“形式蕴涵”方案能解决蕴涵怪论问题吗

张绍友

(《侨乡论坛》编辑部， 广东 江门 529000)



“形式蕴涵”方案能解决蕴涵怪论问题吗

张绍友

(《侨乡论坛》编辑部， 广东 江门 529000)

近年来，有学者以罗素的“形式蕴涵”为工具，对化解蕴涵怪论反例的进路又作了积极而有益的探索。但仔细分析其化解过程及方法，实难说取得了预期的成功。因为形式蕴涵在根子上就无法解决蕴涵怪论问题。蕴涵怪论的根源不在于逻辑的形式化语言，而在于实质蕴涵与日常“若，则”句差异过大的矛盾。

形式蕴涵；实质蕴涵；蕴涵怪论

一、“形式蕴涵”化解蕴涵怪论定理之“反例”路径并未成功

近年来，国内学界围绕是否能够以罗素的“形式蕴涵”为工具化解“实质蕴涵怪论”问题，展开了持续研讨与争鸣[1-5]。有的人用形式蕴涵为实质蕴涵怪论辩护，认为人们对某些蕴涵怪论公式举出的“反例”不是“适当”的代入例。如果这种辩护是成功的，说明形式蕴涵至少在一定程度上解决了蕴涵怪论的问题。我们拿出文献[1-2]中的一个例子进行剖析，看其是否成功地化解了实质蕴涵怪论定理之“反例”。

这个例子的定理公式是：((p∧q)→r)→((p→r)∨(q→r))。反例是：“如果(串联电路)开关a和开关b都通了，则那盏灯亮，那么如果开关a通了，则那盏灯亮，或者，如果开关b通了，则那盏灯亮。”

其化解反例的思路如下：

将上述公式改写为推论式：有效式C:(p∧q)→r/∴(p→r)∨(q→r)*这种改写一定要遭到弗雷格的强烈反对，因为在他看来，“那么”与“所以”根本不是一回事，中间隔着银河似的鸿沟。另外，以严格的逻辑意义论，这种把公式中的某一个“蕴涵”改写为“/∴”的合法性也会受到置疑：这样做的逻辑依据在哪里？公式中的其他蕴涵为什么不可以改写为“/∴”？

这个反例的后件(结论)可改写如下：(开关a通了→那盏灯亮)∨(开关b通了→那盏灯亮)。

然后认为，(开关a通了→那盏灯亮)与(开关b通了→那盏灯亮)的前后件都是带“时刻”索引性的语句。

于是，(开关a通了→那盏灯亮)应改写为：在t时刻开关a通了→在t时刻那盏灯亮。于是，我们自然得到：“在t时刻开关a通了”与“在t时刻那盏灯亮”都是命题函数！

但为什么人们判定“如果开关a通了，则那盏灯亮”为假？文献[1-2]认为，这是因为人们实际上使用了弗雷格所谓“隐藏着普遍性的表达”，即如下全称量化式：

(t)(在t时刻开关a通了→在t时刻那盏灯亮)

而这是个命题，有真有假。但文献[1-2]认为，这不是“如果开关a通了，则那盏灯亮”这句话的适当代入。

最后，文献[1-2]下结论说：推论B：(t)(在t时刻开关a通了∧在t时刻开关b通了→那盏灯亮)；/∴(t)(在t时刻开关a通了→在t时刻那盏灯亮)∨(t)(在t时刻开关b通了→在t时刻那盏灯亮)并不是有效式C的“适当代入例”。故反例自然不成其为反例。

问题的关键是，该文献把“开关a通了→那盏灯亮”通过时间索引词处理成了“在t时刻开关a通了→在t时刻那盏灯亮”这样的真值函项。这会有什么结果呢？因为两个t的值可以取不同的值，比如前一个取13时22分22秒，后一个取18时33分12秒。这样，我们在13时22分22秒开关a通了，“开关a通了”取真值，而18时33分12秒不管什么原因，那盏灯亮了，于是“那盏灯亮”也取真值。然后，我们得到“开关a通了→那盏灯亮”前后件都真，整个命题当然也真。

