基于分形理论的页岩气分支水平井产能数学模型

李忠厚吴小斌Zhongwei DU任茜莹

1.延安大学石油工程与环境工程学院；2. Faculty of Engineering and Applied Science, University of Regina；3.中国石油大学（北京）石油工程学院

基于分形理论的页岩气分支水平井产能数学模型

李忠厚1吴小斌1Zhongwei DU2任茜莹3

1.延安大学石油工程与环境工程学院；2. Faculty of Engineering and Applied Science, University of Regina；3.中国石油大学（北京）石油工程学院

利用分形几何法，研究了页岩储集层内水平井分支数目和长度的分形维度，以及水平井各分支井段压降扰动的传播规律，得到压降漏斗边界随时间变化的关系，考虑了页岩储集层解吸吸附、扩散系数和启动压力梯度的影响，建立了页岩气分支水平井产能数学模型。采用拉普拉斯变换法，求解了水平井外边界定压条件下的不稳定渗流的产能方程。结合四川某海相页岩气藏储集层参数，计算分析了页岩气分支水平井产能特征及影响因素。研究表明：在页岩气生产过程中，同一分形维度下，水平井分支数目越大，气井的产量增大越快；分支井的井段长度越大，对主干井的流量影响越大。吸附页岩气的解吸使得压降漏斗的边界传播速度减慢，地层压力下降缓慢；产气量越大，井底压力随时间下降越快，但是下降的趋势随时间逐渐减缓。

页岩气；分支水平井；分形维数；产能；数学模型

页岩气水平井流动特征是气藏工程、产能分析、气藏数值模拟以及采气工程研究的基础。页岩气在纳米～微米级页岩孔隙及裂缝中流动时，主要为解吸吸附、扩散、滑脱等，为低速强非线性渗流［1-5］。郭小哲［6］等在实验的基础上认为，页岩对内压具有很强的敏感效应；朱维耀等［7-9］认为，页岩气储集层渗流具有启动压力梯度；分支水平井在生产时，气体在地层中呈三维流向主干井和分支井，其渗流规律就是一个页岩气平面径向流的压降漏斗动边界问题；然后页岩气又沿着分支井与主干井汇合，最后沿着主干井流向垂直井的井底。分支水平井的产量方程的建立和求解较难，考虑压降漏斗动边界扰动问题则更难。中国页岩气整体处于工业起步阶段，虽然目前国内外通过压裂手段对页岩气的开发已进入快速发展阶段，然而由于页岩气储层的纳米级孔隙复杂，对页岩孔隙分形特征和水平井产能预测的研究，大多数研究成果给出的仅是页岩气压裂改造的渗流规律及其影响因素，尽管也有部分文献提出了具体的渗流方程，但考虑的因素尚少［10-15］，方程过于简化，难于更好地反映分支水平井的产能变化规律。为此，有必要揭示其页岩气的非线性流动规律，研究页岩气分支水平井产能变化特征，以便选取合理有效的开发方式和增产手段，为页岩气的开发提供理论依据。

基于分形理论对页岩储集层内水平井主干井和各分支井段长度和分支数目问题进行研究，进而建立考虑了页岩储集层解吸吸附、水平井分支数目和长度影响的页岩气分支水平井不稳定渗流数学模型，并推导和求解。结合中国四川某海相页岩储集层参数，分析页岩气分支水平井产能变化特征及其影响因素。

1 压力传播规律

Pressure propagation law

当页岩气分支水平井投入开发，打开储集层后，页岩气的流动不仅有各井段渗流过程，还存在页岩气扩散、滑移、解吸流动，流动阻力比常规天然气大。水平井主干井开采形成的压力降将逐渐向外传播，地层各点压力分布是绕井轴旋转构成的曲面，如图1所示，设某时刻t，压力传播到地层r处，在r范围内形成压降漏斗；r即为页岩气渗流过程中的压降漏斗边界。r随时间逐渐增大，压降漏斗边界上的压力等于原始地层压力。

图1 页岩气分支水平井平面径向流示意图Fig. 1 Schematic areal radial flow of shale-gas multilateral horizontal well

