基于均值-CVaR的闭环供应链协调机制

陈宇科，熊 龙，董景荣

(重庆师范大学经济与管理学院，重庆 401331)

基于均值-CVaR的闭环供应链协调机制

陈宇科，熊 龙，董景荣

(重庆师范大学经济与管理学院，重庆 401331)

本文研究了在随机需求条件下，由风险规避的零售商、风险中性的制造商和风险中性的回收商组成的三级闭环供应链，构建了均值-CVaR度量零售商风险特性的数理模型，分析了闭环供应链成员在分散决策和联合决策时的最优决策，证明了均值-CVaR比CVaR度量准则更能提高零售商的订货量和利润。研究表明，在均值-CVaR度量准则下，收益共享-成本共担契约能够协调有风险规避决策者的闭环供应链，而且还能提高废旧品的回收量。最后通过数值模拟，分析了λ和η对闭环供应链决策者利润和系统利润的影响。

闭环供应链；收益共享-成本共担契约；均值-CVaR；风险规避；随机需求

1 引言

闭环供应链能够实现生产资料的循环利用，产生巨大的经济效益[1]。但是传统闭环供应链的决策主体是各个分散的节点企业，通常认为这些企业是风险中性者，其生产决策是为了实现自身利益最大化或者成本最小化。一些学者开始研究：当决策者为风险中性时，闭环供应链的定价与协调机制设计，以提高闭环供应链的整体效益[2-8]。但是，在现实的闭环供应链管理中，企业面临着需求、劳动供给等多种不确定性风险。这些风险使决策者对一些商品(特别是高利润商品)表现出较强的风险厌恶行为[9]。因此，假设决策者为风险中性并不适合闭环供应链管理的现实情况，决策者的风险偏好对决策行为会产生较大影响，需要将决策者的风险规避特征引入闭环供应链的协调机制进行研究。

对于选择怎样的风险度量方法来有效的度量决策者的风险规避特征，一些学者已进行了广泛研究：孙浩等[10]运用均值-方差方法度量了零售商的效用函数，并建立了闭环供应链网络均衡模型。史成东等研究了在Loss-averse和Downside-Risk度量准则下，闭环供应链中协调契约的设计以及各类参与者的最优决策[11-12]。但是上述传统的风险规避度量方法不能很好的度量决策者的风险特性，特别是均值-VaR方法对称的处理了收益与损失，并不适合于小概率事件。因此，Rockafller和Uryasev[13]提出了条件风险值(CVaR)用于度量风险程度。CVaR模型在一定程度上克服了VaR模型的缺点，是一致性风险度量模型，具有次可加性。郭飞等[14-18]均采用CVaR准则，研究了风险偏好对供应商或零售商决策行为的影响，以及相应的供应链协调契约机制设计。

然而，CVaR准则的不足在于，仅度量了低于分位数收益的平均值，忽略了收益高于分位数的部分，这使得决策者的决策目标比较偏低，利润预期也有所下降[20-21]。为了改进CVaR准则的缺陷，慕永国等[21]采用均值-CVaR方法，构建了批发价格契约和二次订购契约最优订购量模型，研究了不确定需求及风险厌恶假设下，不同价格契约模式对供应链收益的影响，以及极端风险事件对收益的影响。Xu Minghui和Li Jianbin[22]采用“均值-CVaR”模型，研究了存在缺货成本时，供应链报童模型的最优决策。Gao Fei等[23]运用“均值-CVaR”模型，研究了季节产品的库存风险对冲问题，讨论了套期保值策略能提高订货量，发现该方法可以提高期望利润和下行风险利润。上述文献都是运用“均值-CVaR”模型对传统供应链协调机制的研究，缺少基于“均值-CVaR”的闭环供应链体系的协调机制研究。

因此，本文采用“均值-CVaR”方法来度量风险规避的零售商，建立在随机需求下闭环供应链协调决策模型，研究闭环供应链决策者在分散决策和联合决策时的最优决策；探讨了风险规避决策者在“均值-CVaR”与CVaR度量下最优订货量和利润问题。与文献[12]的结论相反，本文的研究证明：收益共享-成本共担契约能协调“均值-CVaR”测度的闭环供应链。

2 问题描述与假设

假设由一个制造商、一个零售商和一个第三方回收商组成的三级闭环供应链系统，零售商为风险规避者，制造商和回收商为风险中性者。在该闭环供应链系统中，制造商负责生产单周期短寿命产品，用cm表示生产新产品的单位制造成本，cr为单位再造成本。假设cm>cr且新产品和再造产品的质量和性能等方面没有差别，两者可以在同一市场上以相同的价格销售，然后制造商以单位产品批发价格w批发给零售商，零售商向制造商订货q单位产品，并以单位零售价格p出售给消费者，p3r为第三方回收商从消费者手中回收废旧品的单位回收价格，pm为制造商向第三方回收商的单位废旧品回收价格，且满足p3r≤pm≤Δ,Δ=cm-cr。本文作如下假设：

