浓度及渗流速度变化时污染物运移过程的求解

郭志光,白 冰

(北京交通大学土木建筑工程学院,北京 100044)

浓度及渗流速度变化时污染物运移过程的求解

郭志光,白 冰*

(北京交通大学土木建筑工程学院,北京 100044)

基于稳态情形下的解析解,得到污染物浓度及渗流速度随时间变化的非稳态情形下的近似解,并与稳态情形下的计算结果进行验证分析.计算表明,随时间离散间距减小,所得近似解的精确度显著提高.算例分析表明,阻滞因子对污染物吸附量有较大影响,随解吸因子与吸附因子差值的增大,污染物的吸附量逐渐增大.例如,当吸附因子为1.7,解吸因子为1时,污染物吸附量可达到30%.而且,随吸附因子的增大,污染物穿透曲线的峰值减小,而峰值出现时刻也相应滞后.弥散度对吸附量的影响较小,但对污染物的穿透曲线形态有较大影响.随弥散度增大,污染物穿透过程延长,且污染物迁移过程主要受渗流速度影响.

污染物运移；非稳定流；非均衡吸附；多孔介质；迁移过程

石油和天然气的开采、地热资源的开发、城市生活垃圾的填埋以及核废料的深埋处置等工程活动不同程度地影响着环境.多孔介质中污染物迁移特性的研究在评价和预测人类各种工程作用下岩土渗透特性及物质迁移规律等方面有重要的研究意义,是当前环境岩土工程迫切需要解决的问题[1-5].

关于多孔介质中污染物运移过程及机理的研究已开展了较多的工作.Leij等[6]利用拉普拉斯及傅里叶变换考虑单向稳定渗流场,给出了半无限多孔介质中均衡吸附作用时溶质运移的解析解.Wang等[7]、Ahfir等[8]提出了一种短脉冲注入下污染物在多孔介质中的迁移及沉积特性的数学模型.A ltoe等[9]讨论了深层污染物迁移及污染物尺寸的阻滞作用下的数学模型.Lagdsmand等[10]通过室内土柱试验模拟降雨过程中污染物随胶体迁移的过程. Bai等[11]通过室内土柱试验探讨了悬浮颗粒的浓度对其在饱和多孔介质中迁移和沉积特性的影响. 陈子方等[12]实验研究了Pb2+和Cr6+在砂质包气带中的迁移转化规律,以及雨水淋洗受污染包气带时重金属的再释放规律.白冰等[13]对多孔介质中悬浮颗粒在渗透作用下不同颗粒粒径及注入浓度、不同渗透速度及方向的迁移过程进行了研究.陈云敏等[14]建立了污染物在层状土中的一维扩散模型,算例分析了不同衬里的放置顺序对污染物扩散的影响.

污染物运移过程中,常常伴随着流速及污染物浓度随时间变化的问题,如定期释放或排出循环浓度的污染物,其引起的多孔介质中污染过程及其处理过程在化学工业、石油工业、医药工业中是一类典型的问题[11,15-16].为此,针对单一污染物迁移过程,本文采用离散化方法,将渗流速度及污染物浓度随时间变化的非稳态情形近似为较短时间内的稳态问题,继而利用稳态情形的解析解,得到了均衡吸附时非稳态情形下污染物运移问题的近似解.最后,求解得到了非稳态情形下非均衡吸附问题的近似解.

1 控制方程及时间离散

考虑吸附解吸作用时,一维情形下水动力对流-弥散方程为[17-20]:

式中:C为溶质浓度,表示流体中污染物的浓度,M/L3;S为吸附浓度,表示单位质量多孔介质中固相所吸附溶质的质量,M/M;x为污染物迁移的位移,L;t为迁移过程的时间,T;ux为多孔介质中流体的实际流速,L/T;Dx为水动力弥散系数, L2/T, Dx=αx·ux,αx为水动力弥散度,L;ρb为单位体积多孔介质中固相的质量,即,体积干密度, M/L3;n为孔隙率.

由Freundlich经验模型[21-23],可知线性均衡吸附时,吸附浓度S与溶质浓度C的关系, S= kd· C.则式(1)可简化为:

式中:kd为吸附平衡常数,L3/M;R为阻滞因子, R=1+(ρb／n) ·kd.

假定污染物浓度C0(t)及渗流速度ux(t)随时间的分布如图1所示.为求解此类非稳态问题,可采用离散化的方法,将时间离散为n段,时间长度均为δ;每段时间内污染物浓度值及渗流速度值分别记为C1、C2、……Cn和u1、u2、……un.其值分别为每段开始时刻与结束时刻的平均值,见图1.

图1 时间离散方式Fig.1 Time discrete method

2 均衡吸附问题求解

显然,对于一维半无限空间,本底浓度为0,第一段时间内污染物浓度为C1,其余时间段内污染物浓度为0,且渗流速度为u1的稳态问题,通过解微分方程可得到此问题的解.此时对应的初始条件和边界条件为:

对式(2)做Laplace变换,利用初始和边界条件及Laplace变换表[24],整理后可得

式中:u(t)为单位阶跃函数.不难发现,若δ=t(即,整个时间域上污染物浓度为定值),式(6)的第2项为0,此时式(6)为污染物持续作用的稳态解[25].

