直线共轭内啮合齿轮传动重合度的计算分析

高铭良 ，崔建昆， 黄冬平， 刘 爽， 张丽华

(1.上海理工大学，上海 200093；2.上海航发机械有限公司，上海 201906)

直线共轭内啮合齿轮传动重合度的计算分析

高铭良1，崔建昆1， 黄冬平1， 刘 爽1， 张丽华2

(1.上海理工大学，上海 200093；2.上海航发机械有限公司，上海 201906)

文章根据齿轮啮合基本原理，以齿轮传动重合度计算理论为基础，推导出直线共轭内啮合齿轮传动重合度计算公式，并分析研究影响直线共轭内啮合齿轮传动重合度的主要因素及其与重合度的关系，对直线共轭内啮合齿轮泵的设计理论及应用有一定的指导意义。

直线共轭；内啮合齿轮泵；重合度；齿形半角

1 前言

齿轮泵是液压系统中常用的能量转换装置，根据啮合方式的不同，可分为内啮合齿轮泵和外啮合齿轮泵。由于内啮合齿轮泵结构紧凑、尺寸小、重量轻、运转平稳、噪声低，因而被广泛运用。同时因为其流量和压力脉动小，所以在高转速工作时有较高的容积效率，且轮齿接触应力小、磨损轻微、使用寿命长。

随着液压技术的发展，为了满足现代机械设备高速、高精度和大功率的要求，国内外学者提出了多种新的齿轮泵结构来减小齿轮泵的输出流量脉动从而减小噪声，其中较为成功的是由瑞士的一家公司生产的直线共轭内啮合齿轮泵，其工作噪音为50dB左右，因此，在液压行业内又被称为QT(安静)泵，并已获得了广泛的应用[1]。

文献[2,3]着重论述了渐开线齿轮重合度的计算方法及齿轮参数对重合度的影响，关于直线共轭内啮合齿轮传动重合度计算方面的文章也只是简单提到，并没有做深入的研究[4,5]。本文根据齿轮啮合基本原理及重合度定义，对其进行详细的理论分析，推出直线共轭内啮合齿轮传动重合度的计算方法，对直线共轭内啮合齿轮泵的设计及应用有一定的意义。

2 直线共轭内啮合齿轮副重合度计算理论

重合度对齿轮泵的性能影响很大，为了保证齿轮泵的齿轮平稳地啮合运转，吸压油腔严格地密封以及均匀而连续地供油，必须使齿轮啮合的重合度ε>1，但是重合度太大就会引起严重的困油现象，所以有必要研究影响齿轮啮合传动重合度的主要因素，以便选择合适的重合度，在一般机械制造中常取ε=1.1～1.4[6]。

由于直线共轭内啮合齿轮副与渐开线内啮合齿轮副的啮合线不同，因此它们的啮合过程也有很大的差别，所以直线共轭内啮合齿轮副的重合度ε就不能单纯的应用渐开线齿轮副重合度ε的计算方法计算。根据齿轮啮合原理，可以得出一种新的重合度计算方法[3]：

ε=φ/φ

(1)

式中φ——齿轮作用角φ——周节圆心角

3 外齿轮齿廓参数关系

在直线共轭内啮合齿轮副中，外齿轮齿廓为容易加工的左右对称的直线，图1所示为直线共轭内啮合齿轮副中的外齿轮齿廓，其中s为分度圆上的齿厚，θ为分度圆上齿厚所对应的圆心角，h为外齿轮中心到轮齿一侧直线的距离。

图1 直线共轭内啮合齿轮副外齿轮齿廓

如图1所示，以外齿轮的中心O1原点建立坐标系(O1-x，y)[7]，则可得：

θ=s/r1

(2)

h=r1sin(θ/2+β)

(3)

