等效模型的等效半径Re为

(5)

式中：L为钢轨横截面的周长。

2　钢轨感抗精确计算公式

如图6(b)所示，钢轨在通过交流电的情况下，由于集肤效应，电流主要在钢轨表面及其集肤深度不超过d的范围内流动，在集肤深度d以外的钢轨其他处的电流按指数衰减得只剩30%。考虑集肤效应的影响，钢轨内半径r处的电流密度J(r)为

(6)

式中：J0为钢轨表面电流密度。

图6　钢轨等效模型图

式(6)可以很好地反映出集肤因子对钢轨感抗特性的影响。

通过钢轨内的总电流为

(7)

半径r处磁力线所包围的电流为

(8)

电流I所产生的磁场与电流本身的交链为

(9)

钢轨的内自感为

(10)

钢轨的感抗为

(11)

3　计算结果与仿真分析

3.1　钢轨感抗与电流幅值的关系

以60 kg·m-1钢轨为计算对象，取钢轨的长度l=1 m，横截面的周长L=685 mm，等效半径R=109 mm，电导率γ=4.762 MS·m-1。

因为不同电流下钢性材料的磁导率也在变化，所以钢轨的感抗在不同电流下呈现不一样的大小。根据文献[20]给出的钢轨相对磁导率μr与磁场强度H(H=I/L)间的函数曲线关系，可以得出不同电流I下的参数μr，在此基础上由式(11)计算出工频情况(50 Hz)下通过不同幅值电流时的钢轨感抗，并通过感抗与内自感的关系(Xi=2πfLi)将文献[21]给出的内自感实测值换算成工频下的感抗值进行对比，结果见表1。

从表1可以看出：由式(11)计算得到的钢轨感抗与文献[21]中实测值的误差不超过10%。

工频情况下通过不同电流幅值时钢轨感抗的变化曲线如图7所示。从图7可以看出：钢轨感抗将随着电流幅值的增加先快速增大，而后缓慢减小，即不同幅值的工频电流通过钢轨时其感抗也不同。如长编组的高速动车组满负荷运行时通过钢轨的电流可达800 A，此时μr为480，钢轨感抗约为0.204 mΩ·m-1；若动车组停靠在站内时，通过钢轨的电流不足30 A，此时μr为100，钢轨感抗约为0.092 mΩ·m-1。

表1　工频情况下不同电流幅值对应的钢轨感抗

图7工频情况下通过不同电流幅值时钢轨感抗的变化曲线

精确计算动车组不同工作状态下的钢轨感抗可为脉冲瞬态干扰对地电位的影响提供分析。

3.2　钢轨感抗与电流频率的关系

43，50和60 kg·m-1这3种型号钢轨横截面的几何参数见表2。

表2　不同型号钢轨横截面的几何参数

幅值为100 A的电流通过长度均为1 m的不同型号钢轨时，钢轨内自感与电流频率的关系如图8所示。

从图8可以看出：在电流频率约为200 Hz以上时，钢轨内自感趋于常数，表明此时集肤深度很小，电流基本在钢轨表面流动，钢轨内磁通接近最小；而电流频率在200 Hz以下时，由于集肤效应减弱，钢轨内自感快速增大；不同型号钢轨的内自感虽有不同，但区别不是很大，说明钢轨的横截面尺寸对其内自感影响不大。

图8　不同型号钢轨内自感与电流频率的关系曲线

钢轨感抗与电流频率的关系如图9所示。

图9　不同型号钢轨感抗与电流频率的关系曲线

从图9可以看出：钢轨感抗随着电流频率的增大而增大，并且小尺寸的钢轨在高频电流通过时其感抗会更大。

4　结　论

(1)本文钢轨感抗计算公式的计算结果与实测值的误差不超过10%。

(2)钢轨内部工频及工频以上的电流会由于集肤效应而集中分布在钢轨表面。因此可以将钢轨等效为电流密度成指数衰减的圆柱形载流导体，研究钢轨感抗。

(3)钢轨感抗随着电流幅值的增加先快速增大，而后缓慢减小。对于60 kg·m-1钢轨的轨道系统，长编组高速动车组满负荷运行时，通过钢轨的电流幅值可达800 A，若动车组停靠站内，通过钢轨电流幅值不足30 A，钢轨感抗的变化范围为0.092～0.204 mΩ·m-1。可为动车组不同工作状态下脉冲瞬态干扰对地电位的影响提供分析。

(4)随着电流频率的升高，钢轨内自感逐渐减小而钢轨感抗则增大，且钢轨的横截面尺寸越小其内自感和感抗就越大。

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