式(7)表明:当流量不变时(即,u1·t为定值),P1(x,t)的值不发生变化.故有

式中:Pi(x,t)、Pj(x,t)分别表示式(7)中u1对应ui、uj.

那么,利用式(8)可将式(6)改写为

由式(9)可知,时间轴t为u1作用时间域,而时间轴t’为u2作用时间域.若第一时间段污染物作用结束后流速变为u2,此时的时间域应统一为时间轴t;且因解析解在时刻t=δ处连续,故通过时间平移将时间域t’映射到时间轴t上,即得此情形的解析解为:

当u2=u1时,P2(x,t)=P1(x,t),那么式(10)退化到稳态情形下的解析解(见式6).

以此类推,可得到第1时间段污染物作用结束后流速变化n次情形的解析解为:

式中:N表示第几个时间段区域,N=[t/δ﹣1/∞]+1,符号[]表示向原点方向取整.

若C1、C2、……Cn不为0,而u0=u1=……un,即污染物浓度随时间变化而渗流速度为稳态情形.同理利用Laplace变换方法,可得解析解为:

式(12)表明,此时的解即为单段情形(式(6))时间域上逐次向后平移δ时间的叠加.故利用式(8)逐次将式(12)进行改写,并通过时间轴映射可得均衡吸附时非稳态问题的一般解为:

3 非均衡吸附问题求解

均衡吸附时,吸附浓度S与溶质浓度C的关系见图2,其中R对应的吸附平衡常数为kd,见式(2).如图2所示,可将吸附浓度增大阶段看作为吸附过程,减小阶段作为解吸过程,阻滞因子为R时,溶质浓度C达到最大,吸附浓度S也将达到最大(R时的最大);而C减小到0时,S同样减小到0(沿R线),即整个过程表现为无吸附.

图2 吸附-解吸过程Fig.2 Adsorption-desorption processes

那么,若吸附浓度S在吸附过程中沿R变化,而解吸过程中沿平衡常数kd较小的R1变化,见图2.如此,吸附解吸过程中平衡常数的不同致使整个过程表现为非均衡吸附,截距a即为吸附量.故,对于非均衡吸附问题,可将其看作为2个单独的过程,吸附因子为Rd(对应的平衡常数为kd),解吸因子为Rr(对应的平衡常数为kr).则此时的控制方程为:

对于解析解式(6),假设溶质浓度达到最大值Cmax时对应的时刻为T,那么, T满足

上式可知,T ＞ δ.同时注意到,P1(x,t)有如下等式

式中:Pa,b(x,t)表示式(7)中u1、R分别为ua、Rb.

式(8)表明,对于污染物仅在第1时间段有值时,渗流速度的改变不影响峰值的个数,即此情形仅有一个极值点.故利用式(16)可将式(11)改写,并按上述时间坐标轴映射方法,可得非均衡吸附时第1时间段污染物作用结束后流速变化n次情形的解析解,当极值点出现时刻T’满足m=[T’/δ﹣1/∞]+1时,其解为:

由式(12)可知,对于污染物浓度及渗流速度随时间变化的非稳态情形时,通过将式(17)在时间域上逐次向后平移δ时间后进行叠加,得到非均衡吸附时非稳态问题的一般解为:

表1 模型参数Table 1 Model parameters

4 模型验证及分析

为便于结果验证,针对污染物非持续作用的情形(即,污染物作用存在结束时刻),由累计质量分数的定义可知MR为时刻t时,时间段0～t通过位置x处的污染物总质量与流入多孔介质污染物总质量比,见式(19).

式中:m为流入多孔介质污染物总质量,M;S为一维渗流的横截面面积,L2,在此令S为1个单位面积,L2.

现将非稳态所求结果与稳态情形时的解析解(式(6))进行对比,参考已有文献[8,26],拟定计算参数见表1,其中t0为污染物持续作用时间段.不同情形下,位置x=30cm处污染物迁移过程如图3所示,计算情形说明见表2,其中渗流速度ux(t)分布为: t∈[0,250], ux(t)=0.15cm/s; t∈(250,500], ux(t)=0.07cm/s; t∈(500,750), ux(t)=0.15cm/s; t＞750, ux(t)=0.25cm/s.

表2 计算结果说明Table 2 Description of calculation results

如图3所示,由于离散化原因(图1),污染物作用时刻t=10s,污染物浓度值由2.0mg/mL被平均化为1.0mg/mL,故表2中结果(2-1)、(2)、(2-2)较结果(1)偏小,且随着δ的缩小式(13)所计算结果越接近于真实值.对比结果(2)和(3)可以发现流速的变化会改变同一时刻溶质浓度的值,但最大溶质浓度与最终穿透量不会发生改变,此结论符合均衡吸附时的污染物运移规律(图2).其次,由表2中结果(3)和(4)可以发现,解吸时阻滞因子由Rd变为Rr致使位置x=30cm处最终穿透量由94.6%变为77.9%,即污染物运移过程为非均衡吸附;结果3和4具有相同最大溶质浓度峰值且达到峰值之前的时间段内其计算结果是相同,此结论符合非均衡吸附的前提假设(见图2).

