从“具象”到“抽象”：数学知识的自然生长

邢红梅

摘 要：儿童对数学知识的表征方式是多元的，数学教学要引导儿童在“具象思维”与“抽象思维”之间流转互演。教学中，教师要累积儿童的数学知识表象，让儿童对数学知识进行动态想象，引领儿童返回知识的诞生处、源头处。由此，让儿童思维在直观中“显影”、在运动中“定格”、在物化中“成像”。

关键词：数学知识；具象思维；抽象思维；教学

著名的认知心理学家布鲁纳认为，儿童的思维表征要经历三个阶段：即动作表征阶段、映像表征阶段和符号表征阶段。认知发生论倡导者皮亚杰也认为，儿童的思维有着从直观动作到具体形象再到抽象思维的发展特性。在儿童数学教学中，教师要充分运用儿童的思维特质，引导儿童從“直观动作”“具体形象”等“具象思维”过渡到概念化、符号化、形式化的“抽象思维”。所谓“具象思维”，即指儿童借助具体的材料、因素等展开的思维。《现代汉语词典》（商务印书馆第6版）对于“具象”的概念是这样诠释的：具体的、不抽象的、具体的形象。“具象思维”具有“具象性”“创造性”“完整性”的特质。从“具象”到“抽象”，让儿童的思维自然地生发、生长、生成，是儿童数学教学的必由之路。

一、累积表象，让儿童思维在直观中“显影”

儿童的数学学习需要表象的支撑，没有表象，儿童的数学学习就是“无源之水”“无本之木”。依靠表象，儿童可以在头脑中进行认知加工，展开探索性、创造性的数学思维。累积表象，能够让儿童的思维在直观中“显影”。例如教学《圆的认识》，尽管面对的是高年级的学生，但笔者依然重视孩子们表象的积累。运用多媒体课件向学生展示了各种圆形的物体，并让学生用圆形物体和圆规在硬纸板上画了大小不同的圆，且将它们剪了下来。由于有了表象的支撑，学生很快地认识了圆的半径、直径、周长、面积等概念。在学生“认识圆的各部分名称”“探究圆的特征”之后，笔者用一根细线，一头悬挂着重物旋转，形成了一个“轨迹圆”，学生对圆的认识开始由肤浅走向深刻：原来“圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹的集合”。这样，从具体的“圆形物体”到形象的“圆形”再到抽象的“点的轨迹集合”，虚实相生，直击“圆”的数学本质、概念内核，实现了学生的思维从“具象”到“抽象”的巧妙过渡。“圆”的数学抽象的概念、定义等在这个过程中悄悄地生长起来了。儿童的思维在直观中得到“显影”。

二、动态想象，让儿童思维在运动中“定格”

儿童的思维常常是静止的，因此，数学教学要培养儿童“动态想象”的能力。数学知识是有阈限的，动态想象能够让儿童感受、体验到数学知识的阈限，能够让儿童理解数学知识间的相互关联。当然，动态想象是以儿童头脑中的表象积累为前提的。概言之，动态想象的过程是儿童对自我头脑中已有表象的联结、加工与整合的过程。例如，儿童能够将“平行四边形的表象”“三角形的表象”“梯形的表象”联结起来，形成动态想象。即三角形就是梯形上底运动为“0”的一种特殊状态；平行四边形就是梯形上下底运动到相等的一种特殊状态；又如等腰三角形旋转能够产生正多边形，等腰三角形的顶角越小，旋转就越能产生近似于圆的正多边形，而圆就是等腰三角形顶角为0°的正多边形。再如教学《长方体的认识》时，学生可以在相交于一条棱的两个面以及相交于一个顶点的三条棱的情况下动态想象长方体；教学《体积单位的进率》时，学生可以通过长度单位之间的进率，动态想象并推理出面积单位之间的进率、体积单位之间的进率；教学《长方体的体积》时，学生可以动态想象小正方体拼搭长方体的过程；教学《直柱体的体积》时，学生可以动态想象长方形叠加成长方体、圆形叠加成圆柱体等的过程等。“动态想象”能够让儿童的思维在运动中“定格”，沟通数学知识之间的关联，编织数学知识网、结构图，让儿童对数学知识的理解由肤浅走向深刻。

三、返回形象，让抽象知识在物化中“成像”

著名数学教育家冯·诺依曼曾经这样说：“一门学科，当它离开经验的源泉越走越远时，或者更为糟糕的是，一门学科只是间接地接受来自现实思想的启发，那么它就面临着危机，它就会越来越成为纯粹的矫揉造作……它经过多次杂交后就有退化的危险。”因此，在儿童数学教学中，教师有必要时时引领儿童返回儿童经验的、现实的源头处展开数学思考。返回数学知识的具象处、形象处进行探究，让抽象的数学知识能够在物化中“成像”，恢复其应有的生命活力。例如教学《长方形的周长》时，一般教师只是让学生在推导长方形的周长公式时，从儿童的经验如“边线”“一周”等生活概念出发，而在对“长方形的周长公式”进行精致化概括——“长方形的周长=（长+宽）×2”后，就很少回归到知识的诞生地、源头处。由此导致儿童对数学公式的机械识记，在多次运用后仍出现各式各样的错误。基于此，笔者在教学中从儿童的生活经验出发，在解决实际问题时仍然时时引领儿童回归到知识的源头处、回到儿童经验的源头处不断地汲取营养，实现儿童“抽象思维”与“具象思维”的流演化育、相互转化，这是儿童数学问题解决的最佳路径！

数学教学应当激发儿童的数学思维。广义的数学思维既涵盖抽象思维，也包括儿童的直觉、形象等具象思维。在数学学习过程中，儿童不仅仅应该熟练地掌握数学概念、判断与推理，更应该能够依据自我的具象思维形成自我的个性化、创新性数学理解。数学教学只有突出事物具象、数学现象、直观形象，数学教学才能焕发出应有的生命活力！