于是，在人们判定“如果开关a通了，则那盏灯亮”一定为假时，文献[1-2]得到了“如果开关a通了，则那盏灯亮”可以真的结论！这说明人们的日常思维靠不住，是混乱的吗？

但是，不知文献[1-2]这样用“形式蕴涵”化解这个蕴涵怪论的同时，想到下面的结果没有？由于“如果开关a通了，则那盏灯亮”中，前后件都没有真假值，因而整个“命题”本来就是真值函项。如果“如果开关a通了，则那盏灯亮”是真值函项，那么“如果开关b通了，则那盏灯亮”依据同样的原因，也是真值函项。所以，它们的析取式，即“如果开关a通了，则那盏灯亮，或者，如果开关b通了，则那盏灯亮”整个儿都成了真值函项。如果我们这样用“形式蕴涵”处理结论部分，那么我们没有理由不用“形式蕴涵”处理前提部分，结果是什么？前提和结论都成了真值函项！于是从前提到结论整个也可以会成为函项，于是((p∧q)→r)→((p→r)∨(q→r))这个在经典逻辑中的永真式也成了真假值未定的真值函项！而这就是我们把用“在t时刻开关a通了→在t时刻那盏灯”“适当代入”(p→r)的逻辑后果。但在日常思维和逻辑演算中，我们却把这个永真式作为真假确定的命题(形式)。问题出在哪儿呢？后文我们将逐步揭开谜底。

另外，还有一种“形式蕴涵”处理后件“如果开关a通了，则那盏灯亮，或者，如果开关b通了，则那盏灯亮”的方式，即处理成：

(t)((在t时刻开关a通了→在t时刻那盏灯亮)∨(在t时刻开关b通了→在t时刻那盏灯亮))。(t∈所有时刻集T)

令有t1时刻(比如2016年9月30日17时25分21秒)，合法代入上式有：

(在t1时刻开关a通了→在t1时刻那盏灯亮)∨(在t1时刻开关b通了→在t1时刻那盏灯亮)

于是，我们惊奇地发现，析取式两边的蕴涵式都会是真的！因为，这样统一代入时间t1时刻时，开关a通了，这个统一的代入时间也会“逼迫”开关b通了，这样开关a、b都通了，那盏灯自然亮了。于是整个后件“如果开关a通了，则那盏灯亮，或者，如果开关b通了，则那盏灯亮”就取真值。

问题又出在哪儿呢？出在这样的“形式蕴涵”完全歪曲了原来“如果(串联电路)开关a和开关b都通了，则那盏灯亮，那么如果开关a通了，则那盏灯亮，或者，如果开关b通了，则那盏灯亮”的基本意思。

如果非要用时间索引词索引一番，上句话的意思也应该是：

如果(在任何时刻(如果(串联电路)开关a和开关b都通了，则那盏灯亮)，那么(((在任何时刻)如果开关a通了，则那盏灯亮)，或者，((在任何时刻)如果开关b通了，则那盏灯亮)))。

“形式蕴涵”虽然由罗素提出，但可以追溯到弗雷格身上。弗雷格指出：“从假言思想结构比较容易探索向物理学、数学和逻辑中叫做规律的东西的过渡。我们确实常常以由一个或多个条件句和一个结果句组成的假言句子结构的形式表达一条规律。然而这样做在开始时仍有某种障碍，我所探讨的假言思想结构不属于规律，因为它们缺少普遍性，而规律正是通过普遍性与我们通常譬如在历史中发现的个别事实相区别。”[6]189

也就是说，在弗雷格眼里，蕴涵有两种，一种就是实质蕴涵，可以用p→r这样的形式来表示。但把规律性、因果律表示为用p→r这样的形式就不太适当，应该用另外的蕴涵以表示其中的普遍性。文献[1-2]指出，这种表达规律性、因果性要通过谓词逻辑公式(a)(P(a)→ψ(a))来表达。这实际离罗素的形式蕴涵(x)(P(x)→ψ(x))仅一步之遥。

