复矩阵方程组的Hermite解

2017-03-30胡志增杨春花

洛阳理工学院学报(自然科学版) 2017年1期

关键词：内积湘潭方程组

胡志增,杨春花

(湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411105)

复矩阵方程组的Hermite解

胡志增,杨春花

(湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411105)

复矩阵方程；有限迭代算法；共轭；Hermite解

线性系统理论中出现大量的矩阵方程，所以对于怎样求解矩阵方程的研究是十分必要的，也是必须的。对矩阵方程的求解方法也已经有了许多研究，其中Kronecker积是一个重要的方法。但是在求解大型矩阵时会对内存有较高的要求，舍入误差也可能更大，所以迭代求解法在求解矩阵方程中开始出现。很多工作者用迭代法求解矩阵方程[1-7],但是还有很多的问题需要进一步研究。

对于矩阵A,B∈Cm×n，如果〈A,B〉=0，就说A和B正交。如果对于矩阵序列A1,A2,A3,…,Ak成立〈Ai,Aj〉=0 (i≠j)，就称这个矩阵序列是正交的。

问题1：对于给定的矩阵A1,A2∈Cp×m，B1,B2∈Cm×q，C1,C2∈Cp×m，D1,D2∈Cm×q，M1,M2∈Cp×q，求矩阵X∈HCm×m，使得

(1)

下面，建立一种迭代算法，求解矩阵方程组(1)的Hermite解。

1 预备知识

首先给出一个从复数空间到实数域R的内积，所定义的这个内积在本文中是十分重要的。而实数域内积的定义参看文献[8]。

定理1.1 定义从空间Cm×n到实数域R的内积为〈A,B〉=Re[tr(AHB)]，其中A,B∈Cm×n，则所定义的内积是一个内积空间。下面用(Cm×n,R,〈·,·〉)表示这个内积空间。

(2)对任意实数α，矩阵A,B,C∈Cm×n，很容易得到下列结果

〈αA,B〉=Re[tr((αA)HB)]=Re[tr(αAHB)]=Re[αtr(AHB)]=αRe[tr(AHB)]=α〈A,B〉。

〈A+B,C〉=Re[tr((A+B)HC)]=Re[tr(AH+BH)C)]=〈A,C〉+〈B,C〉。

(3)显然tr(AHA)>0，当A≠0时。所以〈A,A〉=Re[tr(AHA)]>0对所有A≠0均成立。

上述定理中的证明说明从空间Cm×n到实数域R的所定义的内积满足内积空间的条件，所以说(Cm×n,R,〈·,·〉)是一个内积空间。

2 求Hermite解方程组的迭代算法

算法2.1

第1步：输入矩阵A1,A2∈Cp×m，B1,B2∈Cm×q，C1,C2∈Cp×m，D1,D2∈Cm×q，M1,M2∈Cp×q以及任意初始矩阵X1∈HCm×m

第2步：计算

第3步：计算

第4步：计算

如果Rk+1=0或者Rk+1≠0,Qk+1=0,则停止，否则，令k:=k+1，回到第2步继续计算。

为了证明算法2.1的收敛性，首先验证以下一些基本的性质。

引理2.1 对于由算法2.1所产生的矩阵序列{Ri},{Pi},{Qi}，有下列等式成立：

(2)

证明：由算法2.1可知

(3)

同理有

(4)

由此

(5)

而

(6)

所以

(7)

因此结论成立。

引理2.2 对于由算法2.1所产生的矩阵序列{Ri}、{Pi}、{Qi}，当k≥2时有下列等式成立：

〈Ri,Rj〉=0，〈Qi,Qj〉=0 (i,j=1,2,3,…,k)。

(8)

证明：当k=2时，而Q1H=Q1,由引理2.1以及迭代算法可知

(9)

即有〈R2,R1〉=0成立，同理可证〈Q2,Q1〉=0成立。

假设式(8)对所有k=s成立，注意到QsH=Qs,〈Qs,Qs-1〉=0，由引理2.1可知

=‖Rs‖2-‖Rs‖2=0。

(10)

