钢筋混凝土梁挠度计算方法适用性分析

摘 要：文章讨论了钢筋混凝土梁受弯挠度常见的几种计算方法，简单地阐述了国内外现行规范对钢筋混凝土梁挠度理论计算的依据，并通过具体例子分别采用中美俄各国规范短期挠度计算进行了对比分析，综合分析了各种方法的适用性。

关键词：钢筋混凝土梁；规范；刚度；挠度计算；对比分析

钢筋混凝土梁在使用的过程中，在自重和外力的作用下会产生挠曲变形，而过大的挠曲变形将影响结构的正常使用。因此，为了保证结构正常的使用功能，延长结构的使用寿命，就必须要求钢筋混凝土梁具有足够的刚度来抵抗外部的荷载作用，使得构件在使用荷载作用下跨中的最大挠度计算值不超过容许的限值最大值。文章根据不同国家对《混凝土结构设计规范》计算跨中挠度的规定，明确了钢筋混凝土矩形梁变形性能的主要因素，综合分析了挠度的计算方法，并通过试验验证来对比分析各种规范的之间的差异性以及各种规范的适用性。

1 几种主要的挠度计算方法

对普通钢筋混凝土梁跨中挠度的计算，国内外很多研究学者进行了大量的试验研究，并提出了不少的挠度计算方法，总的来说主要有：有效惯性矩法、刚度解析法、双线性法以及曲率积分法四大类。

1.1 有效惯性矩法

一般认为，混凝土弹性模量在整个使用过程中是恒定不变的，钢筋混凝土梁的截面刚度主要取决于惯性矩的大小，而有效惯性矩法就是使用整个构件的平均惯性矩来计算的。假定混凝土开裂前的惯性矩Ig是其上限值，钢筋屈服、受拉混凝土开裂完全退出工作后的惯性矩Icr是其下限值，那么平均惯性矩Ie就介于两者之间。因此，采用一个介于未开裂和全开裂之间的惯性矩Ie将能产生比较合理的抗弯刚度来计算构件挠度的精确度。

该方法最初是由D.E.Branson在1965年提出来的，对于已开裂构件在正常使用范围内的挠度计算采用下列的有效惯性矩来确定抗弯刚度：

式中Mcr为首次开裂时的弯矩值；Ma为构件中当拟计算其挠度时的最大弯矩；Ie为用以挠度计算的有效惯性矩；Ig忽略配筋的混凝土毛截面对其形心轴的惯性矩；Icr换算成混凝土的已开裂截面的惯性矩；m=3。该式被《美国房屋建筑混凝土结构规范》AIC318-05采纳。

1.2 刚度解析法

刚度解析法就是根据截面的变形条件、材料的本构关系和力学方程得到截面的平均刚度。由于钢筋混凝土梁的纯弯段在弯矩作用下出现裂缝后，受拉钢筋的拉应变和受压区混凝土的压应变沿纵向是不均匀分布的，裂缝截面处最大，裂缝间则为曲线变化；这就表明即使在纯弯区段，各个截面虽然承受的弯矩相同，但是各截面抗弯刚度却不相同，裂缝截面处的小些，裂缝间截面处的大些。所以，验算其变形时采用的截面抗弯刚度是指纯弯区段内平均截面抗弯刚度。根据大量的试验结果进行回归分析得到平均抗弯刚度的最终计算公式为：

式中Es钢筋弹性模量；As受拉钢筋面积；h0截面有效高度；αE钢筋混凝土彈性模量之比；ρ受拉钢筋配筋率；γ′f T型，工字型截面受压翼缘面积与腹板有效面积之比，矩形时γ′f=0；Mq由永久荷载效应组合控制的作用下正常使用极限状态的大小；ψ为裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数，取值范围为0.2～1.0；该式被中国《混凝土结构设计规范》GB50010-2010采用。

1.3 双线性法

采用该方法首先要计算某一荷载值下的分配比系数ξ，再通过计算无裂缝状态和全裂缝状态下的曲率计算构件跨中挠度，其计算公式为：

式中β为分布系数，Mcr为特征截面上的开裂弯矩；M为作用在特征截面上的弯矩；f1，f2分别为在荷载M作用下未开裂状态和全开裂状态计算的挠度。欧洲规范EN1992-1-1：2004采用该方法计算构件的短期挠度。

1.4 曲率积分法

该方法是通过计算构件的截面曲率而得到各面的挠度值。计算公式如下：

式中：Mx沿所求位移方向作用的单位力在截面x处引起的弯矩，x沿需确定挠度的构件跨度l变化；（1/r）x由确定挠度的外荷载在截面x处引起的构件总曲率；该公式被俄罗斯标准《钢筋混凝土结构》CΠ52-101-2003采用。

2 国内外规范中短期挠度计算方法

2.1 美国《房屋建筑混凝土结构规范》ACI 318-08

美国规范ACI 318-08的刚度计算方法采纳的是有效惯性矩法。有效惯性矩法公式见公式（1），其中对于普通容重混凝土：

式中fr为混凝土拉断模量；yt为从毛截面形心轴到受拉边的距离；fc为混凝土规定抗压强度；χ为混凝土开裂后中性轴高度；Ιg、Ιcr、Ιe分别为未开裂惯性矩、开裂后惯性矩以及等效惯性矩。