后来，弗雷格还进一步区分了这两种蕴涵。他认为(x)((P(x)→ψ(x))这样的形式蕴涵，是“完整的思想表达”，自然有真假。但是p→r即“如果P，那么r”不是“完整思想的表达”，因此真假不定，是个真值函项。如果要在谓词逻辑中表示“如果P，那么r”，可以用P(x)形式的谓词逻辑公式(其中，P表示二元关系，x表示二元)。

于是，“p→r”作为真值函项，当然也不表示推理关系。弗雷格自己也说，实质蕴涵只是表示两个有真假的句子之间的连接[7]。“那么我以条件杠所表示的关系(即形如“p——r”的命题形式——笔者注)是一种能够在思想之间形成的关系吗?其实不是!这里只能说，这种关系的符号(条件杠)使句子联系起来。”[6]247这里的“一种能够在思想之间形成的关系”即是指表达规律性或因果性的形式蕴涵关系。通过以上的分析，我们至少明白了“形式蕴涵”用在什么地方了：它绝不是要用在真值函项语句身上。

让我们顺着弗雷格的思想继续向下说：

“p→r”作为真值函项，却为真值运算提供了可能。例如MP规则：若├A→B且├A，可得├B。A→B真假未定，这种真假未定显然不能等同于A∨B的真假未定，因为它表达了A对B存在着”→”(蕴涵关系)而非其他关系。因此，现实中A真时，A→B这个真值函项立即由于有了”A”真的代入，从而从弗雷格说的“不饱和”状态转为“饱和”状态，A→B由不是“完整的思想表达”转变成”完整的思想表达”，即有了真假，才能得B真。

我们再回过头来看前面((p∧q)→r)→((p→r)∨(q→r))这个式子中，(p∧q)→r和(p→r)∨(q→r)都是真值函项。但是，一旦用“如果(串联电路)开关a和开关b都通了，则那盏灯亮”，即是假定“(t)((串联电路)开关a和开关b都通了，则那盏灯亮)”，显然，“(t)((串联电路)开关a和开关b都通了，则那盏灯亮)这时是个形式蕴涵，是个设定为真的命题，然后我们把它代入(p∧q)→r，这个时候，原来处于命题真值函项状态的(p∧q)→r有了“完整的思想表达”，转变为真的真值命题。然后，我们根据前面所说的“A→B这个真值函项立即由于有了“A”真的代入……A→B，由不是“完整的思想表达”转变成“完整的思想表达”，即有了真假，于是有“那么如果开关a通了，则那盏灯亮，或者，如果开关b通了，则那盏灯亮”这个原为真值函项的后件也转化为真值命题，即有了真假值。

如果“如果(串联电路)开关a和开关b都通了，则那盏灯亮，那么如果开关a通了，则那盏灯亮，或者，如果开关b通了，则那盏灯亮”不是((p∧q)→r)→((p→r)∨(q→r))的适当代入，那么什么才是逻辑公式的适当代入？代入的规则是什么？为什么命题函项句不能代入公式里？依照弗雷格的思想，这完全是允许的。A→B原本就是从“如果天下大雨，那么地湿”之类的条件句中抽象出来的。因此，如果因为“如果天下大雨，那么地湿”本身是个真假未定即真值函项语句，而宣布它代入“A→B”是“不适当”的，恐怕就说不通。如果翻开任意一本逻辑教材，只要讲到命题到命题形式的抽象和命题对命题形式的代入，都没有按照“形式蕴涵”之类理论进行，我们又当如何解释*可以参见程仲棠先生意见。详见文献[3]。？

另外，实质蕴涵怪论源于命题逻辑系统之中，但“形式蕴涵”的解决方案实质是用到了谓词逻辑，即使成功，也难以服众：蕴涵怪论产生于命题逻辑层面，而非谓词逻辑层面。何况(x)(Φx→Ψx)公式在一般的逻辑教材中，都认为是“所有S是P”的表达，而非“若，则”句的表达，至少不是直接表达。而且，就算个别的怪论辩护方案是成功的，也不能从根子解决整个蕴涵怪论的问题。因此，恕笔者直言，“形式蕴涵”方案并没有解决蕴涵怪论问题。