1.1 吸附和扩散系数对压力传播的影响

Effect of adsorption and diffusion coefficients on pressure propagation

页岩气藏是自生自储式气藏，是一种非均匀性的多孔储集层，主要为纳米～微米级孔隙，具有复杂的孔隙结构。页岩气赋存方式主要是分散在孔隙和裂缝中的游离态和吸附在干酪根和黏土矿物颗粒上的吸附态两大类［16］，以直井方式单纯依靠天然的孔-缝渗流不可能形成较大规模的产量。为了提高单井产量并获得较高的采收率，分支水平井技术在国内外得到了广泛的应用。当以分支水平井开始生产时，分支水平井的地层气体流量的变化不仅有以往水平井的地层气体流量的变化，还存在水平井各分支之间地层气体流量的变化。因此，在不稳定渗流过程中，分支水平井地层气体流量的变化是一个扰动压降漏斗边界问题。

对于气体流动已偏离达西定律的纳米～微米孔隙页岩储集层，朱维耀等［16-20］建立了考虑扩散、滑脱系数的具有复杂孔隙结构的气体流动方程

则任一瞬间，以水平井某分支为压降漏斗的中心井轴时，附近地层压力为

任一瞬间，以水平井主干井为压降漏斗的中心井轴时，附近地层压力为

如图 2所示，在地层中距离水平井某一分支为r处取微小圆环体， 水平长度为l，厚度为 dr，此单元体中游离态气体的原始储量为2πrlφiρidr。某一任意时刻 t，该单元体中残留气体储量为2πrlφρdr，因此，从单元体孔隙中采出的游离态气体储量为2πrl（φiρiφρ）dr。考虑吸附态气体的解吸，采出的总气体量为

图2 页岩气水平井分支平面径向流示意图Fig. 2 Schematic areal radial flow of branch holes of shale-gas horizontal well

联立式（3）、式（4）代入气体状态方程，进一步求得

按气体稳定渗流公式，页岩气分支水平井流量可写为

假设水平井采用定产量生产，即qsc1=const，联立式（5）、式（6）可得

由此根据Qsc=qsc1t和式（7）得出页岩储集层任一时刻压降漏斗边界与水平井分支参数n变化的关系为

中国四川海相页岩气F气藏孔隙度为3.0%～6.0%，绝对渗透率（0.3～7）×10-4mD，真实气体压缩因子0.87，气体黏度 0.031 mPa·s，平均解吸量4.611 7× 10-10kg/（m3·s），储层压力为37.57 MPa，井筒半径0.1 m，水平井段长度1 182 m，储层深度2 785 m，气藏厚度80.5 m，定产量18.2× 104m3/d。

利用四川F气藏基本参数，根据式（8）绘制水平井不同分支数目条件下页岩气储集层压降漏斗边界随时间变化关系图（图3）。同一时刻，分支井分支数目越多，压降漏斗动用的区域越大；在生产初期，各个压降漏斗边界单独传播，不产生扰动，在生产进行到一定阶段后，曲线上出现拐点，表明不同分支产生的压降漏斗边界产生相互干扰，拐点的参数表明产生干扰的次数和强度，因此页岩气储集层中压力传播需要考虑水平井分支的影响。

图3 不同分支数下压降漏斗边界与分支井半径比值随时间变化关系Fig. 3 Relationship of the ratio of pressure drop funeral boundary to branch hole radius vs. time for different branch hole amounts

1.2 启动压力梯度对压力传播的影响

Effect of startup pressure gradient on pressure propagation

在页岩气开采过程中，由于页岩孔隙结构对页岩气赋存和运移的影响，宏观上气体流动出现类似低渗油藏压力启动梯度现象。因此，建立考虑启动压力梯度的稳态径向流气体常微分方程

其中

求解得到考虑启动压力梯度的页岩气分支水平井渗流表达式

考虑解吸，地层中采出的总气体量

将式（11）代入式（10），得到页岩储集层考虑启动压力梯度压降边界与时间的关系为

图 4为不同启动压力梯度下压降边界随时间变化关系，可以看出，在同一时刻，启动压力梯度越大，压降漏斗传播边界越小。

图4 不同启动压力梯度下压降漏斗边界与主干井半径比值随时间变化关系Fig. 4 Relationship of the ratio of pressure drop funeral boundary to main hole radius vs. time for different startup pressure gradients

2 产能模型及求解

Productivity model and its solution

分形理论由于其具有描述不规则物体的优越性和精确性，是研究自然界中不规则性和不均匀性几何形态的有力工具。页岩气水平井分支在地层是一种不规则分布，分支段可以认为是水平井段的自相似性的分形，计算分支水平井的分形维数，就可以近似计算分支水平井的产能模型。

