“平面向量数量积在三角形中的应用”观摩的思考——基于偶伟国老师的一节示范课*

●仝 建 (南京市大厂高级中学 江苏南京 210044)

“平面向量数量积在三角形中的应用”观摩的思考
——基于偶伟国老师的一节示范课*

●仝 建 (南京市大厂高级中学 江苏南京 210044)

基于偶伟国老师执教的一节示范课“平面向量数量积在三角形中的应用”，探究高效课堂形成的原因，提出高效课堂需注意留白的艺术、善用变式、营造积极心理场、注意“过渡”的设计、敢于放手.文章指出提高课堂实效，教师必须苦练“内功”，不断提高自身对数学学科、所教学生、教学艺术的理解水平.

数量积；三角形；示范课；高效课堂；原因分析

1 背景

2015年12月，江苏省苏州市第十中学举行的江苏省“师陶杯”颁奖会上，省特级教师偶伟国以“平面向量数量积在三角形中的应用”为题上了一节示范课，授课对象为该校某高一班级学生.笔者有幸到现场学习了这节课，感触颇深，收益良多.在偶老师的课堂上，学生情绪愉快，思考积极，教师引导合理、高效.课后通过学生访谈、反复学习偶老师这节课的教学录像，发现偶老师高效课堂形成的原因，并谈谈自己的几点思考.

2 教学实录

2.1 知识回顾

师：今天我们要用平面向量数量积解决三角形中的问题.数量积大家熟悉吧？

生(众)：熟悉.

师：能把数量积的计算公式说一下吗？

生(众)：a·b=|a|·|b|cosθ.

师(板书,并和学生一起说出公式):这里的θ是什么？

生(众)：2个向量a与b的夹角.

师：夹角要注意什么？

生(众)：共起点.

师：2个向量要共一个起点，2个向量夹角的范围知道吗？

生(众)：[0，π).

师：数量积还有其他公式吗？

生(个别)：没了.

师：假如把向量a的坐标记成(x1，y1)，把向量b的坐标记成(x2，y2)，还可以得到什么公式？

生(众)：a·b=x1x2+y1y2.

评注 偶教师开门见山地直接提出研究课题，一句“数量积大家熟悉吧”唤起了全体学生的对课题的注意.从学生熟悉的内容(数量积计算公式)出发带动全体学生回顾基础知识，使每一个学生都能走进课堂，同时不留痕迹地指出学生在知识理解上的易错点——向量的夹角要使2个向量共起点.同时注意到：偶老师在课的开始阶段，多是“口语化”的交流，看似零碎，但师生交流的氛围好,学生能积极愉快地参与.笔者认为在课的开始阶段，“口语化”应多于“书面化”表达,这样更容易拉近师生的距离，把学生的注意力吸引到课堂中来.相反地，若一节课开始阶段，“书面化”表达过浓，则会导致师生无法共鸣，学生的思维难以被激活，从而可能导致师生在不同“频道”交流的尴尬现象.当然，教师要根据学生的情况作好“口语化”与“书面化”的平衡.

师：一个是跟向量模及夹角有关，一个是与坐标有关.同学们，你们前面用向量的数量积解决了什么问题？

生(个别)：没解决什么问题，解决了数学问题.

师：解决了数学问题，看来老师问的问题不太好.大家看看数量积的公式跟什么有关？

生(众)：跟角有关，跟模有关.

评注 偶老师说“看来老师问的问题不太好”，坦诚地在学生面前指出自己提问不好，把学生的不正确回答归因到自己身上，这样可以有效减少学生由于担心答错问题而产生的不敢回答问题、不敢展示自己想法的现象,有助于学生积极、主动地思考.接着，偶老师马上又修改了自己的问题“数量积的公式跟什么有关”，为学生思考指出了更加明确的方向.通过由远及近的问题，激活了学生的思维，并及时根据学生情况，调整问题的开放度.这当然不是偶老师的问题不好，而是教学艺术和智慧的体现.

师：通过向量的数量积可以研究向量的模、向量的夹角.当然，它还可以研究其他的内容.今天这堂课，我们用向量的数量积研究与三角形有关的问题.

2.2 例题评析

图1

教师用PPT投影并读题如下：

师(见没有学生抢答)：口算不行了吧？大家算算看，困难来了.

(学生们开始安静思考、计算, 教师在黑板上画出△ABC.)

(教师根据生1的回答进行板书.)

生(众):转化.

生(众):基底.

师：同学们说得很好!

师：这个三角形是确定的吗?

生(众):是的,2条边夹1个角.

