应用K—means聚类算法划分曲面及实验验证

吴明阳+张芮+岳彩旭+刘献礼+丁云鹏+朱磊

摘要：针对大型覆盖件模具整体加工质量难以保证问题，采用曲面分片划分的方法，将所选曲面按照一定精度进行离散，通过求取离散点的几何参数和加工参数，将曲面进行粗略划分；采用K-means聚类算法进一步确定划分区域的曲面片数量和聚类中心数，利用Voronoi图算法提取曲面的边界；针对铝合金材料划分后的曲面的不同区域采用不同的加工方式进行加工，通过传统方法与曲面分片方法进行加工对比试验，验证提出方法的正确性及可行性。

关键词：曲面划分；K-means算法；Voronoi图；铝合金

中图分类号：TG506 文献标志码：A 文章编号：1007-2683（2017）01-0054-06

0 引言

现代产品复杂度越来越高，其表面各处曲率变化相对较大，零件整体由很多曲率相同或相似的区域组成，如果采用传统的单一加工方式进行加工难免会导致加工效率低、整体加工质量下降等问题，因此，将自由曲面按照曲率相似进行分片，对不同曲面片采取不同的加工方式进行加工是很必要的。

由于自由曲面的轮廓型面曲率实时变化，一般情况下，三轴数控机床对其加工的加工效率和加工精度均很低。华中科技大学的陈涛和彭芳瑜深入研究了三轴数控加工自由曲面的轨迹的生成算法及其轨迹优化，以此来提高自由曲面的加工效率；为了弥补三轴数控机床加工自由曲面加工条件的限制，Bedi et al.提出在五轴数控加工中的加工路径规划，该方法中加工刀具的方向取决于自由曲面曲率变化决定的运算法则；基于五轴机床成本高、结构刚性小且易产生颤振、刀路轨迹规划复杂的问题，ZezhongC.Chen L提出了一种曲面自动分片和轨迹生成方法。该方法按照复杂自由曲面几何特征差异将其分成若干子曲面，然后，根据每个子曲面的加工特性自动为每个子曲面设定五轴联动数控加工刀具路径；Sonthi等提出了一种特征识别方法，该方法是基于曲率区域，采用将零件的轮廓模型用曲率区域图表达的方式，通过分析曲面上每一个点曲率的变化，将整体曲面分成凸区域、凹区域、过渡区域以及平缓区域，最后再对不同的划分区域进行有针对性的轨迹规划；美国学者Lee、Ma和Je-gadesh提出了一种能确定发生过切的关键区域的滚球算法和边界匹配算法曲面分析方法；印度学者Bezbarush提出了一种自由曲面加工方法，该方法是将所选曲面用凸曲率和平滑度最大的多个曲面组成；赵丽等提出一种曲面归分方法，该方法将模糊c均值聚类法与减法聚类法相结合，将整体曲面划分为确定数量的曲面片，并计算每个曲面片中心的位置和曲面边界；郑慧江等提出了一种的曲面划分新方法，该方法面向STL模型，通过遍历无向图算法进行曲面分片，同时建立拓展拓扑关系；朱燏等提出一种二叉空间划分复杂曲面的算法，该算法基于聚类算法和法矢方向锥；林洁琼根据结合计算机图形学知识和NURBS曲面结构的性质，提出一种曲面分片规划算法，该算法将曲率与模糊中值算法相结合，将模具型面的几何信息和加工工艺信息相同或相似的曲面归为一类，这样整体曲面就被分为多个曲面片，并对该方法进行仿真实验，证明该方法可以解决模具自由曲面研抛效率低下的问题；王宏远等首次解析曲面铣削加工过程中的分片规划方法，根据计算机图形和曲面信息构造特点，提出基于曲率的和模糊中值法相结合的自由曲面边界提取及分片规划的通用算法；冯志新等提出一种基于k_均值聚类的模具型腔曲面分片方法。

根据加工允许误差的要求，以自由曲面的几何模型为基础，通过对自由曲面做一些变换处理或者映射处理，便可生成加工模型。自由曲面加工模型最初是通过离散曲面建立的，Duncan等通过离散自由曲面的方法建立曲面模型。无干涉刀路轨迹通过对离散模型进行等距偏置获得，但是，偏置会导致相邻面片之间产生间隙、相交甚至重叠等问题。Jerard等采用曲面建模技术对数控加工过程进行仿真，通过Z-Buffer法将离散网格点的z坐标值与刀具模型的Z坐标值进行比较。Choi提出了一种将刀具在构型空间内映射为一点的几何加工模型。闫光荣提出了一种新的考虑零件加工过程中的实际状况的基于留量的几何模型的数控加工智能仿真和验证模型。

