处于静态中带电导体电荷分布概率的计算

徐卫星

摘 要

为了能够了解导体内电荷的分布概况，利用麦克斯韦方程组中电场积分式，令其电场强度与闭环回路（或封闭空间）的积分和为零的理念，建立坐标模型和数学模型进行运算求得分布概率结果所采用的一种方法。

【关键词】麦克斯韦方程积分式 导体内电场强度处处为零 电荷分布概率

导体中电荷的分布与改变和外布电场的强弱与变化是一对统一的理论体系。电荷的分布是产生电场分布的根源，而电场反过来左右电荷的分布，是一对立的统一体。因此对电荷分布的研究与对电场的分析具有相同的重要意义。

当导体中存储电荷处于稳定时，导体内部处处电场力的和应为零。否则有任何电场的存在都会引起电荷的移动（重新分布）。我们利用麦克斯韦方程组中电场积分式令其等于零，即

来建立数学模型或公式计算出电荷的分布概率。

1 为了更好地理解这种方法先阐述几个基本概念

1.1 测试电荷点

测试电荷点q是指在带电导体内静态下，测量某点处电场大小、方向的电荷。其电量小到不影响此处的电场状态。其方向是q为正时顺势而下（电场箭头的方向）；q为负时逆势而上（电场箭头的反方向）。

1.2 库仑定律

。其中Q1、Q2为两个电荷体的电荷量；l为Q1Q2之间距离；k为库仑常数。

1.3 麦克斯韦方程积分式

或原式是说明在任何平面环路和电场积分与本环内磁场变化率的关系或任何封闭的空间电场通量与所含电荷量的关系。我们利用电场的积分式并令其在导体中某点等于零（导体是有限的封闭空间），根据库仑定律

；f（ρ）为分布体密度函数、

；f（σ）为分布面密度函数、

；f（x）为分布线密度函数。并且导体内处处应为零，计算出电荷的分布概率。

1.4 容余电荷

导体本身是存有正负电荷元素，而容余电荷是在正负电荷失去平衡或电势不为零时产生出电场的多余电荷。所以容余电荷或者是正电荷或者是负电荷。

2 为了验证一下应用效果下面举几个简单的例子

2.1 例1：一根极细而有限长带电导线轴向的电荷分布概率

如图1，在一根长度为b容余电荷量为Qs的细导线上，在无任何电磁干扰的理想环境下，忽略其径向因素，只考虑轴向电荷分布概率。为了运算方便和结果比较，将b分别分为3段、4段、5段、6段、7段、19段。每段平均分为2个△长，每2个△之间分别设定电荷点Q1、Q2、Q3等，其电量分别是其所处2个△所储电量和Qi=2△σi（i=1、2、3…n），

（σi线密度；n为分段数）。每两个电荷点之间设定测量点q1、q2等，根据库仑定律和麦克斯韦方程组中电场积分式，可以看出实际上每处测试点左边电场强度与右边的和为零时，任何轴向闭环积分和必定为零。因此建立各测试点电场强度为零的数学模型即方程组与Qs函数关系式。

2.1.1 当b分为3段时数学模型如下：

因在同一介质中库仑比例系数K为同一值，约去k、q、△求得方程组的解

2.1.2 如图2，当b分为4段时数学模型如下：

约去k、q、△求得方程组的解

2.1.3 如图3，当b分为5段时数学模型如下：

约去k、q、△求得方程组的解

2.1.4 如图4，当b分为6段时数学模型如下：

约去k、q、△求得方程组的解

2.1.5 如图5，当b分为7段时数学模型如下：

约去k、q、△求得方程组的解

图6、图7为正、负电荷7段的分布概率。

2.1.6 如图8，当b分为19段时求得方程组的解如下：

2.2 例2：一根极细一端有端头一端无限长的带电导线在端头处的电荷分布概率

如图9，在无任何电磁干扰的理想环境下，导线上储存有电荷Qs。忽略其径向分布情况，只考虑轴向分布概率。

设端点为A，从点A向另一端划分出若干个极小间距△，在每两个△中间设定点电荷 Q1Q2Q3等每个Q代表这两个△的电量和Qi=2△σi（i=1、2、3…）。在每两个Q中间设定点测试点q1q2q3等，在只考虑轴向时，每个测试点左右侧的电场强度和应为零。即轴向环路必为零。