二、形式蕴涵在根本上就无法解决实质蕴涵怪论问题

“形式蕴涵”(formalimplication)是罗素在《数学原理》中引入的一个称谓。他在《数理哲学导论》中，有一个地方专门对该词含义进行了说明：

假使我们讨论的是“一切人是有死的”这个命题，我们先从“如果苏格拉底是人，(那么)苏格拉底是有死的”开始，然后有“苏格拉底”出现的地方用一个变元x替换，于是得到“如果x是人，(那么)x是有死的”。虽然x是一个变元，没有任何确定的值，但当我们断定“Φx蕴涵Ψx”常真时，在“Φx”中和在“Ψx”中x要有同一的值，这就需要我们从其值为“Φa蕴涵Ψa”的函项入手，而不是从两个分离的函项Φx和Ψx入手；假若我们从两个分离的函项入手，我们决不能保证这一点：一个尚未规定的x在两个函项中有同一的值。为简单起见，当我们的意思是“Φx蕴涵Ψx”恒真时，我们说“Φx恒蕴涵Ψx”。“Φx恒蕴涵Ψx”这种形式的命题称为“形式蕴涵”；这名称也可用于变元不止一个的命题[8]153。

罗素认为蕴涵怪论是由于命题与函项的区别所致，于是他把蕴涵分为两种类型：一种即上述实质蕴涵，另一种是联系命题函项的形式蕴涵，它是谓词演算中带有量词的命题函项之间的蕴涵关系，表示为(x)(Φx→Ψx)，Φ、Ψ代表谓词，x代表个体。设p、q代表任何简单的主宾式命题，p分析为Φx，q分析为Ψx，则“p→q”可以改写作Φx→Ψx，如“p→q”是真的，则无论x代表什么事物，“Φx→Ψx”总是真的。图示为：

(1)Φx→Ψx

(2)Φx→Ψx

(3)Φx→Ψx

……

……

(n)Φx→Ψx

总结(1)(2)……(n)命题有：(x)(Φx→Ψx)。

对于上面的“n”和“x”可作两种不同的解释：其一，n无穷大，x代表任何时空的事物；其二，n是一有限数，x代表限于一定时空的事物。罗素显然是采用的后一种解释，因为我们无法考察完无穷的事物，第一种解释将使前件无法说真论假。

形式蕴涵的确避免了一些实质蕴涵怪论。如蕴涵怪论((A∧B→C)→(A→C)∨(B→C))改写成(x)((Ax∧Bx→Cx)→(y)(Ay→Cy)∨(z)(Bz→Cz))后，便不再是有效式；蕴涵怪论～(A→B)→(B→A)改写成～(x)(Ax→Bx)→(y)(By→Ay)后，也不再是有效式。不过，我们也要注意罗素这段话：这就需要我们从其值为“Φa蕴涵Ψa”的函项入手，而不是从两个分离的函项Φx和Ψx入手。这说明，罗素的“形式蕴涵”在一定意义已经对弗雷格的组合思想构成了挑战，而这恰恰是“形式蕴涵”代替实质蕴涵从而克服蕴涵怪论所不可避免的代价。

