对裂项相消法求和命题形式的归纳

■天津市武清区梅厂中学高三(1)班

对裂项相消法求和命题形式的归纳

■天津市武清区梅厂中学高三(1)班李博文

裂项相消法求和就是把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。裂项相消法求和是历年高考的重点,命题角度凸显灵活多变,在解题中要善于利用裂项相消的基本思想,变换数列{an}的通项公式,达到求解目的。

利用裂项相消法求和的注意事项:

(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等。例如,若{an}是等差数列,则

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足S2n-(n2+n-3)· Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。

(1)求a1的值;

(2)求数列{an}的通项公式;

解析：(1)已知S2n-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。

又an为正数,所以a1=2。

(2)由S2n-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)= 0,n∈N*,可得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0,则Sn=n2+n或Sn=-3。

又数列{an}的各项均为正数,所以Sn= n2+n,Sn-1=(n-1)2+(n-1),所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+ (n-1)]=2n。

又a1=2=2×1,所以an=2n,n∈N*。

已知函数f(x)=xα的图像过点(4,2),令,n∈N*。记数列{an}的前n项和为Sn,则S2014= ( )。

解析：由f4()=2,可得4α=2,解得α=,则f(x)=。

所以S2014=a1+a2+a3+…+a2014=

正项数列{an}的前n项和Sn满足:S2n-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0。

(1)求数列{an}的通项公式an;

解析：(1)由S2n-(n2+n-1)Sn-(n2+ n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0。

由于{an}是正项数列,所以Sn＞0,Sn= n2+n。于是a1=S1=2。

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n。

综上,数列{an}的通项公式为an=2n。

(2)由an=2n,得

所以Tn=

(责任编辑 王福华)