保持物理本色 原味求解极值

侯红彬 范晓波

(靖江市第一高级中学，江苏 靖江 214500)

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保持物理本色 原味求解极值

侯红彬 范晓波

(靖江市第一高级中学，江苏 靖江 214500)

使用物理分析法处理极值问题,能够抓住物理情景的本质,突出临界状态的特征,帮助物理思想的形成．

极值问题； 物理分析法； 数学讨论法； 临界状态

在自然界发生的各种物理过程中,有些物理量增加,有些物理量减少,也有些物理量先增后减或先减后增,增与减之间的转折点,物理学中一般称之为临界状态,而数学上则取名为极限,这就是极值问题．极值问题综合性强,能力要求高,其分析过程能充分反映学生的思维水平、推理能力以及应用数学工具处理物理问题的能力,符合《普通高中物理课程标准》中的技能培养目标和《2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明(理科)》中规定的能力考核目标,因此极值问题深受命题专家青睐,在历年的高考物理试卷上出现的频率比较高．

从方法上讲,极值问题的处理思路无非两条:一条是物理分析法,即“先定后算”,就是先从物理过程变化的特点入手找到出现极值的临界状态,再运用相应的物理规律计算极值;另一条是数学讨论法,即“先算后定”,先运用物理规律写出考查量大小的计算式,再借助数学讨论确定极值,高中阶段常用的数学方法有二次函数判别式法、配方法、均值定理法、不等式法、三角函数法等等.

数学讨论法对学生的数学应用能力要求较高,涉及的数学运算通常比较复杂,因此笔者更倾向于帮助学生抓住问题的物理本质,突出临界状态在研究过程中的特殊性,运用物理的思想和方法解决极值问题.这样既能避开复杂的数学运算,又能体现问题的物理意义,下面笔者就借助实例阐述方法与读者共享．

1 熟悉基本情景直议极值状态

平时有针对性地对各种物理情景进行研究,归纳出力、热、光、电等各领域常见的临界状态和临界特征,以后遇到相关问题时就能信手拈来,直接讨论临界状态计算极值．

以力学部分为例,常见的临界状态和临界特征有:

(1) 两物体即将相对滑动,受力特征为两物体间静摩擦力达到最大,即f0=f0m;

(2) 两物体即将脱离,作用特征为两者接触不挤压,即恰好有弹力N=0;

(3) 轻绳即将松弛,状态特征为轻绳伸直但没有形变,即恰好有拉力F=0.

图1

例1.如图1所示,质量为m的木块放在质量为M的木板上,木板放在光滑的水平面上,如果木块与木板之间的动摩擦因数为μ,那么要使木板从木块下抽出,所加水平力F的大小至少为多少?

解析： 水平力F的大小达极值时,木块与木板间静摩擦力达到最大,即将相对滑动,可以对这一临界状态直接进行讨论．

图2

本题同时也是个连接体问题,如果使用整体法、隔离法相结合的思想进行处理,那么求解过程将更加简洁．所以可先隔离木块找到临界状态下的加速度,再对木块、木板组成的整体运用牛顿第二定律就能快速计算出水平力的极值大小．

木块受力如图2(a).

由牛顿第二定律可得f0m=ma0，其中f0m≈f=μmg，所以a0=μg.

木块、木板组成的整体受力如图2(b).

由牛顿第二定律可得

F=(M+m)a0，所以F=μ(M+m)g.

2 紧扣问题本质速定极值状态

从物理问题的本质着手,依据基本规律迅速找出其中的极值状态．如对变加速直线运动而言,一般当加速度为0时,速度取极值;对曲线运动而言,当合外力方向与速度方向垂直时,速度取极值;对带电粒子穿越有界磁场过程而言,轨迹过磁场区域端点或与磁场边界相切时,粒子的速度取极值……下面以曲线运动为例进行说明．

做曲线运动的物体,合外力方向与速度方向不在同一直线上,借助分解的思想可以将所有外力分解到轨迹的切线方向和法线方向．

图3

如图3所示,其中法向外力Fn产生法向加速度an(对圆周运动而言就是向心力产生向心加速度),改变速度v的方向;切向外力Fτ产生切向加速度aτ,改变速度v的大小．当切向加速度与速度同向时,物体的速度增大,当切向加速度与速度反向时,物体的速度减小,当切向加速度为0时,速度取极值．由此可见,对曲线运动的物体而言,速度取极值的位置在切向外力为0处,此时合外力恰好沿法线方向,即与速度方向垂直．掌握这一特征,与曲线运动有关的极值问题基本可以解决．

图4

例2.如图4所示,在水平向右的匀强电场中,一根长为L的绝缘细线,一端连着一质量为m带电量为+q的小球,另一端固定于O点,现把小球拉至细线水平且与场强方向平行的位置,无初速释放,小球能摆到最低点的另一侧,细线与竖直方向的最大夹角θ=30°．求: (1) 场强E的大小; (2) 若使带电小球在竖直平面内做完整的圆周运动,小球运动过程中的最小动能是多少?

