高中数学概念的特质与“精准化建构”策略

唐雪芳

[摘要]数学概念是高中数学教学的基石，具有抽象性、多元性、层次性、系统性等诸多特性。在学生获得数学概念的过程中，我们既要遵循数学概念本体的特质，也要研究学生获得概念的学习心理。在教学中，教师要探析概念的形成过程，发掘概念的内涵和外延，引领学生深刻把握概念间的关联，让学生灵活运用概念去解决问题。由此。让学生获得对数学抽象概念的“精准化建构”！

[关键词]高中数学概念：概念获得：精准化建构

在高中数学的学科教学中。数学概念具有基础性、先导性。它既是数学知识的基本单元。同时也是学生展开数学思维的基本单位。在教学中。教师必须把握数学概念的特质。研究学生获得数学概念的基本方式。探寻学生对数学概念进行“精准化建构”的策略。

高中数学概念的内涵及其特质

高中数学概念是指學生在数学学习过程中对数学知识、规律等形成的具有本质意义的认识。数学概念建基于学生的生活经验。其形成依赖于学生的自主性、合作性、探究性的数学观察、数学猜想、数学探究和数学实验等。

1.数学概念的“过程性”特质

高中数学概念兼具“过程属性”和“对象属性”。即高中数学的概念既表现为数学的实验、数学的活动、数学的操作过程。又可以凝聚为特定的思维对象、建构对象。例如，“椭圆”概念既表现为学生对诸如天体行星、卫星运行轨道的认识。对画椭圆实验操作过程的理解。同时更表现为学生对“椭圆”概念的本质理解——“平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹”。对椭圆标准方程推导过程的感悟。在高中数学教学过程中。如果我们将数学概念看作一个探究过程意味着数学概念的意义是动态的：将数学概念看成对象则意味着数学概念具有鲜明的本质属性！

2.数学概念的“表象性”特质

高中数学概念具有深刻的数学内涵和广博的数学外延。学生在数学学习中往往依赖于概念表象来进行思维。例如。“数列”的概念在教学时为了让学生直观感受到“等差数列”与“等比数列”（见苏教版高中数学教材必修5第二章）。教师必须充实教材中的素材。让学生观察、比较。获得“等差数列”和“等比数列”的表象支撑。丰富、鲜活的概念表象让高中数学的概念教学不再是“抽象化”定义，而是一系列形象化、操作化的具体确证与表征。

3.数学概念的“系统性”特质

高中数学概念是彼此关联的。由此形成了数学概念的严密体系及丰富的数学概念结构。在教学中。教师要善于从系统的角度去引导学生研究概念。让学生织成“概念网”。例如。“复数”概念是非常抽象的。很多学生没有精准把握。究其根本是因为学生对“数系扩充史”没有把握。在教学中。笔者用“若x²=-1。求x的值”这一习题唤醒学生对“复数”的认知——“复数”概念并不高深。只是“数集”发展到一定历史阶段的必然_在高中数学中。存在着许多相互关联的概念。如空间角和平面角。平行向量和平行线段，方程与不等式，映射与函数。等等。

高中数学概念的“精准化建构”

高中数学概念的“精准化建构”指学生在教师的引导下对数学概念的内涵和外延进行深度探寻、精细加工。如果学生对数学概念的获得仅停留在死记硬背的基础上，那么学生将难以形成强的迁移能力。由此常常导致概念的生搬硬套、机械运用或运用不当等。学生对数学概念的“精准化建构”要求学生对数学概念的内涵、外延、限制条件、肯定例证、否定例证等有着精准的把握。

1.展现数学概念的生成过程

在高中数学概念的教学中。许多教师采用“效率高”的“告诉式教学”。让学生占有而不是理解概念。其实。学生不是一张白纸，学生生活中的数学感悟、数学学习的“先在概念”都能在学生面对数学新概念时被有效激活。例如。许多学生对“椭圆的第二定义”感到费解。教材上的“第二定义”也显得比较突兀。教学时。笔者从椭圆的第一定义的标准方程出发。引领学生自己进行公式推导。将椭圆的第二定义建立在标准方程的推导之上。让学生观察第二定义中方程的几何特征。思考方程式中的分子代表什么。分母代表什么。由此学生自然理解了椭圆的第二定义不仅如此。学生深刻领悟到椭圆的第一定义与第二定义在本质上是一致的。在后续学习中。如学习“双曲线”时。学生也能实现方法上的迁移。自己推理出第二定义的方程式。进而深刻理解双曲线的第二定义。