本文在K-means聚类算法的基础上，结合Voronoi图算法对复杂曲面进行分片规划，针对划分后的曲面曲率的差异采取不同的加工方式进行加工。K-means聚类算法在matlab中可以直接调用，方法简单容易实现、运行速度快。

1 复杂曲面的特征划分

1.1 曲面特征描述

能够用来描述自由曲面的方法多种多样，包括Coons、Bezier、均匀B样条和非均匀有理B样条（NUBRS）几种曲面造型技术。因为NUBRS曲面造型技术不仅保留其他几种曲面造型技术的优点，而且还弥补了其他技术的不足，因此，本文选用NUBRS曲面造型技术来完成所选取面的造型。

NUBRS曲面造型技术的描述形式主要分为有理式描述和齐次坐标表示，但是，无论自由曲面采用什么表达方式，对曲面的几何形状特征的曲率计算及曲面特征划分的结果是相同的。本文选择有理式描述的曲面进行特征划分。

在实际加工中，一个完整的复杂曲面是由许多的复合曲面组合而成，每个曲面的NURBS描述形式如下：式中：P（u，v）为复杂曲面S的参数方程；P_i（u，v）为第；个曲面片的参数方程；Q_i为4×4的方阵，表示第i个曲面片的矢量方阵；u，v为参数曲面方程的两个参数，且满足0≤u，v≤1；k为曲面片的个数。

需要进行曲面划分的曲面要满足一定的复杂度，即包含凸曲面、凹曲面以及马鞍面等，这样曲面划分才有意义，因此，本文所选用的曲面如图1所示。

1.2 复杂曲面离散

在实际应用中，复杂曲面一般是用参数形式表达的。但是若直接用參数曲面来规划刀具轨迹，在进行数值迭代过程中往往会导致不稳定。因此，复杂曲面常常按照精度要求离散成网格形式，再对其进行运算，曲面信息由离散的点云信息来代替。

2 复杂曲面分片的具体过程

曲面的内在性质主要包括法失、切平面和曲率。内在性质是局部性质，它们在曲线或曲面上是逐点变化的。它们都是几何造型中最有用的内在因素，本文所考虑的曲面内在性质包括在一点处的法矢、曲率当中的主曲率、平均曲率和高斯曲率。曲面的分片主要分为曲面的粗分和曲面的细分。

2.1 复杂曲面粗分

曲面粗分的过程：通过空间离散复杂曲面记录型值点，然后计算离散型值点处平均曲率、高斯曲率、主曲率和曲面法矢。通过判断高斯曲率和平均曲率正负将曲面整体划分为凹面、凸面和马鞍面，其中马鞍面又分为鞍脊、鞍谷和极小面，表1为高斯曲率和平均曲率符号决定的曲面形状。

主曲率对曲面形状的影响：

对于曲面上的每一点，总是存在一个最大法曲率和一个最小法曲率。设k₁为最大主曲率，k₂为最小主曲率，根据主曲率可计算出高斯曲率和平均曲率：

高斯曲率为：K=k₁k₂

平均曲率为：H=（k₁+k₂）/2

从上面两式可以看出，k₁、k₂是下面二次方程的两个根：

K²-2HK+K=0

因此，k₁、k₂可以由每一个点处的高斯曲率K和平均曲率日计算得到，在一个曲面上，K=H²的点叫脐点，表示两个主曲率相等，同时也代表每个方向都可以是主方向，即脐点的法曲率是常数，这就要求脐点附近的曲面必须是球面或平面。

曲面主曲率是一对非常有效的曲率描述符，分析两个主曲率与分析高斯曲率、平均曲率具有相同的效果，但是两个主曲率和高斯曲率、平均曲率在应用时却各有裨益。

1）曲面的两个主曲率与方向有关，而曲面的平均曲率和高斯曲率却与方向无关。

2）曲面两个主曲率的符号可以决定6种曲面形状，分别为峰面、脊面、鞍面、平面、谷面、和凹面。曲面的平均曲率和高斯曲率符号可以确定8种曲面形状，分别为峰面、脊面、鞍脊、平面、极小面、凹面、谷面和鞍谷。其中鞍脊、鞍谷、极小面均属于鞍面范畴。