图3 浓度恒定条件下的穿透曲线Fig.3 The breakthrough curves under constant concentrations

当污染物浓度分布为非稳态而渗流速度为稳态时,可利用式(12)求得其解析解.污染物浓度C0(t)分布为: t∈[0,10], C0(t)=2.0mg/mL; t∈(250,260], C0(t)=1.0mg/mL; t∈(500,510], C0(t)=2.0mg/mL;其他时刻均为0.位置x=30cm处污染物迁移过程如图4所示;计算结果说明见表2,其中污染物浓度分布为C0(t),结果(1)由式(12)计算所得.

图4可以看出,表2中结果(1)和结果(2)的计算结果吻合较好,较小差距是由于浓度拐点位置平均化所致.当渗流速度同样为非稳态时,结果(2)与结果(3)的穿透曲线呈现不同分布,但两者的最终穿透量都是97%,表明均衡吸附时最终吸附量为0;结果(4)与(3)对比可以发现,采用非均衡吸附模型时,两者的穿透曲线与最终穿透量均不同,当阻滞因子由1.7变为1.2时,此时的最终吸附量为27%.

图4 浓度变化条件下的穿透曲线Fig.4 The breakthrough curves under variable concentrations

现针对污染源循环释放污染物的情况,假设污染物浓度随时间分布如图5所示,渗流速度分布同图3所述.非均衡吸附时,利用式(18)求得位置x=30cm处污染物迁移过程见图6.

图5 污染物浓度分布Fig.5 The concentration distributions of contaminant

如图6(a)所示,随解吸因子Rr的减小,污染物吸附量逐渐增大;当解吸因子Rr等于1时吸附量为30.5%,而解吸因子与吸附因子相等时(即, Rr=Rd)吸附量为0.且随解吸影子Rr的减小,污染物整个穿透过程(即穿透浓度C再次为0)所需时间减小.图6可以看出,随吸附因子Rd的增大,穿透曲线峰值减小,且峰值出现时刻更晚;同时随Rd的增大,穿透曲线的第2波峰越不明显.

污染物浓度及渗流速度分布同图6所述,弥散度αx对污染迁移过程的影响见图7,其中

图6 不同阻滞因子时污染物穿透曲线Fig.6 Breakthrough curves with different retardation factors

图7 弥散度对污染物穿透曲线的影响Fig.7 The influence of dispersion on migration processes

图7表明,弥散度对穿透曲线有较大影响,随弥散度的增大污染物的整个穿透过程较长,其峰值逐渐减小;说明弥散度较小时污染物迁移主要受渗流速度的影响,不同时间段的污染物迁移干扰较小.然而,弥散度对吸附量的影响较小,污染物吸附量一般在20%左右.

5 结语

通过离散化方法,利用稳态情形的解析解,求解得到了非稳态情形下多孔介质中污染物运移问题的近似解.分析表明,均衡吸附作用下渗流速度、阻滞因子及弥散度的改变只是对污染物迁移过程中的吸附量有所改变,而整个迁移过程最终表现为无吸附,即累计质量分数MR为100%.对于非均衡吸附,污染物迁移过程中随解吸因子与吸附因子差值的增大,其吸附量逐渐增大;弥散度对穿透曲线有较大影响,而对吸附量的影响较小.

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A solution for the migration process of contaminant in porous media considering the variation of concentration and seepage velocity.

GUO Zhi-guang, BAI Bing*
(School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044,China). China Environmental Science, 2017,37(2)：613～619

A theoretical solution suitable for the variable concentration of contaminant and seepage velocity with time was deduced using an analytical solution for steady-state situation. The proposed model was verified by comparing with the analytical solution in the case of steady state. Analytical results indicated that the calculation precision increases with the decrease of the interval of discrete time. A typical case showed that retardation factor had an obvious influence on the adsorption effect of contaminant. For example, when absorption factor was 1.7and desorption factor was 1, the rate of adsorbed contaminant within porous mediumcould reach 30%. Moreover, the adsorption capacity of porous mediumincreased with the increase of the difference between adsorption factor and desorption factor. The peak value of the breakthrough curve of contaminant decreased with the increase of adsorption factor, and its occurrence time was relatively lagged. The degree of dispersion had little effect on the adsorption capacity, but had an apparent influence on the shapes of penetration curves.

transport of contaminant；unsteady flow；non-equilibriumadsorption；porous medium；migration process

X703.5

A

1000-6923(2017)02-0613-07

郭志光(1987-),男,河北邢台人,北京交通大学博士研究生,主要从事复杂环境条件下岩土介质力学特性的研究.发表论文1篇.

2016-06-07

国家自然科学基金资助项目(51678043,51478034)

* 责任作者, 教授, baibing66@263.net