式中r1——外齿轮分度圆半径β——外齿轮的齿形半角

4 内外齿轮啮合关系

图2所示为两齿轮啮合原理。齿轮1为外齿轮，齿轮2为内齿圈，图中O1、O2分别为两齿轮的中心，a为中心距，i12为传动比，r1，r2为两齿轮的节圆半径，P为节点。

以P为原点建立固定坐标系(P-x，y)，y轴与联心线O1O2一致，x轴与其垂直；分别以O1和O2为原点建立坐标系(O1-x1，y1)和(O2-x2，y2)，分别与齿轮1和齿轮2固联并随它一起旋转。在起始位置时，坐标轴y1，y2与y重合，x1及x2轴与x平行。当某时刻齿轮1转过ψ1时，齿轮2相应地转过ψ2，如图2(a)所示，它们之间的关系由传动比确定：

i12=r2/r1=ψ1/ψ2=z2/z1

(4)

式中ψ1，ψ2——两齿轮的相位角z1，z2——两齿轮的齿数

(a)外齿轮和内齿圈啮合的几何关系

(b) 外齿轮和内齿圈啮合局部几何关系

由图2(b)可知

(5)

(6)

式中R1，R2——啮合点处外齿轮和内齿圈的啮合半径

5 直线共轭内啮合齿轮副重合度计算

由式(1)可知，计算重合度需要确定齿轮作用角φ和周节圆心角φ，而周节圆心角为一个周节所对的圆心角，即：

φ=2π/z=2π/z1

(7)

如图3所示，根据啮合原理[8，9]，A点为啮合起始点，B为啮合终止点，曲线段AB为实际啮合线，设齿轮进入啮合的转角为φ01，齿轮脱离啮合的转角为φ02，则有：

φ=φ02-φ01

(8)

图3 齿轮作用角

(9)

(10)

于是直线共轭内啮合齿轮传动的重合度ε计算公式为：

(11)

以NACHI(不二越)公司生产的IPH型系列IP泵为例，其基本参数为：z1=13，z2=20，r1=24 mm，r2=36 mm，ra1=26 mm，ra2=32 mm，β=22.5°，s=4.233 mm，rf1=38.7 mm，通过计算得到的重合度为ε=1.3153，其值处在1.1～1.4之间，因此，满足齿轮啮合副连续工作的要求。

6 重合度的影响因素分析

从重合度的计算公式中可以看出，外齿轮齿顶圆半径ra1、内齿圈齿顶圆半径ra2和外齿轮中心到轮齿一侧直线的距离h跟齿轮传动的重合度ε有直接关系。但是h在设计中没有直观的几何意义，但从式(3)中可以看出h与齿形半角β有关，而β可以直接决定外齿轮的齿廓形状，因此，研究β与ε的关系有重大意义。

这里就主要讨论ra1、ra2和β与ε的关系。这里以NACHI(不二越)公司生产的IPH型系列IP泵为例，在其它条件不变的情况下，通过改变一个因素，观察其与重合度的关系。根据重合度计算公式，可以分别得到出对应参数与重合度的关系图，如图4所示。

(a)ra1-ε(b)ra2-ε(c)β-ε

图4 齿轮齿顶圆半径ra1、齿圈齿顶圆半径ra2、外齿轮齿形半角β与重合度ε的关系

由图4(a)可看出，即随着ra1的增大，重合度ε也逐渐增大，但当外齿轮的齿顶圆半径ra1达到某一值后，重合度ε则随ra1的增加而急剧增加，这是因为达到了啮合极限点。对于某些结构的齿轮泵，如果重合度太大，就会引起严重的困油现象，所以ra1不能取太大的值。

由图4(b)可看出，重合度ε几乎与ra2成反比，即随着ra2的增大，重合度ε却逐渐减小。通过对比图4(a)和图4(b)，可发现改变ra1对重合度的影响比改变ra2对重合度的影响要大得多。