3）两个主曲率的计算要比平均曲率和高斯曲率的计算复杂。

4）曲面的高斯曲率是曲面的内在特性，它具有等距不变性。两个主曲率和平均曲率是曲面的外在特性。

通过以上分析，本文采用高斯曲率和平均曲率来判定曲面的形状。图2为曲面粗分的MATTJAB仿真图。

2.2 复杂曲面细分

曲面细分过程：在将曲面进行初步划分后，利用K-means算法进一步得到足够数量的曲面片、每个曲面片的聚类中心，将曲率相似又相近的点归为一类，形成划分区域。

K-means算法是将n个待计算点分类到预设的k个聚类中，使得每个待计算点距离其相应的聚类中心点的距离最小。反复进行以上计算，并将计算所得的数据分成不同的种类使得聚类效果最好，进而使得每个划分的类别紧凑、独立。

假定选定样本为{x^（1），…，x^（2）}，每个x^（i）∈R^N。随机选取五个聚类中心点为μ₁，μ₂，…μ_k∈Rⁿ。对于每一个样例i，计算其应该属于的类

对于每一个类.j，重新计算该类的聚类中心

k是计算之前预设的聚类数目，c（i）表示第i个样本与预设k个类距离最近的类，其值为l到k中的任意一个值。质心μj代表样本中心点属于同一类的概率。

K-means聚类算法迭代的具体过程如下：

1）从所有的点中抽取k个作为初始聚类中心点，对其余的点进行遍历计算，寻找与其距离最近的聚类中心点，并将其加入到初始类中。

2）将新加入的聚类中心点作为新的聚类进行重新计算，找到与其距离最近的中心点，加入到该聚类中。

3）反复进行2），直到连续的两次迭代中出现相同的聚类中心点为止。

下图3展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

2.3 曲面边界提取

采用K-means聚类算法划分成不同区域的曲面边界并没有确切的定义。为了获得确切的边界，在此引入Voronoi图。Voronoi图又叫泰森多边形或Dirichlet图，其概念是由Dirichlet于1850年首先提出。Voronoi图是一系列相邻两点垂直平分线连接而成的多边形。N个在平面上有区别的点，按照最邻近原则划分平面；每个点与它的最近邻区域相关联。生成Voronoi图的方法有矢量方法和栅格方法。下图4为选用矢量方法生成的曲面边界。

Voronoi图多边形图由点集生成为扩展为由点、线、面集生成后，Voronoi图就具有了以下特性：

1）每个Voronoi图多边形内有一个生成元；

2）每个Voronoi图多边形内点到该生成元距离短于到其他生成元距离；

3）多边形边界上的点到生成此边界的生成元距离相等；

4）邻接图形的Voronoi多边形界线以原邻接界线作为子集。

3 曲面划分实验验证

为了验证采用K-means方法划分曲面在加工过程中的有效性，将整体采用等参数线法加工与本文提出的方法进行对比实验。其中本文划分的区域中曲率变化明显的区域采用等残留高度法进行加工，曲率变化不明显的区域采用等参数线法进行加工。

3.1 实验条件

实验设备：VDL-1000E三轴数控铣床、粗加工和半精加工采用‘P30的环形刀，精加工采用（P8的球头刀、工件材料为2A12铝合金、工件的加工尺寸为：40mm×40mm。各阶段加工参数如表2所示。

3.2 实验结果及分析

对比实验结果如下表3所示。

由表3可以看出，在加工参数相同，并滿足一定精度要求的情况下，采用本文提出的方法加工的零件路径长度更短，加工时间也相应的缩短了39%。加工零件表面质量对比如图6所示，其中，图6（a）为传统方法加工，图6（b）为本文提出方法的加工。从图6可以看出，本文所提出的方法由于是分区域加工，每个区域的曲率相近，并且不同的区域根据其曲率的差异选用不同的加工方式，所以曲率跳动过大引起的振动比传统方法的小，因此，加工后的零件表面震纹更小，残留高度也比较均匀，加工零件的表面光顺性更好。

实验过程中所选用的刀具及样件以及加工方式均是通用的，因此，优化方法可以在实际生产加工中推广使用。

4 结论

为了解决复杂曲面单一加工加工质量差和效率低的问题，将K-means聚类算法与Voronoi图算法相结合，对复杂曲面进行划分，针对划分的曲面选择适当的加工方式进行加工。

1）通过对曲面内在性质的分析，掌握曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率对曲面凸凹性的影响，并通过计算离散曲面各点的主曲率、高斯曲率和平均曲率初步确定划分区域，结合K-means聚类算法和Voronoi图算法完成曲面最终划分；

2）通过一组相同型面、相同参数、不同加工方式的对比试验，对传统加工方式和划分后曲面分片加工后零件的表面进行分析，证明本文提出方法是正确及可行的，并且本文提出的方法缩短了加工路径，缩短了39%的加工时问，提高加工效率，减小零件表面震纹，改善了加工质量。

（编辑：王萍）