(1)零售商面对随机的市场需求X，X是非负、连续的随机变量，X∈[A,B]，(0≤A

(2)假设废旧品回收量是回收价格的线性函数，与市场需求无关，且R=a+bp3r，其中a>0,b>0，a表示消费者的环保意识，b表示消费者对废旧品回收价格p3r的敏感程度[14]。

(3)假设零售季节末剩余产品的残值或处理成本为0，缺货成本为0，第三方回收商的交通运输成本和人工成本也为0。

(4)假设闭环供应链上的各企业都是理性的，即以自身利润最大，条件风险值最小的原则进行决策，且信息是完全的。

根据上面的假设，可以得出在随机需求下，零售商的利润函数∏R(q)为：

ΠR(q)=(p-w)q-p(q-x)+

(1)

制造商的利润函数∏M(w,pm)为：

∏M(w,pm)=(w-cm)q+(Δ-pm)R

(2)

第三方回收商的利润函数∏3r(p3r)为：

∏3r(p3r)=(pm-p3r)R

(3)

其中：(q-x)+=max{(q-x),0}

3 基于均值-CVaR的闭环供应链分散决策模型

3.1 CVaR的定义

CVaR由Rockafller和Uryasev[13]提出并证明条件风险值(CVaR)可用于度量风险程度。

由于CVaR度量了低于分位数η的平均值，主要考虑低于分位数的平均收益，并且CVaR模型是一个一致性风险度量模型，具有次可加性。因此，CVaR模型在一定程度上克服了VaR模型的缺点，成为供应链风险决策问题中的常用工具。通常假设CVaR的一般化定义公式：

(4)

其中，v表示随机变量的η分位数，E表示决策变量的期望值，且η∈(0,1]表示决策者的风险厌恶度(η越小，表示决策者越害怕风险)。Π(q,p3r)表示确定性变量q和随机变量X下的收益函数。

2.2 均值-CVaR的定义

CVaR的局限在于当决策者用CVaR度量时，模型中只度量了低于η分位数的收益的平均值，忽略了收益高于分位数的部分，这使决策者的决策目标过于保守。因为当η很小时，CVaR准则度量了决策者的风险规避度，却忽略了很大一部分收益；当η很大时，CVaR准则度量了大部分收益，却没有真正反映出决策者的风险规避度。为了克服CVaR的不足，本文用均值-CVaR来度量风险规避的决策者，它是期望利润和CVaR的凸组合，从而最大化风险规避决策者的期望利润，并最小化下行风险利润。均值-CVaR的度量公式如下：

Gη[Π(q,p3r)]=λE[Π(q,p3r)]+(1-λ)CVaRη[Π(q,p3r)]

(5)

其中：CVaRη[Π(q,p3r)]为CVaR风险度量准则下的利润；E[Π(q,p3r)]为决策者风险中性的期望利润；Gη[Π(q,p3r)]为均值-CVaR的目标函数。λ是两者权衡比重，λ∈[0,1]。当λ=0时，决策者是高度风险厌恶者，表示决策者的唯一标准是CVaR度量的下行利润，不考虑预期利润。当0<λ<1时，决策者目标函数是期望利润和CVaR的凸组合，表示了决策者同时考虑了预期利润和CVaR。当λ=1时，决策者为风险中性，决策者只考虑期望利润。

3.3 闭环供应链系统分散决策模型

3.3.1 基于CVaR的闭环供应链零售商的最优决策

根据CVaR的定义，并将式(1)代入式(4)中，零售商以最小化下行风险利润为目标，由文献[13]的方法可以解出，零售商基于CVaR准则的最优订货量如下。

(6)

从而基于CVaR准则的零售商的期望利润为：

(7)

3.3.2 基于均值-CVaR的闭环供应链零售商的最优决策

根据均值-CVaR的定义，将式(1)代入式(5)中，可得到零售商的目标函数为：

Gη[Π(q)]=λE[Π(q)]+(1-λ)CVaRη[Π(q)]

(8)

对于风险规避的零售商，最大化目标函数可得到定理1。

定理1 分散决策下，零售商的最优订货量q*为：

(9)

证明见附件1。

推论1 当分布函数F(g)为连续、可微的单增函数时，

(1)对于任何固定的η∈(0,1)时，最优订货量q*是权衡比重λ的严格增函数。表明了零售商的期望利润权重越大，下行风险利润权重越小，最优订货量越多；特别地，当λ→1时，零售商的最优订货量q*近似等于风险中性的最优订货量，当λ→0时，零售商的最优订货量q*近似等于CVaR度量时的最优订货量qi。