根据库仑定律在q1点处建立数学模型：

（i=1、2、3…） （ 约去k、q、△）得

而且Qs越大

越大Q1与Q2差值也越大。从例1的运算结果得知两个端头的电荷密度向中心是逐渐递减的。类似于本例题A端向另一端的电荷密度同样也是递减的。只不过将例1中b的长度无限延长了一端。

2.3 例3：一个无根大的理想带电平面中心范围的电荷分布概率

如图10，在无任何电磁干扰的理想环境下，在一个无根大的理想平面上分布有密度为σi的容余电荷，处于静态时在中心范围内确定任意两个点A、B，沿AB两点画一条向两边无限延长的直线。根据麦克斯韦积分式沿此直线轴向闭环与电场强度积分应为零。设分别以AB为圆心

为半径画两个圆，由于非常小可以把两个圆看成两个点电荷。根据库仑定律，则AB中间点的电场强度应为：

其中：q为测试电荷点；σi为单位面积电荷密度；r为直线及其延长线的距离；σAi为A边直线上电荷密度；σBi为B边直线上电荷密度；A-B为A到B的距离；k为库仑常数。

運算（1）式得：

由于无限大平面中的电荷是连续分布的、无间断点。由例1得知σAi=σBi，因此σA=σB。

充分性：由于AB点可任意确定中心范围的每个点和各个方向。因此，中心范围的电荷密度值是一样的。

必要性：在平面上AB中间点处的电场强度会不会受到除此直线以外任何其它电荷的影响呢？肯定是不会的。因任何一处除直线以外电荷的作用，都可以找到以AB中间点为圆点的对称点处电荷的作用，大小相同、方向与前一处电荷作用向反。在AB中间点处影响力为零。

3 结论

经过几个简单例子运算结果和分析得知：

（1）对一根长度有限的带电细导线电荷密度计算通过表1看出：

a.有限长线段电荷分布概率是两边密度大于中心。

b.有限长线段电荷分布概率是两边对称的。

c.与储存电荷Qs有关系；与b的长度有关系。

d.△越小分段越多越精准化两端电荷密度值越高，中间越平缓。

此外，在电荷进行交流时变时，两头的电荷量和电场变化最大，其磁场变化也最大，非常适合电磁信号的发射。如过去军用便携式步话机的天线就采用叉开线段状导体。并且接收信号天线的采集信号点都处于端头。

（2）对一根一端有端头一端无限长的带电细导线计算得知，在端头处的电荷密度最高。而且带电量Qs越大会更高。而避雷针接入大地的原理，就是利用地球巨大的Qs使针头的电荷密度及其电场强度远远大于其它地方，从而起到引雷电入地的作用。

（3）无限大理想平面带电导体中，在无任何电磁干扰下，中心范围电荷密度值处处相同。这与带电平板电容中心区域电场强度值处处一样是一致的。

从上述的运算结果和现实生活中应用的吻合程度，说明此方法是能够表述导体中静态电荷的分布概率。

有不对之处请多提建议。

参考文献

[1]迪派克（Dipak，L.S）唯迪斯（Valdis，V.L）著；沈远茂等译.应用电磁学与电磁兼容[M].北京：机械工业出版社，2009.

[2]汪泉弟，张淮清.电磁场[M].北京：科学出版社，2013.

[3]张洪欣，沈远茂，韩宇南.电磁场与电磁波[M].北京：清华大学出版社，2013.

作者单位

北京北方长城光电仪器有限公司 北京市 100053