例谈二次曲线的类型判断

李彬

问题1以下二元二次方程在平面直角坐标系中所对应的是什么类型的二次曲线？

x2-2y2+4xy-6x+16y-7=0.（1）

此问题对于高中生来说是比较棘手的，中学阶段接觸到的二次曲线通常是不含交叉项的，如果（1）中去掉4xy，只需分别对x，y配方不难判断其所对应的曲线类型.

容易发现，（7，0）、（-1，0）均为（1）所对应的二次曲线上的点. 由于二次方程所对应的曲线（若存在）有且仅有圆、椭圆、双曲线、抛物线、一个点及两条（相交或平行或重合）直线这几种类型[1]. 圆与点的情形可排除，为了判断该曲线是余下哪种类型之一，我们可考虑其与如下一族平行直线的交点情况：

问题2（1）中所对应的二次曲线离心率是多少？试求出其焦点坐标及准线方程.

问题1中我们给出了对二次曲线类型做定性判断的方法，但要进行精确的定量计算还需另辟蹊径.

注在高等代数（大学课程）中对此问题常规的处理方法是对二次型所对应的实对称矩阵做正交相似变换从而消掉交叉项再行配方，正交相似变换的本质即为旋转（或反射）坐标轴，与我们所采取的上述办法是殊途同归的. 另外，对更一般的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0，判断其类型甚至作定量计算都可采取上述方法，并且利用此法我们能证明（图象存在的）二次曲线确实有且仅有上文提到过的圆、椭圆、双曲线、抛物线、点和两条（相交或平行或重合）直线这几种类型.

下面我们将尝试利用待定系数法求解问题2. 若（1）的方程可写为如下形式：

注当含有交叉项的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0为椭圆、双曲线、抛物线、两条相交或重合直线时均可写为类似（11）或（13）的如下形式用待定系数法求解：

其中k≥0且A，B不全为0. 当k=0时显然为两条重合直线. 当k>0时将（16）改写作

参考文献

[1]陈志杰.高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.