(2)对于任何固定的λ∈(0,1)时，当0<η≤F(q*)时，最优订货量q*与风险规避度η无关，当F(q*)<η<1时，最优订货量q*是风险规避度η的严格增函数。特别的，当η→1时， 表明零售商的偏好接近于风险中性，所以最优订货量近似等于风险中性时的最优订货量。

此时，风险规避零售商的目标利润为：

E2(ΠR(q*))=(p-w*)q*-

(10)

定理2q1

证明：对任意的η∈(0,1]λ∈(0,1]，因为仅当q*

定理2表明了对任意的η∈(0,1]λ∈(0,1]，风险规避的零售商在均值-CVaR准则下比CVaR准则下的订货量更多，期望利润也更大。说明了权衡比重λ能使风险规避的零售商加大订货量，并增加了他的利润。

3.3.3 第三方回收商、制造商的最优决策

将R=a+bp3r代入式(3)中，可得到第三方回收商的利润函数为：

Π3r(p3r)=(pm-p3r)(a+bp3r)

(11)

式(11)对p3r求一阶导数，可得到：

(12)

R*=(a+bpm)/2

(13)

将式(13)代入式(2)中，可以得到制造商的利润函数为：

(14)

式(14)对pm求一阶导数，可得出：

(15)

将式(15)代入式(12)中，可以得出最终回收价格是：

(16)

式(14)对w求一阶导数，可得到制造商的最优批发价格w*为：

(17)

D=(λp-w)/λp

此时，第三方回收商的利润函数是：

(18)

制造商的利润函数为：

(19)

推论2 (1)当0<η≤F(q*)时，最优批发价格w*是权衡比重λ的增函数，表明了零售商厌恶风险时，零售商的期望利润权重越大，下行风险利润权重越小，最优批发价格越高；当F(q*)<η<1时，最优批发价格w*是权衡比重λ的减函数。

(2)对于任何固定的λ∈(0,1)时，当0<η≤F(q*)时，最优批发价格w*与风险规避度η无关，当F(q*)<η<1时，最优批发价格w*是风险规避度η的减函数。

(3)第三方回收商的利润是回收价格敏感系数b的增函数，说明了回收商对回收价格越敏感，回收商的利润就越大。

证明：当0<η≤F(q*)时，由式(17)对λ求一阶偏导数，得到：∂w*/∂λ=pqf(D)>0，所以最优批发价格w*是权衡比重λ的增函数；当F(q*)<η<1时，由式(17)对λ求一阶偏导数，得到：∂w*/∂λ=pqf(C)(η-1)/η<0，所以最优批发价格w*是权衡比重λ的减函数，推论2的(1)得证。

当F(q*)<η<1时，由式(17)对η求一阶偏导数，得到：∂w*/∂λ=pqf(C)(1-λ)/η2<0，所以最优批发价格w*是风险规避度η的减函数，推论2的(2)得证。

整个闭环供应链的利润为：

(20)

4 闭环供应链系统联合决策模型

当零售商是风险中性时，闭环供应链联合决策时的期望利润为：

E(Π(q,p3r))=(p-cm)q+(Δ-p3r)R

(21)

q**=F-1((p-cm)/p)

(22)

(23)

得出联合决策时的闭环供应链的利润为：

(24)

证明：结合式(9)和式(17)，当q

当q≥F-1(η)时，λp-w<λp-cm。由于0≤λ≤1且F(g)为增函数，故q*

定理3说明：基于均值-CVaR的闭环供应链分散决策时，闭环供应链的最优订购量、最优回收价格和整体利润均小于联合决策时的水平，闭环供应链系统并没有实现帕累托最优。因此，需要制定一个契约来激励闭环供应链上决策者积极协调各自的决策，激励零售商提高订货量，激励第三方回收商提高回收价格，增大废旧品的回收量，最终提高各参与方的利润，以及闭环供应链系统的整体利润。

5 均值-CVaR度量下闭环供应链的收益共享-成本共担契约

均值-CVaR度量下闭环供应链的收益共享—成本共担契约的协调过程：

(1)制造商M向零售商R提供收益共享契约(w***,φ1)，φ1∈(0,1)，以此来激励风险规避的零售商提高产品的订货量。

(2)零售商R保留其销售收入的φ1，剩下的收入返还给制造商M，此时零售商R根据自身利润最大化来确定最优订货量。

收益共享—成本共担契约下，零售商、制造商、回收商和闭环供应链的利润分别为：

(25)

(26)

Π3r(p3r)=(pm-φ2p3r)R

(27)