由于外齿轮齿形半角β的取值直接决定齿轮啮合传动会不会出现旋轮线的干涉现象，因此，在讨论外齿轮齿形半角β与重合度ε的关系时，必须要考虑到齿形半角β的取值范围，使其保证齿轮在啮合传动过程中不产生旋轮线的干涉。一方面，齿形半角β的取值范围可以根据外齿轮中心到轮齿齿廓一侧直线的距离h确定，另一方面，齿形半角β的取值范围可由外齿轮齿顶圆半径ra1的大小确定。由式(9)和式(10)可计算出h的取值范围，再联立式(3)则可推出角β的取值范围。

从图4(c)中可看出，随着外齿轮齿形半角β的增大，重合度ε在逐渐减小。为保证齿轮传动能够连续平稳地运行，在该类型的齿轮泵中，外齿轮齿形半角β范围大约在20°～25°。

7 结论

(1)根据齿轮啮合原理推导出了直线共轭内啮合齿轮传动的重合度的计算公式，为齿轮泵稳定连续工作齿轮参数的选择提供一定的理论依据。

(2)重合度随着外齿轮的齿顶圆半径的增大而逐渐增大；随着内齿圈齿顶圆半径的增大而逐渐减小；随着外齿轮齿形半角的增大逐渐减小。

(3)在直线共轭内啮合齿轮泵的齿轮参数设计中，可以通过设计选择合适的齿轮齿顶圆半径、齿圈齿顶圆半径以及齿轮齿形半角来确定合理的重合度，以保证齿轮泵能连续平稳地工作。

[1] 崔建昆，秦山. 直线共轭内啮合齿轮的流量脉动分析[J]. 机械设计，2004，21(z1):157-158.

[2] 叶素娣，徐敬华，徐圣伦. 论重合度与齿轮参数的关系[J]. 绥化学院学报，2015(5):150-152.

[3] 曲秀全，戴恒震. 关于渐开线圆柱齿轮重合度的另一种定义方法[J]. 现代机械，2002(4)：46-47.

[4] 崔建昆，秦山，闻斌. 直线共轭内啮合齿轮副啮合特性分析[J]. 机械传动，2004(6):12-15.

[5] 徐学忠，宋天麟. 直线共轭齿轮泵的基本参数优化设计[J]. 机械传动，2007(4):69-71.

[6] 陈秀宁. 机械设计基础(第三版)[M]. 浙江：浙江大学出版社，2011:84-141.

[7] 崔建昆，秦山，闻斌，等. QX型直线共轭内啮合齿轮泵研制[J].流体机械，2004，32(12)：41-44.

[8] 陈仙凤，赵星波，蒲建中.基于FTA的不锈钢管壳式换热器失效模型安全评价分析[J].压力容器，2015，32(11)：64-68.

[9] 吴序堂. 齿轮啮合原理[M].北京：机械工出版社，1982:1-73.

The Calculation Analysis of Contact Ratio for Straight Conjugate Internal Gear Transmission

GAO Ming-liang1,CUI Jian-kun1,HUANG Dong-ping1,LIU Shuang1,ZHANG Li-hua2

(1.University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093，China； 2.Shanghai Hangfa Machine CO.,LTD.,Shanghai 201906，China)

The article based on the basic principle of gear meshing and the theory of computation of gear contact ratio deduced a new calculation formula of straight line conjugate internal gear transmission,and then with the help of the new formula,that the main factors influencing the straight line conjugate internal gear contact ratio and the relationship with the gear contact ratio is analyzed,which has certain guiding significance for the design theory and application of linear conjugate internal gear pump.

straight line conjugate;internal gear pump;contact ratio;half Angle of tooth profile

1005-0329(2017)02-0028-04

2016-04-11

2016-06-16

上海市宝山区产学研合作基金项目(CXY-2013-1)

TH3

A

10.3969/j.issn.1005-0329.2017.02.006

高铭良(1987-)，男，硕士研究生，主要从事机械传动方面的研究，通讯地址：200093 上海市军工路516号 上海理工大学，E-mali:gaomingliang-708@163.com。