师：你能把这条边AB算出来吗？

(学生安静思考片刻后，教师提醒有困难的学生可以一起讨论.)

师：设想一下，能算吗？

生(众)：可以，接下来拆开.

师：生2的想法是把一个向量转化为一组基底向量，最后通过平方的办法转化为长度.这个想法好不好？

生(鼓掌)：好！

师：还有其他不同的想法吗？

(教师注意到学生的表情，示意一位学生回答.)

生3：过点A作AH⊥BC，交BC的延长线于点H，在Rt△ABH中，即可解得.

师(结合黑板上的图形)：这就是“化斜为直”，用初中的知识就能解决了，但初中肯定没有向量的方法.大家看，向量很奇特吧，现在△ABC的3条边都是确定的.在这道题的条件下，你能提出其他问题吗？

生4：求∠B的大小可以通过∠B的余弦值求得.

(其他学生提出的问题此处从略.)

评注 波利亚给出解题的4个步骤：理解题意，拟定计划，执行计划，回顾[1]. 偶老师的教学中，特别重视解题后的回顾，这恰是不少教师在解题教学中容易忽视的地方.在生1解答之后，马上引导学生总结出解题的策略(向量转化)及解题方法(基底法), 使例题的功能得以充分发挥，解题方法得以固化. 通过追问“求边AB的长”，巩固例题教学形成的成果，同时也充分展示学生的不同想法，在通法(基底法)和巧法(化斜为直)中达到平衡.

2.3 变式练习

师：已知三角形的2条边和它们的夹角，借助向量可以求出第3条边和其他的2个角.

再看下面的问题(PPT展示变式1)：

师(点评后)：这3个数量积在等边三角形中是相等的.现在提这么一个问题：假如这3个数量积都相等，这个三角形是不是等边三角形呢？

PPT投影变式2：

(学生们安静思考.)

生6：考虑到向量数量积的几何意义与投影有关.作BT⊥AC，垂足为T，则

从而

(师板书并对该学生的说的式子用数量积进行解释).

师：用向量投影概念进行快速处理，太棒了！

(学生自发鼓掌，其他学生对变式2的回答此处从略.)

师：将变式2中的问题反过来，看下面的问题.

PPT展示变式3：

(教师板书并画图说明点P是△ABC的垂心，即3条高线的交点.)

师：三角形除了垂心，还有重心(3条中线的交点)、外心(3条中垂线的交点)、内心(3个内角平分线的交点)，它们都与向量有相应的关系.请感兴趣的同学课后研究.下面我们看2道练习题.

2.4 感受高考

A.|b|=1 B.a⊥b

(2015年安徽省数学高考理科试题第8题)

(2015年福建省数学高考理科试题第9题)

(学生解答及教师评讲过程从略.)

评注 “如何保证课堂教学的后半段，学生也能思维活跃、不知疲倦地积极参与”是不少一线教师困惑的问题.注意到偶老师设计的例1特殊化就是变式1，通过调换变式1中的条件和结论得到变式2，变式3是变式2的一个反问题，这是一串紧密联系的问题组合,吸引学生不断深入下去，使学生的思考更加深入. 2道练习题是当年的高考题，对学生来说颇具新鲜感，有想试一试、挑战一下的冲动. 精心选择的问题加上教师充满激情的讲解与引导，使得学生在本节课的后半段也一直处在智力振奋的状态.

2.5 回顾总结

(此处从略.)

3 课后的访谈

课后笔者对部分学生进行简单访谈，并参与了偶老师对这节课的座谈会.

3.1 学生访谈

课后笔者随机对上课的学生进行访谈.

笔者：你对这节课的总体感受如何？

生1：感觉时间过得特别快，很开心.

生2：后面的问题很“烧脑子”，有意思.

笔者：你对老师的总体感受如何？

生3：老师上课很有趣，听他的课很愉快.

生4：这位老师上课我肯定不会睡觉的，他的课很有意思.

3.2 偶老师谈本节课课题的确定

偶老师在课后的交流中谈到：“一开始接到的课题是‘平面向量数量积的应用’，题很大，可以围绕向量的数量积、求模、求夹角这3个方面铺得很开，但容易散，难以深入.因此我选择了‘平面向量数量积在三角形中的应用’，这个课题切口小，好深入. ”

4 几点思考

4.1 注意留白的艺术

“留白”起源于绘画艺术，在作品中留有空白，可以增加艺术美感和想象空间.在本节课中，偶老师为学生留足了思考的时间，学生有思考的余地.如变式问题提出后，总能出现学生安静思考的状态.有的问题(如变式3之后偶老师提到重心、外心、内心都与向量有相应的关系.请感兴趣的同学课后研究)，不讲完，留一点，留给学生思考的空间，这个思考的时空可以是课上，也可以是课下.偶老师恰当使用“留白”的艺术，延展了课堂时空，增强了课堂实效.