(1) 对小球由释放点运动至左端点的过程运用动能定理

mgLcosθ-EqL(1+sinθ)=0，

其中θ=30°，解得

(2) 当细线上张力为0时,重力和电场力的合力充当向心力,此时小球的动能最小，

3 依据对称规律确定极值状态

物理世界中对称现象比比皆是,对称的过程、对称的结构、对称的作用、对称的电路、对称的光路……用对称性解题的关键在于敏锐地抓住物理过程的对称点,然后利用物理规律进行定量计算,确定极值．如文中例2即可依据对称性求摆动过程中的小球速度的极大值．

图5

例3.如图5所示的电路中,电源电动势E=6.3V,内电阻r=0.5Ω,固定电阻R1=2Ω,R2=3Ω,R3是总阻值为5Ω的滑动变阻器．按下开关S,调节滑动变阻器的滑片P,求通过电源的电流范围．

解析：本题常见的错误是因思维定势而误认为滑片P处在变阻器两端时,总电阻取极值,对应电流取极值．实际上,当滑片P移动过程中,左右两条并联支路电阻同时变化,根据极值对称原理可知,两条支路电阻相等时,电路总电阻最大,总电流最小;而两条支路电阻相差最多时,电路总电阻最小,总电流最大．

滑片P处在变阻器最右端时,外电阻最小,数值为R=1.6Ω,此时总电流最大,为

滑片P处在变阻器中间某一位置,使两侧支路电阻相等时,外电阻最大,数值为R′=2.5Ω,此时总电流最小,为

所以通过电源的电流变化范围为

2.1A≤I≤3.0A.

4 巧借模型转换 妙找极值状态

不同的物理模型,处理方法存在差异,借助一些物理规律可以将原本复杂的模型转化为简单模型,有利于快速确定临界状态,计算相关量的极值．

图6

解析：沿斜面向上匀速运动的木块受重力、支持力、拉力、滑动摩擦力4个外力作用,无法直接看出拉力取极值的状态,常用处理方法是先利用平衡条件列方程组,化简后找到拉力大小的计算式,再使用三角函数知识寻找拉力的极值．过程复杂,耗时耗力．其实我们可以借助支持力、滑动摩擦力大小间的关联将两者合二为一,将原本4力平衡的问题转化为3力平衡的问题处理．

图7

与数学讨论法相比,物理分析法具有明显的优势,且临界状态的特征清晰,学生容易理解和接受．

5 绘制物理图像凸显极值状态

图像具有直观、形象的特征,利用图像来处理物理问题,既简捷又明了,往往对问题的解决起到事半功倍的效果．

例5.用细绳拴着质量为m的重物,从深为H的井底提起重物并竖直向上做直线运动,重物到井口时速度恰为0,已知细绳的最大承受力为T,则用此细绳提升重物到井口的最短运动时间为多少?

图8

解析：从井底到井口物体可能经历加速上升、匀速上升和减速上升3个阶段,其v-t图像如图中的折线①所示;也可能先匀加速后直接匀减速到达井口,如图中折线②所示,在位移相同即图中折线与横轴所围面积相等的条件下,显然折线②所用时间更短．

因此,要使重物上升时间最短,必须在开始阶段用细绳以最大承受力提升重物,让重物以最大加速度加速上升;紧接着使重物以最大加速度减速上升(此状态绳子松弛,物体竖直上抛),当重物减速为0时恰好到达井口．

强调运用物理分析法解决极值问题,并非完全排斥数学讨论法．不论是物理实验的测量和计算,还是物理概念和规律的表达等,都离不开数学的应用．但是,数学只是工具,作为工具的数学必须与物理现象的内容相统一,从属于物理分析过程．在中学物理教学过程中,我们不能忽略物理问题的核心,盲目地将各种物理问题数学化,而是必须根据具体的情况作出恰当的选择,努力做到既潜移默化地渗透了数学方法,又水到渠成地加深了学生对物理规律的理解,使物理和数学这两门学科互相渗透、互相促进、相得益彰．

1 中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准(实验)[S].北京： 人民教育出版社，2014.

2 教育部考试中心.2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明(理科)[S]. 北京：高等教育出版社，2016.

2016-09-26)