尽管如此，人们最后发现，“形式蕴涵”虽然小心翼翼地绕开了部分蕴涵怪论的坑，但最后还是没逃脱其他蕴涵怪论的“坑害”：形式蕴涵也有自己的蕴涵怪论。按照金岳霖先生的思想，对(x)(Φx→Ψx)有3种解读[9]263。第一，解读为“所有的Φ是Ψ”。这与传统逻辑中的SAP命题相近，但又有所不同，因为这里的Φ可以不存在。如果不存在，则(x)(Φx→Ψx)就是真的。因此，(x)(Φx→Ψx)是ΦAnΨ而不是ΦAΨ。第二，解读为“对于所有的x来说，如果x是Φ，那么它是Ψ”。但对于“对于所有的x来说，如果x是飞马，那么它是圆的”这样的命题，在普通“若，则”句看来，至少是有些问题的，但形式蕴涵看来，却是真的。第三，解读为“‘对于所有的x来说，如果x是Φ，那么它是Ψ是假的’是假的”。这种说法最为严格，但是这实际上已经是实质蕴涵的意思。归纳3种解读，都有相同情况：在(x)(Φx→Ψx)中，只要令前件为假，形式蕴涵总取真值。其实，稍加分析可以发现，罗素的形式蕴涵都有一个全称量词，实际上是实质蕴涵归纳演变而来，构成了实质蕴涵的类(因为命题函项可以视为命题的类)，是实质蕴涵在谓词逻辑中的应用，故其本身摆脱不了实质蕴涵的古怪味也在情理之中。

而且，用形式蕴涵处理“若，则”句有个很大的不足：它要求两个谓词的主词位置有相同的个体变元，但实际上这对许多“若，则”句是不现实的。比如，“如果春天来了，那么花就要开了”，这样的“若，则”句哪里存在什么相同的个体变元呢？当然，有时我们可以把时间、空间等作为索引词，可以让“若，则”句获得共同的时间变元、空间变元，但这已不是(x)(Φx→Ψx)中的个体变元。正如前述，我们已经看到，即使我们姑且承认(x)(Φx→Ψx)中的x可以是时间变元，也不能从根本上解决问题。

三、“实质蕴涵怪论”到底是不是一个伪问题？

无论国际还是国内，关于实质蕴涵是否存在怪论，都有两种说法。就国内而言，认为这是个伪命题的不在少数。如果这个观点成立，那么所谓实质蕴涵怪论定理之“反例”化解路径这一说法本身就存在问题，就是个假问题。

1922年，约翰逊(W.E.Johnson)在他的《逻辑》中，最先正式提出了“蕴涵怪论”(Paradoxesofimplication)一词。有人把蕴涵怪论称为“蕴涵悖论”，这是不太恰当的。严格而言，所谓“蕴涵悖论”与谎者悖论、罗素悖论等根本不同，它不是逻辑系统内部本身出现的“合理的矛盾”，而是系统定理在翻译成日常语言时，与日常推理经验不符合甚至相抵触而产生的，故其本质是一种“怪论”。简言之，如果我们只站在经典逻辑的角度，实质蕴涵是无所谓怪论之说的。

在日常思维中，“若，则”句的真，不仅依赖于前件与后件的真假，还有赖于前后件的相关或条件关系的存在，本质上并非只具有简单的真值函项性，而是还有其他的内涵。而实质蕴涵只是一个外延性的真值函项概念，并不需要前件和后件之间存在相干性或条件关系，换言之，实质蕴涵公式A→B的真假仅仅依赖于A和B的真值。正是鉴于此，金岳霖先生认为，如果承认这种实质蕴涵就是自然语言中的蕴涵关系就会发生问题，他曾建议实质蕴涵应当叫做“真值蕴涵”。“但何以名之为真值蕴涵呢？这种蕴涵关系不是说p、q两命题在意义上有任何关联……是两命题事实上的真假关系，也可以说是真假值的关系，所以简单的称为‘真值蕴涵’。”[9]262条件句与实质蕴涵这种差异性自然导致了经典逻辑出现“蕴涵怪论”。“怪”的症结在于人们把实质蕴涵当作条件句概念，认为经典逻辑的每一条定理都是有效的推理形式。于是，大量的经典逻辑定理例如A→(B→B)、B→(～A∨A)就出现了“怪味”，这就是“蕴涵怪论”的由来。

