数列通项公式的求法探讨

吴先全

通项是数列中的一个重要概念，通过通项公式，我们也就弄清楚了相应数列，因此求数列通项公式就成了一个非常重要的问题，那么如何求得数列的通项公式呢？本文在此作一初步探讨。

一、观察法

对一个只给出了前几项的数列，应观察它的变化规律，哪些是不变量，哪些是随项数变化而变化的量，从而得出数列的通项公式。同时，要注意检验写出的通项公式应符合前面的几项。

例1 写出数列，，，，，……的一个通项。

解：数列各项为一个分数，但其中，不利于观察它们的规律，若把它们改写为，，则原数列为：

，，，，，……

这个数列分母比分子大2，分子随项数变化，符号成-，+，-，+，……变化，故

an=

二、利用an=关系

an与Sn的关系是a1=S1，an=Sn-Sn-1（n≥2），利用这一关系可以化“和”为“项”。一般已知里涉及an与Sn的用此法可求出通项。

例2 设正项数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn=an2+2an对任何自然数n都成立，求通项。

解：4Sn=an2+2an………………（1）

4Sn+1=an+12+2an+1……… …（2）

由（2）-（1）得：4an+1=an+12-an2+2（an+1-an）

∴（an+1+an）（an+1-an-2）=0

又an+1+an>0

∴an+1-an=2

由4a1=4S1=a12+2a1可得a1=2

故{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列。

∴an=2n

三、累加法

当数列的递推公式可化为an-an-1=f（n） （n≥2）的形式，且f（1）+f（2）+……+f（n）是可求得的时，那么可以用“累加法”求得通项公式。

例3 已知数列{an}中，a1=2，an=2·3n-1+an-1（n≥2），求数列{an}的通项公式。

解：∵an=2·3n-1+an-1，∴an-an-1=2·3n-1，∴a2-a1=2·3，a3-a2=2·32，

……，an-an-1=2·3n-1

将以上各式左右分别相加，可得：

an-a1=2（3+32+…+3n-1）=3n-3，∴an=3n-1

四、累积法

当数列的递推公式可以化为：

=f（n） （n≥2）的形式，且f（1）·f（2）·……·f（n）是可求得的时，那么可以用“累积法”求得通项公式。

例4已知数列{an}中，a1=1，an=an-1·3n-1（n≥2），求通项。

解：∵an=an-1·3n-1， ∴=3n-1， ∴=3， =32， ……，=3n-1

将以上各式左右分别相乘，可得：

=3·32·…·3n-1=31+2+…+（n-1）=

∵a1=1， ∴an=

五、待定系数法

对于形如an+1 = man + k（k为非0常数）的递推公式，用待定系数法可配成an+1+p=m（an+p）的形式，其中p=（m≠1），再转化为等比数列可求得通项。

例5已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3，求通项an。

解：∵an+1=2an+3，∴an+1+3=2（an+3），令bn=an+3，则bn+1=2bn

∴=2 又 b1=a1+3=4

∴{bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列。

∴bn=2n+1，∴an=2n+1-3

六、构造新数列

对于形如an+1=man+f（n）的递推公式，可构造新数列转化为an+1=man+k（k为非0常数）型求an。

例6 数列{an}中，a1=，an= + （n≥2），求通项an。

解：∵an = + ，∴2nan=2n-1an-1 + 1，令bn=2nan.

则bn=bn-1+1，∴bn-bn-1=1 又 b1=2a1=.

∴{bn}是以为1/2首项，以1为公差的等差数列。

∴bn = n - ，∴an=

注：若题中已知an-1的系数不是1/2，而是其它的非零常数，则用此法可转化为an+1=man+k（k为非0常数）的形式求an。

七、倒数法

对于形如an+1an=man+1+pan（m、p≠0）的递推公式，可两边同除以an+1an产生an+1与an的倒数，再求an。

例7已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=Sn·Sn-1（n≥2），a1=，求an。

解：∵an=Sn-Sn-1（n≥2），又an=Sn·Sn-1，∴Sn-Sn-1=Sn·Sn-1

两边同除以Sn·Sn-1得： - = 1

令bn =则bn-1 - bn = 1

即bn-bn-1=-1 又 b1= = =

∴{bn}是以为首项，以-1为公差的等差数列。

∴bn =-n 即 Sn =

∴an=Sn-Sn-1 （n≥2） =- =

∴an=

八、迭代法

对于形如an+2=pan+1+qan（p、q≠0且为常数）的递推公式，它表示的是相邻三项间的递推关系，可通过构造新数列或反复迭代转化为表示相邻两项间的递推关系的类型，如an+1=man+k（k为非0常数）或an+1=man+f（n），再求出通项an。

例8设a1=1，a2=5/3，an+2=5/3 an+1 –2/3 an （n=1，2，……），求数列{an}的通项公式。（2004年高考重庆卷（文）22题（1）问）

解：∵an+2= an+1 –an

∴an - an-1 =（ an-1 – an-2） - an-1=（an-1 - an-2）=（）2（an-2 - an-3）

=…… = （）n-2（a2 - a1） =（）n-2（ - 1） =（）n-1

∴an=an-1+（）n-1

再次反復迭代得：

an=[an-2+（）n-2]+（）n-1

=an-3+（）n-3+（）n-2+（）n-1 =……

=1+（）1+（）2+……+（）n-2+（）n-1 =3-3·（）n

∴an =3-3·（）n

九、猜证结合法

对于形式特点不突出的递推公式，可写出数列的前几项，再由前几项猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明。

例9设数列{an}满足an+1=an2 - nan+1，且a1=2， n∈N*，求数列{an}的通项公式。（2002年全国高考卷22题（1）问）

解：由a1=2和an+1=an2-nan+1得：

a2=3，a3=4，a4=5

由此猜想an = n+1.

用数学归纳法证明（略）。

总之，求数列通项公式的问题比较复杂，背景新颖，不可能一一论及。但只要我们抓住已知，分析结构特征，善于合理变形，熟练运用以上的基本方法，求数列通项的问题还是不难解决的。