4.2 善用变式教学

变式教学是指教师有目的、有计划地对命题进行合理地转化.教师通过不断变更问题中的非本质特征、变换问题中的条件或结论、转换问题的内容和形式等，但应保留问题中的本质因素，从而使学生掌握数学问题的本质属性.当下市场上的复习资料，大多会在例题后面给出一道或几道所谓的“变式”，但实际上多是同类问题的累加，并非真正的变式，甚至和例题只是形似，并无本质关系.

4.3 善于营造积极心理场

美国心理学家、拓扑心理学的创始人勒温认为：人就是一个场，人的心理现象具有空间的属性，人的心理活动也是在一种心理场或生活空间中发生的.也就是说，人的行为是由场决定的.心理场主要是由个体需要和他的心理环境相互作用的关系所构成[2].

本节课是借班上课，上课地点是学校的阶梯教室，后面还有不少听课教师.这种情况下，师生难免都会有些紧张.上课的一开始，偶老师通过 “拉家常”的一问群答式，营造轻松愉快的课堂氛围，后续其间有个别回答，有教师真诚的鼓励，也有委婉的批评和激将，又有学生对学生由衷的赞叹，还有教师的自我批评等等.这些都构成了师生积极愉快的心理场, 就像访谈时几位学生所说“时间过得快，很开心”“有趣、愉快、有意思”. 学生在这样的课堂环境中，思维更容易被激活, 参与更有深度，课堂效果更好.

4.4 注意“过渡”的设计，打造自然的课

一节课除了设计出各个教学环节，还要注意各个环节之间的“过渡”的设计，就像主持节目，要“串好词，连成线，构成一个整体”. 偶老师指出：“向量数量积可以研究模，可以研究夹角.当然，它还可以研究其他的内容.今天的这堂课，我们用向量的数量积研究与三角形有关的问题.”由此自然引入例题，实现了从数量积知识的回顾到例题讲评的过渡.例题评讲中的追问也是自然产生，例题和变式之间以及后面的反馈练习，环环相扣，层层递进，不同环节的转换都有好的“过渡语”. 各个环节之间“过渡”自然，使本节课成为有机整体，这也应是高效课堂的成因之一.

4.5 敢于放手源于学科功底深厚

经常有专家在评课中提到，要敢于放手，潜台词是教师放手还不够.是什么原因使得教师不敢放手呢？在笔者和其他教师的交流中发现：很多教师不是不知道放手的好处，而是缺少放手的底气，放开了，还能引导好学生吗？能解决课堂上学生提出的问题吗？能收得了场吗？

本节课偶老师基于学生，敢于放手.课堂上的不少问题是由学生自己提出来的，如“在例1的条件下，提出求∠B”等.大胆放手，自然有利于培养学生思维的灵活性和创造性.《孟子·尽心下》中说:“贤者以其昭昭，使人昭昭. ”我们无法交给别人自己没有的东西，同样地也无法教会别人自己不会的东西. 偶老师敢于放手，正是源于他深厚的学科功底，及由此产生的高度教学自信(包括偶老师对课题作了一定的修改)，可谓是艺高人胆大. 章建跃博士认为：教学设计能力是教师专业水平和教学能力的关键，其本质是理解数学、理解学生、理解教学的水平和能力[3]. 可见要提高课堂实效，教师必须苦练“内功”，不断提高自身对数学学科、所教学生、教学艺术的理解水平.

5 结语

偶老师的这一节课基于数学的深刻理解和学情的精准把握，充分地展现了精湛的教学艺术.特级教师的特别之处在哪里？笔者认为在于教师对数学学科特别深刻的理解，是学科知识的行家里手；在于对学生的理解与尊重，在此基础上形成良好的教学方法和教学艺术，组织学生切实地做好了“数学地交流和互动”，并形成了自己的独特风格.

[1] 波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技出版社，2007.

[2] 仝建. 高立意低实效之追因[J].中小学数学：高中版，2016(6)：26-28.

[3] 章建跃.在“落实立德树人根本任务全面深化课程教学改革”中再立新功[J].中国数学教育：高中版，2015(1/2)：3-5.

��2016-11-03；

2016-12-06

仝 建(1980-)，男，安徽灵璧人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-09-04