不过，由于经典逻辑的工具性特点，人们必然要求其可以应用于日常推理，以逻辑形式证明的有效性保障日常推理的有效性。但是，由于实质蕴涵怪论的存在，经典逻辑恐怕难以企及日常推理的这一要求。例如，(A→～A)∨(～A→A)在实质蕴涵的理解中是一个永真式，但日常推理一定会提出反对意见，认为相互矛盾的命题任中一个不能“蕴涵”另一个(当然，站在黑格尔主义者的立场又另当别论)。因为人们在命题间用“蕴涵”这个词时，要求命题之间至少是相容的。估计也没有哪个逻辑学家在日常生活中会毫无顾虑地应用(A→～A)∨(～A→A)这种模式进行推理。“蕴涵(implication)是对于自然语言中的连接词‘如果，则’的逻辑解读，蕴涵式‘如果A则B’则表示自然语言中各种条件句，在逻辑中，一般把它用符号表示为‘A→B’。”[10]但是，“实质蕴涵并不总是与人们每天所用的‘若，则’相一致，因此用实质蕴涵来表述‘若，则’句存在不少缺陷”[11]，“显然，逻辑不能与应用冲突”[12]。

可见，问题的关键不是实质蕴涵怪论存在与否，而是在于如何消除经典逻辑与日常推理的不一致，让逻辑(至少某一逻辑系统)成为日常推理用得上、用得放心的推理工具。仅仅反驳掉几个所谓的“反例”，虽然意义是明显的，但如果不是把“实质蕴涵怪论”连根拔起，那么这对经典逻辑与日常推理的不一致来说，仍是杯水车薪。我们必须面对这一问题，必须尝试解决这一问题。

[1] 张顺.张建军.罗素的形式蕴涵思想辨析——三论从形式蕴涵看“实质蕴涵怪论”[J].湖南科技大学学报(社会科学版)，2016(4)：32-38.

[2] 张建军.再论从形式蕴涵看“实质蕴涵怪论”——兼复程仲棠先生[J].求索，2015(6)：68-74.

[3] 程仲棠.“蕴涵怪论反例”的拨乱反正——兼评张建军先生的“‘反例’化解路径”[J].学术研究，2014(9):11-18.

[4] 翟玉章.关于实质条件句的两个问题[J].湖南科技大学学报(社会科学版)，2014(3):23-29.

[5] 张建军.从形式蕴涵看“实质蕴涵怪论”——怪论定理之“反例”化解路径新探[J].学术研究，2012(4)：14-21.

[6] 弗雷格.弗雷格哲学论著选辑[M].王路,译.北京：商务印书馆,2006.

[7] 夏素敏.简论二维记法的概念文字[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2015(12): 21-24.

[8] 罗素.数理哲学导论[M].晏成书，译.北京：商务印书馆，1982:153.

[9] 金岳霖.逻辑[M].北京:生活·读书·新知三联书店,1982.

[10]陈波.逻辑哲学导论[M].北京：中国人民大学出版社，2000：90.

[11]Oxford Dictionary of Philosophy:indicative conditionals[EB/OL].[2016-11-16].http://www.answers.com/topic/indicative-conditional.

[12]WITTGENSTEIN.Tractatus logico-philosophicus [M].London:Routledge,1974.

(责任编辑 张佑法)

Can the Scheme of “Formal Implication”Resolve the Problem of Material Implication Paradox

ZHANG Shao-you

(Editorial Department ofHometownoftheOverseasChineseForum, Jiangmen 529000, China)

In recent years, some scholars used Russell’s “formal implication” as a tool to resolve the problem of the material implication paradox. But in fact, it’s hard to say that it has achieved the expected success, because the scheme of “formal implication” can not solve the implication problem at all. The root of the problem of the material implication paradox, is not at the formal language of logics, but in the difference, which is too big, between “the material implication” and daily “if, then”.

formal implication; material implication paradox; implication paradox

2017-01-09 作者简介： 张绍友(1972—)，男，四川内江人，《侨乡论坛》副主编，逻辑学博士，研究方向：语言逻辑及现代逻辑。

张绍友.“形式蕴涵”方案能解决蕴涵怪论问题吗[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2017(5):10-15.

format：ZHANG Shao-you.Can the Scheme of “Formal Implication” Resolve the Problem of Material Implication Paradox[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2017(5):10-15.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2017.05.003

B81

A

1674-8425(2017)05-0010-06