高中数学概念是人类理论和实践智慧的结晶。在高中数学教学中。必须引领学生经历数学概念的“数学化”过程。展现抽象概念、定义从无到有，由粗疏到精密的演变过程。让学生对数学的概念不仅仅“知其然”。更“知其所以然”。发展学生的数学认知方式、数学思维方式，提升学生的数学思想、数学方法等。

2.对接学生的“概念系统”

通常情况下。学生面对崭新的数学概念时都能调动起自我的数学“前位概念”。对新概念进行理性思辨。在这个意义上。学生的概念学习过程可以认为是学生概念系统不断扩张、不断修正的过程。在高中数学教学中。教师要创设条件让学生的“前位概念”与“新概念”之间进行同化与顺应。例如。“函数”概念在初中数学已经有所研究。在高中数学还要研究在初中数学中，我们是从变化的、运动的视角去研究函数的。即对于自变量任取一个数值，都有一个函数值与之对应。而高中数学则是从集合、对应的视角去研究函数的。即是将“原象集合”中的元素与“象集合”中的元素对应起来。高中数学教学时。要将“函数概念”对接学生已有的“函数概念”。同时又必须提升和发展。即用图像、公式、表格等表征函数的方式转向用数学的抽象语言描述函数的本质特征。对函数概念、特征（如函数的单调性、奇偶性等）的理解学生要经历一个“概念同化”与“概念顺应”的过程。

3.对抽象概念进行“意义赋予”

高中数学概念是抽象的。教学中需要联系学生可理解的概念和学生生活中的事件原型等。帮助学生理解概念。这是一个对抽象概念进行“意义赋予”的过程。如“函数”概念的讲解可以联系学生熟悉的数量关系。如行程问题中的函数关系、气温变化中的函数关系、生产中的函数关系等。让抽象的概念具体化。又如“指数函数”的引入。可以让学生操作折纸，当学生对折到7、8次时就无能为力了，这时可以让学生思考：一张厚度为0.1毫米的纸张对折30次有多厚呢。如此。学生不但理解了指数函数的内涵。还感受到了指数增长的速度。体验到“指数爆炸”的威力。“意义赋予”是对抽象概念的形象化揭示。对数学概念进行“意义赋予”能为学生理解数学概念提供有力支撑。

4.在“概念结构”中凸显本质内涵

瑞士心理学家皮亚杰认为。“数学是对结构的构建而建立起来的”。高中数学教学中。教师可以从数学概念的因果关系、属种关系出发，在“概念结构”中让学生形成本质化的理解和认识。例如。教学“分数指数幂”。教材上只是给出“指数幂”的定义。学生不理解其必要性和作用。为此，在教学时，笔者让学生系统回顾了各种运算的必要性：如乘法是加法的简便运算：乘方是乘法的简便运算：为了将加减法统一为加法，我们引入了“相反数”的概念：为了将乘除法统一为乘法。我们引入了“倒数”的概念。由此，为了统一乘方和开方，我们引入了“分数指数幂”的概念。教师对相关、类似的数学概念进行“集约处理”。有助于学生理解概念的本质内涵和概念间的相互关联。如此增进了概念的“生成力”。

高中数学概念是高中数学教学的基石，具有过程性、抽象性、系统性等诸多特性。学生对数学概念的理解是由肤浅到深刻、由浅表到本质的过程。高中数学概念教学建基于学生的“生活理解”。发展于学生的“过程探究”。提升于概念的“集约结构”。在这个过程中。要让学生深刻体验数学概念的创造性、再生性。理解数学概念的丰蕴意义。演绎出数学概念的生动发展历程！