分支水平井的水平井段长度为L，分支数目为n，分支段长度为Lm；以分支井与主干井的交点为分割点，水平井段分为数目n+1与水平井相似的分形，分支井为n个与水平井相似的分形，则分支水平井的分形维数为

在考虑页岩储集层解吸吸附和水平井分支数目、长度的基础上，利用分形理论的分支井长度的分形维数法，建立页岩气分支水平井不稳定渗流模型，并进行推导和求解。

基于页岩气渗流的连续性方程、运动方程和状态方程以及页岩气解吸吸附的Langmuir模型［17-18］，考虑不稳定渗流过程中水平井分支和启动压力梯度对压降漏斗传播的影响，建立页岩气分支水平井不稳定渗流控制方程

引入拟压力函数和无因次量，并定义如下

则（14）式可转换为

当页岩气水平井以某一恒定产量生产时，外边界定压，则其定解条件为

对于分支数为n的页岩气水平井，运用拉普拉斯变换法求解其在气藏中的拟压力函数可表示为

其中，βn为方程（20）的根。

将拟压力函数代入式（19），求得分支井水平井的产量为

3 不稳定渗流储集层产能预测与分析

Prediction and analysis on the productivity of reservoirs with unsteady seepage

根据上文推导出的考虑水平井分支、启动压力梯度、解吸吸附的页岩气分支水平井产量变化规律，结合四川F气藏基本参数，对页岩气分支水平井不稳定渗流压力分布及其影响因素进行分析。

图 5为不同分支长度对气井生产的影响曲线，纵坐标表示分形维度计算下的气井产量QDn与单一水平井气井产量Q之比。由图可见，同一分形维度下，水平井分支数目越大，气井的产量增大越快；分支井的井段长度越大，对主干井的流量影响越大。

图5 不同分支长度对气井生产的影响Fig. 5 Effect of branch hole length on gas well production

图6 为吸附解吸气体量对气井生产的影响。由图可见，考虑吸附页岩气解吸量时分支水平井日产量变化幅度不大，分支水平井的累计产量变化较大，具有明显的产量提升；吸附页岩气的解吸使得页岩气的产量增加。

图6 吸附解吸气体量对气井生产的影响Fig. 6 Effect of adsorption/desorption gas volume on gas well production

图7 为基于分形模型的气井模拟值与实际产量对比图。图中水平井的水平段长度1 182 m，分支段长度450 m，分支数目为1，带入式（13）计算出分形维数Dn为1.14.根据同地层单一水平井的生产数据带入分形维数产能模型计算出分支井的模拟数据，并与分支井的实际数据相比较。由图可见，分支井的产量初期明显高于单一水平井，模拟值与实际产量拟合较好；由于水平分支井与主干井之间的相互干扰，分支井产量递减较快；随着生产时间的增加，模拟值与实际产量变化逐渐平稳，并且拟合较好。

图7 基于分形模型的气井模拟值与实际产量对比Fig. 7 Comparison between actual production and simulated value of gas wells based on fractal model

4 结论

Conclusions

（1）利用几何分形法得出了分支水平井井段长度的有效分形维数表达式。同一分形维度下，水平井分支数目越大，气井的产量增大越快；分支井的井段长度越大，对主干井的流量影响越大。

（2）考虑吸附页岩气解吸量时分支水平井日产量变化幅度不大，分支水平井的累计产量变化较大，具有明显的产量提升

（3）基于分形理论的分支井模型模拟值与实际产量的拟合曲线，在生产初期和递减期拟合较好，中间拟合度较差。

符号说明：

Symbol description:

a为修正系数；b为滑脱系数，m2/s；C为气体的等温压缩系数，Pa-1；Dn为水平井段长度的分形维数；Ei为幂积分函数；F为拟压力函数，Pa/s；J0为第一零阶贝塞尔函数；J1为一阶贝塞尔函数；K0为储集层绝对渗透率，m2；kB为玻尔兹曼常数；L为气层水平井长度，m；Lm为气层水平分支长度，m；l为气层水平长度，m；n为水平井分支数（m=0，1，2，3，…，n）；p为储集层压力，MPa；pa为某一已知压力，MPa；pe为原始地层压力，MPa；pL为Langmuir压力，表示吸附量为最大吸附量一半时的压力，Pa；psc为标准状态下压力，MPa；pwm为水平井分支井底压力，MPa；Qsc为地层中采出的总气体量，m3；qd为单位体积页岩单位时间的解吸量，kg/（m3·s）； qsc1为标准条件下气井流量，m3/s；qsc2为启动压力梯度影响下气井流量，m3/s； R1（t）为水平井分支影响压降漏斗边界，m；R2（t）为启动压力梯度影响压降漏斗边界，m；r为压降漏斗边界距井筒距离，m；re为气井供给半径，m；rw为井筒半径，m；rwm为分支井井筒半径，m；rLm为水平井第m分支井径向距离，m；T为地层温度，K；Tsc为标准状态下温度，K；t为生产时间，d；VL为Langmuir体积，表示最大吸附量，m3；v为气体渗流速度，m/s；Z为气体压缩因子，无因次；Zsc为标准状态下气体压缩因子，无因次；δ为气体分子的碰撞直径，m；θm为水平井第m分支与主干井夹角角度，rad；λ为启动压力梯度，Pa/m；μ为气体黏度，Pa·s；ρ为气体密度，kg/m3；ρi为地层原始气体密度，kg/m3；ρgsc为标准状态下气体密度，kg/ m3；φ为储集层孔隙度，小数；φi为储集层原始孔隙度；Ψ为非线性拟压力函数，Pa/s；Ψw为井底非线性拟压力函数，Pa/s。下标D表示无因次。

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（修改稿收到日期 2016-12-16）

〔编辑 朱 伟〕

A mathematical model for productivity calculation of shale-gas multilateral horizontal wells based on fractal theory

LI Zhonghou1, WU Xiaobin1, Zhongwei DU2, REN Qianying3

1. School of Petroleum Engineering and Environmental Engineering, Yan’an University, Yan’an 716000, Shaanxi, China; 2. Faculty of Engineering and Applied Science, University of Regina, S4S 0A2; 3. College of Petroleum Engineering, China University of Petroleum (Beijing), Beijing 102249, China

In this paper, the fractal dimension of length and branch hole amount of horizontal wells in shale reservoirs and the propagation laws of pressure drop disturbance of each branch were investigated by means of fractal geometry. Accordingly, the relationship between the pressure drop funnel boundary and the time was figured out. Then, a mathematical model for calculating the productivity of shale-gas multilateral horizontal wells was developed by analyzing the effects of desorption, adsorption, diffusion coefficient and startup pressure gradient of shale reservoirs. The productivity equation of unsteady seepage while the pressure at the external boundary of horizontal well is constant was solved by means of Laplace transformation method. Finally, the productivity characteristics of shalegas multilateral horizontal wells and their influential factors were calculated and analyzed based on the reservoir parameters of a certain marine shale gas reservoir in Sichuan. It is indicated that in the same fractal dimension, the production rate of gas wells increases in the process of shale gas production as the number of branch holes of horizontal well increases. The longer the branch hole is, the more the flow rate of main hole is affected. Due to the desorption of adsorbed shale gas, the propagation velocity of pressure drop funeral bound-ary decreases and the decline of formation pressure also slows down. The higher the gas production rate is, the faster the bottom hole pressure drops over the time, but the decline tendency slows down gradually as the time goes.

shale gas; multilateral horizontal well; fractal dimension; productivity; mathematical model

李忠厚，吴小斌，Zhongwei DU，任茜莹.基于分形理论的页岩气分支水平井产能数学模型［J］ .石油钻采工艺，2017，39（1）：7-13.

TE328

A

1000 – 7393（ 2017 ） 01 – 0007 – 07

10.13639/j.odpt.2017.01.002

:LI Zhonghou, WU Xiaobin, Zhongwei DU, REN Qianying. A mathematical model for productivity calculation of shalegas multilateral horizontal wells based on fractal theory［J］. Oil Drilling & Production Technology, 2017, 39(1): 7-13.

国家科技重大专项“井震结合油藏精细结构表征技术”（编号：2011ZX05010-001）；陕西省高水平大学建设专项资金资助项目（编号：2013SXTS03）；延安大学专项科研基金项目（编号：YDK2012-1）。

李忠厚（1982-），2008年毕业于中国石油大学（华东）油气田开发工程专业，现为延安大学讲师，从事物理法采油，非常规油气田开发方面的研究工作。通讯地址：（716000）中国陕西延安市圣地路580号延安大学石油工程与环境工程学院。电话：18329909987。E-mail：wo119944595er@163.com