高中函数中的奇偶性和对称性分析

帅敏

【摘要】 函数在数学学习中是很重要的一部分内容，在实际生活中也有着广泛的应用.因为函数可以考查的知识点有很多，所以在学习函数的知识点时要寻找合适的学习方法.本文的写作目的就是分析高中函数中的奇偶性和对称性.

【关键词】 高中函数；奇偶性；对称性

在函数学习中题型变化多样，还会经常结合其他的知识点，所以，学习难度很大.尤其是函数的奇偶性和对称性，应用十分广泛，本文通过一些例题，探讨函数的奇偶性和对称性以及它们之间的关系.

一、函数的奇偶性和对称性的含义

（一）函数的奇偶性

一般的，对于函数f（x）：如果在函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么我们就称这样的函数f（x）为奇函数.[1]相对应的，如果在函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），这样的函数f（x）就叫作偶函数.特殊的，如果一个函数f（x）同时满足f（-x）=-f（x）与f（-x）=f（x），那么就称这个函数既是奇函数又是偶函数.判断函数奇偶性的时候要注意定义域对称.

（二）函数的对称性

一些特殊函数的图像拥有对称的性质.一般对称的情况有两种，一种是轴对称，另一种是中心对称.如果某个函数的图像沿着一条直线对折，在这条直线两侧的图像能够完全重合，说明该函数的图像关于这条直线成轴对称.[2]如果某个函数的图像围绕某一点旋转180°之后的图像与原图像完全重合，那么就说这个函数图像关于该点呈中心对称.

二、以题目为例分析奇偶性和对称性的关系

（一）例题1（2014年江西文科16题）

已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f π 4 =0，其中a∈ R ，θ∈（0，π）.求a，θ的值.

解析 ∵且f π 4 =0，所以将x= π 4 代入f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）中得到等式

（a+1）cos π 2 +θ =（a+1）sinθ=0，

又∵θ∈（0，π），∴sinθ≠0，∴a+1=0，a=-1.

∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0.

将x=0代入f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）中得到等式（a+2）cosθ=0，

又∵a=-1不等于0，∴cosθ=0，

∵θ∈（0，π），∴θ= π 2 .

从这一个题目中可以看出，一定要熟练掌握函数奇偶性的特点，这样在题目中才能熟练地应用.比如，f（x）=-f（-x），f（0）=0，如果f（x）是奇函数，点M的坐标为（x，y），那么点M关于原点对称点的坐标为（-x，-y）等等.

（二）例题2（改编题）

函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，把f（1），f 5 2 ，f 7 2 用“<”连接起来 .

解析 ∵函数y=f（x+2）是偶函数，

∴f（2+x）=f（2-x），f（x）的图像关于直线x=2对称.

∵在（0，2）区间内单调递增，∴在（2，4）区间内单调递减，f（1）=f（2-1）=f（2+1）=f（3）.

又∵f（x）在（2，4）区间内单调递减，

所以f 7 2

这道例题将函数的单调性、奇偶性、函数图像、函数的对称性结合在一起.已知条件中的函数y=f（x+2）是偶函數，所以f（x）=f（-x），代入可得f（2+x）=f（2-x）.通过这一等式可以看出该函数关于直线对称，对称轴的求法为[（2+x）+（2-x）]÷2=2，所以对称轴为x=2.因为函数f（2+x）是偶函数，所以在对称轴的两侧单调性相反，在（0，2）区间内单调递增，所以在区间（2，4）内单调递减.还是因为y=f（x+2）是偶函数，f（2+x）=f（2-x），所以将x=1代入式子中，得到f（1）=f（3）.因为函数在（2，4）区间内单调递减，所以f 7 2

（三）例题3（2015年全国卷Ⅰ12题改编）

f（x）=2x+a关于y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，求a的值.

解析 P（x，y）在f（x）上，则P′（-y，-x）也在f（x）上.

设f（-2）=y1，f（-4）=y2，则

2-y1+a=22-y2+a=4，

∴ -y1+a=1，-y2+a=2.

又∵y1+y2=1，∴-（y1+y2）+2a=3，即a=2.

图像对称，一般抓住点对称找突破口，将反比例函数与原函数图像对称，化解这个难点.

三、结束语

通过例题可以看出，一般来说函数的奇偶性和对称性是解出函数题目的关键所在，很多函数题目中只要充分利用好奇偶性和对称性以及它们之间的关系，那么再去解答题目则会变得相对容易很多了.对于题目中给出的条件要正确地运用，同时涉及对称性的题目可以画出函数图像，这样涉及对称点的位置和对称点的坐标情况就显得一目了然了.应用函数奇偶性和对称性的一些特点，以及他们的关系，能够在解决函数问题时更加容易，更有效率.学好函数的奇偶性和对称性有利于学生更好地解答相关函数题目，从而学好函数，学好数学.

【参考文献】

[1]彭家盛.《中职数学中“指数函数与对数函数”章节的有效性教学》[J].科教文汇：下旬刊，2012（21）：99-100.

[2]刘伟佳.《关于函数奇偶性的一点注记——兼对一道习题的建议》[J].数学教学通讯，2013（05）：39.