同理可证

〈Qs+1,Qs〉=0。

(11)

当j=1时，容易通过引理2.1验证〈Rs+1,Rj〉=0。对于j=2,3,…,s-1,由假设〈Rs,Rj〉=0,〈Qs,Qj〉=0,〈Qs,Qj-1〉=0，由引理2.1和迭代算法，可以证得：

(12)

和

(13)

(14)

也就是说式(10)对k=s+1也成立，所以由归纳法可知引理3.2成立。

引理3.3 假设方程组(1)是相容的，X*是方程组的任意一个解，则

〈X*-Xk,Qk〉=‖Rk‖2,k=1,2,3,…

(15)

证明：当k=1时，注意到(X*-X1)H=X*-X1,所以

(16)

所以〈X*-X1,Q1〉=‖R1‖2,假设当k=s时成立〈X*-Xs,Qs〉=‖Rs‖2，

易证

(17)

=〈Us+1,Us+1〉+〈Vs+1,Vs+1〉=‖Rs+1‖2。

(18)

由归纳法可知结论成立。

定理1 假设方程组(1)相容，对任意初始矩阵X1∈HCm×m，则通过所建立的算法最多迭代2pq+1步即可求出方程组的解。

证明：假设Ri≠0，i=1,2,…,2pq，通过引理2.3可知Qi≠0,i=1,2,…,2pq，所以可以通过所建立的算法得到X2pq+1,R2pq+1，且由引理2.2可知〈Ri,Rj〉=0i,j=1,2,…,2pqi≠j，也就是说{Ri}i=1,2,…,2pq对于定义在复数域上的内积空间(Cm×n,R,〈·,·〉)是正交矩阵列。由引理2.3可知〈R2pq+1,Ri〉=0i=1,2,…,2pq，由所定义内积空间的维数可知必有R2pq+1=0，所以X2pq+1就是方程组(1)的解。证毕。

3 数值举例

在这一部分，将给出两个例子来验证所给算法的有效性，试验中都采用MATLAB R2012a进行计算。由于计算误差的影响，当‖T‖<ε=10-2时，就认为T=0。但是随着问题计算规模的不同，可以适当取的更大或更小。

例：对于问题1，给定矩阵A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2,M1,M2如下

4 结语

[1]LiangK,LiuJ.Iterativealgorithmsfortheminimum-normsolutionandtheleast-squaressolutionofthelinearmatrixequationsA1XB1+C1XTD1=M1,A2XB2+C2XTD2= M2[J].AppliedMathematicsandComputation,2011,218:3166-3175.

[2]WuAG,FengG,DuanGR,etal.Finiteiterativesolutionstoaclassofcomplexmatrixequationswithconjugateandtransposeoftheunknowns[J].MathematicalandComputerModelling,2010,52:1463-1478.

[3]PengYX,HuXY,ZhangL.AniterativemethodforsymmetricsolutionsandoptimalapproximationsolutionofthesystemofmatrixequationsA1XB1=C1,A2XB2=C2[J].AppliedMathematicsandComputation,2006,183:1127-1137.

[4]PengYX,HuXY,ZhangL.AniterationmethodforthesymmetricsolutionsandtheoptimalapproximationsolutionofthematrixequationAXB=C[J].AppliedMathematicsandComputation,2005,160:763-777.

[5]WangMH,ChengXH,WeiMS.IterativealgorithmsforsolvingthematrixequationAXB+CXTD=E[J].AppliedMathematicsandComputation,2007,187:622-629.

[6]PengZY.AniterativemethodfortheleastsquaressymmetricsolutionofthelinearmatrixequationAXB=C[J].AppliedMathematicsandComputation,2005,170:711-723.

[7]WuAG,ZengXL,DuanGR,etal.IterativesolutionstotheextendedSylvester-conjugatematrixequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2010,217:130-142.

[8] 张贤达,矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社,2004:23-35.

HermiteSolutionstoClassofComplexMatrixEquations

HUZhizeng,YANGChunhua

(XiangtanUniversity,Xiangtan411105,China)