深化数学语言表达提升学生数学素养

卢清荣

数学教学就是数学语言的教学，学生学习数学的过程，就是学习数学语言然后不断内化、生成、运用的过程。数学语言可以分为图形语言、文字语言、符号语言，每种语言运用的过程，都反映了学生对知识的理解从无到有、从不会到会、从肤浅到深刻。深化数学语言表达能促进学生对数学语言的理解从显性语义到数学本质，现以“商不变的规律”的教学为例，談谈如何引导学生深化数学语言表达，提升学生数学素养。

一、深化图形语言表达。提升学生想象能力

图形语言是指包含着数学信息的图（包括情境图、实物图、几何图、统计图等），图形语言是形象思维的载体、抽象思维的工具。深化图形语言表达，有助于学生直观、形象地分析问题、发现问题，促进学生形象思维的形成。创设情境图一方面要贴近学生的生活实际，唤醒学生已有的生活经验，便于学生从熟悉的情境中提取数学信息。另一方面，情境图能够反映数学的本质问题，借助直观图形能演绎隐藏着的数学本质问题，显示图形语言的直观价值。

教学时，我先呈现了3名同学开学前购物的情境图。购买相同笔记本，不同的本数付出不同的钱数作为现实情境（如图1）。问题思考：笔记本的价格不变，购买的本数和所付的钱数之间有怎样的变化规律，请同学们画出示意图。引导学生从整体观察情境图，先画出整体变化趋势（如图2），再细致对比一组问题之间的变化关系，以图形变化表征问题变化（如图3），图形语言展示思考过程，反映所买的本数与对应所付钱数之间的等值变化规律。

商不变的规律研究的是两个算式之间的变化规律，让学生能更清晰地理解规律的实质，充分激活学生已有的生活经验。单价不变、总价随着数量的变化而变化是孩子们的生活常识，教师提供可以生长的情境图，把学生带进更大的知识背景中，深化图形语言表达，把生活问题转化为数学问题，关联情境生成整体问题表征，建立比较对象，凸显“一对三”对应关系，学生经历图形语言发展形成表象，并在表象的基础上获得数学直觉，促进想象力的发展。

二、深化符号语言表达。提升学生推理能力

符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，有象形符号、缩写符号、约定符号等。克莱茵指出：“数学的另一个重要特征是她的符号语言，如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号来表示数量关系和空间形式，与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗产生的，也是社会和政治运动的产物，而数学语言是慎重的、有意的而且经常是精心设计的。”符号语言的表达过程是对问题的抽象过程，能够用符号表达的过程实质上已超越对问题的经验认识，从感性思考到了理性思维。深化符号语言的表达过程体现了规律本质从内隐到外显被发现的过程。

教师让学生用数字符号整理出问题信息，确立研究切入点，以6÷2为标准，符号语言表达被除数和除数“这样变”，确定商“不变性”。（如图4）

继而，教师转换问题视角，蜗牛3分钟爬42厘米，这样一直爬下去，6分钟爬（84）厘米……呈现结果不变，寻找过程变化关系。（如图5）

符号语言表征了商不变的规律中“变化过程”及“结论”的对应性，从两个角度深化了学生对规律特征的理解和认识，并用更多例证让学生借助符号语言进行合情推理，符号语言表达算式“这样变”保证商不变和商不变需要算式“怎样变”辩证揭示，把握商不变的规律中变量元素之间关系的内涵，有层次地应用符号语言表达“变与不变”的本质，促进学生对知识的内化和理解，提升学生推理能力。

三、深化文字语言表达。提升学生概括能力

文字语言是抽象化的自然语言，加强文字语言表达能力的训练，是培养学生概括能力的重要方式。数学文字语言反映数学事实，突出数学对象的本质属性，它具有精练、严密的特点。小学生数学概括能力的发展，要经过从具体到抽象、从表层到实质、从低级到高级的过程，表现出一定的层次性和渐进性。

教学时，先让学生从已有的情境问题中，发现两个算式中被除数和除数的变化情况，经历了具体化的概括过程，被除数和除数同时乘或除以2或4，商不变。接下来学生自由举例验证，举出更多单价不变，总价和数量的对应变化规律：速度不变，路程和时间的对应变化规律：工作效率不变，工作总量和工作时间的对应变化规律。学生通过广泛的数据论证，寻找到不同类事物之间的内在联系，概括出被除数和除数同时乘或除以相同的数商不变。

应用文字语言概括商不变的规律，学生在经历充分感性材料具体感知分析的基础上，通过观察、操作、实验，对具体的数学事实获得感性认识后进行基础性的概括。再经过舍去事物非本质属性，抽取数学算式中的共同特征，发现数学对象的本质属性和内在联系，对数学规律进行综合性的概括。商不变的规律中重要语义含义“同时”“乘或除以”“相同的数”“零除外”都进行了实质性的意义分析，概括出商不变的规律的数学结论。文字语言表达概括的过程，经由分析、观察、比较、发现同类事物共同特征后总结形成，文字语言概括规律从直观层面发展为抽象层面，概括水平得到提升，促进学生数学概括能力的进一步发展。

总之，学生学习数学知识的过程，教师引导学生深化数学语言表达，有助于学生分析问题、发现问题并解决问题，促进学生理解知识的同时，有效提升数学素养，增强解决实际问题的能力。