美国规范ACI 318-08建议，受弯构件长期挠度可取为瞬时挠度和附加挠度之和。在进行加载破坏荷载时，不存在长期荷载作用下的附加挠度，只需计算全部荷载作用下的瞬时挠度δT，则：

2.2 欧洲规范2：《混凝土结构设计》EN 1992-1-1

欧洲规范中关于钢筋混凝土构件的短期刚度计算方法同预应力混凝土构件一致，采用的是双线性法。计算公式见1.3节式（3）和（4）。

关于欧洲规范EN1992-1-1：2004，对非预应力和预应力构件采用统一的计算模型，在计算挠度时还需要考虑混凝土的收缩和徐变，且与我国对预应力混凝土受弯构件挠度的计算方法相近，由于文章主要探讨各种规范对普通混凝土构件挠度计算方法，故文章暂不对该规范关于挠度计算深入探讨。

2.3 俄罗斯标准《钢筋混凝土结构》CΠ52-101-2003

俄罗斯标准《钢筋混凝土结构》（CΠ52-101-2003）中关于钢筋混凝土梁的挠度计算采用的是曲率法。对于工程中常见的受拉区有裂缝的等截面受弯构件，标准指出，在弯矩不变号的每个区段，允许按应力最大的截面计算曲率。根据规范规定简支或悬臂构件的最大挠度按下式确定：

式中s为与构件计算图形和荷载类型有关的系数；（1/r）max为由荷载引起最大弯矩截面的总曲率（针对该截面确定挠度）；l为计算长度。

由相应于上述荷载作用引起的钢筋混凝土结构的曲率（1/r）按下式确定：

M为外荷载（考虑纵向力N引起的力矩）对与弯矩作用面垂直、并通过构件换算截面重心轴的弯矩；D为构件换算截面的弯曲刚度，D=EbI，I=bh3/12。无裂缝时，D=0.85EbI；有裂缝出现后D=Eb.redIred1=Ired1Rb/εb1.red.Rb为棱柱混凝土轴心抗压强度，应变εb.red值在短期荷载时为0.0015，Ired1的计算详见文献。

2.4 中国《混凝土结构设计规范》GB50010-2010

中国规范GB50010-2010中刚度计算方法采用的是刚度解析法，规范中的短期刚度计算公式是根据国内外大量试验所证实的平均应变符合平截面假定这一事实推导出来的。开裂前刚度计算公式为Bs=0.85EcIc；构件开裂后刚度计算公式见式（2），则钢筋混凝土梁短期挠度计算公式为：

式中Mq为按荷载效应准永久组合计算的弯矩，l0为构件的计算长度。

3 中美俄关于短期挠度计算规范的实例对比

为了更好的比较各种标准之间对钢筋混凝土构件的短期挠度计算的差异性，现通过实例进行分析。

某钢筋混凝土梁为适筋梁，尺寸为b×h×l=100mm×200mm× 1200mm，混凝土设计强度为C25，纵向受拉钢筋外边缘距梁底边缘的距离为25mm，受拉钢筋为HRB335直径14mm；受压钢筋和箍筋为HPB235直径8mm，箍筋间距为150mm；钢筋的屈服强度按普通钢筋设计值取值。试件尺寸及配筋情况，如图1所示，并对该混凝土梁进行四点加载破坏，加载方式如图2所示。

根据上述构件资料和各国规范标准并假定混凝土等级C25与俄罗斯规范中的B25等级相同，通过计算得到各国规范计算的短期挠度随跨中弯矩的变化规律与实际测量的跨中挠度对比图如图3所示。

通过计算，在正常使用极限状态下，中国规范GB50010-2010对构件计算的挠度值是1.294mm，而美国规范ACI 318-08计算的挠度值是1.302mm以及俄罗斯规范CΠ52-101-2003是1.194mm。对于同一构件，采用不同的计算方法得到的短期挠度计算结果偏差较小，俄罗斯规范比中国规范偏大7%，而中国规范比美国规范计算结果均吻合较好。而实际测得构件跨中挠度为1.488mm，较中美俄规范偏大12.5%-19.8%，但前期实测值与计算值较吻合，后期实测值偏大的主要原因可能是由于构件开裂较大，混凝土弹性模量迅速降低造成的。由此可以看出，规范GB50010-2010在短期挠度的计算上已经与国际接轨，有利于更好的参与国际工程的竞标，并且该规范相比美国和俄罗斯规范形式简单，易懂易记，便于计算。

4 结语

文章讨论了挠度常见的几种计算方法，并综合分析了各种计算方法的适用性，以期相关结果给工程研究和设计人员提供参考。随着各国高强钢筋在混凝土建筑物中的普遍推广应用，构件的截面面积会相对减小，结构构件的刚度在很大程度上会有不利影响。所以，构件挠度的理论的正确计算和控制在钢筋混凝土结构变形性能验算上是非常重要的。

参考文献

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作者简介：梁桂林（1984- ），男，湖北随州人，研究方向：工程结构设计。