Π***=E(ΠR(q))+ΠM(w,pm)+Π3r(p3r)

采用逆向推导法，首先用成本共担契约协调制造商和第三方回收商(保证逆向供应链协调)，然后再用收益共享契约协调零售商和制造商，最后达到闭环供应链协调。

=φ2(bΔ+a)2/4b

(28)

结论2 风险规避零售商和制造商实行收益共享契约(w***,φ1)时，可以得到批发价格为：

w***=

(29)

此时，零售商的目标利润为：

(30)

制造商的利润是：

(31)

证明：在收益共享契约下，同定理1的证明相同，可以容易证明零售商在均值-CVaR度量方法下的最优订货量为：

q***=

满足结论1和2要求后，要使闭环供应链能够完美协调，必须要使：

E(ΠR(q***))≥E2(ΠR(q*))

(32)

因此，收益共享-成本共担契约协调时的闭环供应链协调利润为：

(33)

定理4研究表明：在收益共享—成本共担契约下，制造商制定较低的批发价格，可以有效激励风险规避的零售商提高产品订货量，而零售商和制造商共享产品收益，制造商给予第三方回收商更高的转移价格，而且还分担回收商一部分成本，可以激励第三方回收商回收更多的废旧产品，这样不但提高了制造商、零售商和第三方回收商的利润，也提高了废旧品的回收量，有利于环保。同时，相对于分散决策，风险规避的零售商不但提高了订货量，也提高了闭环供应链节点企业利润，使闭环供应链系统利润达到了联合决策时的利润。既实现了闭环供应链完美协调，又保护了环境。

6 数值分析

本节将采用Matlab软件，分析权衡比重λ和风险规避度η对闭环供应链最优决策、节点企业利润和闭环供应链系统利润的影响。

假设有关产品的市场需求服从[200，2000]的均匀分布，其它闭环供应链参数为[22]：

p=15,cm=7,cr=2,a=100,b=100

6.1 基于CVaR和均值-CVaR的风险规避零售商的订货量和利润函数分析

假设零售商风险规避度η∈(0,1]，权衡比重λ∈(0,1]，则两种准则下λ和η对风险规避零售商订货量和利润的影响如下图1和图2。

图1 两种准则下λ 和η对订货量的影响

图2 两种准则下λ 和η对风险规避零售商利润的影响

q1是分散决策时CVaR准则下零售商的最优订货量，q*是分散决策时均值-CVaR准则下零售商的最优订货量；ΠR(q*)是在均值-CVaR准则下零售商的最优利润，ΠR(q1)是CVaR度量时零售商的最优利润。从图1和图2可以看出在均值-CVaR准则下，最优订货量和风险规避零售商的最优利润是权衡比重λ和风险规避度η的增函数，且大于CVaR准则下的最优订货量和最优利润。定理2得证。这说明，在分散决策时，风险规避零售商采用均值-CVaR准则，使他能够用风险中性时的期望利润作为权衡参考，可以提高他的的订货量和最优利润。

6.2 权衡比重λ和风险规避度η对闭环供应链最优决策及利润的影响

从图3可知，在分散决策时，若权衡比重λ恒定，最优订货量q*是风险规避度的增函数，若风险规避度η恒定，最优订货量q*也是权衡比重的增函数，验证了推论1。这说明，如果零售商接近风险中性，且重视其期望利润，则零售商的订货量会处于较高水平；如果零售商厌恶风险，且重视其CVaR利润，则零售商的订货量会比较小；但是如果零售商厌恶风险，却看重其期望利润，则零售商的订货量也可能提升到较高水平。并且从图3可知，最优订货量q*随着风险规避度和权衡比重而增加，达到一定数值后保持常数。这也和现实想符合，说明订货量不可能无限增大。

图3 分散决策时，λ和η对最优订货量q*的影响

图4 分散决策时，λ和η对零售商目标利润E2(ΠR(q*))的影响

从图4可知，分散决策下，若权衡比重λ恒定，零售商目标利润E2(ΠR(q*))是风险规避度的增函数，若风险规避度η恒定，零售商目标利润E2(ΠR(q*))也是权衡比重的增函数，而且零售商目标利润E2(ΠR(q*))在风险规避度和权衡比重共同作用下先增加后保持为常数。这说明，如果零售商接近风险中性，且重视其期望利润，则零售商的最优利润会处在较高水平；如果零售商厌恶风险，且重视其CVaR利润，则零售商的最优利润会处于较低水平，但是如果零售商厌恶风险，却看重其期望利润，则零售商的最优利润也可以提升到较高水平。从图4还看出，当权衡比重和风险规避度很小时，零售商的目标利润是负数，说明了零售商越害怕风险，并且下行风险利润占的比重很大时，对零售商是很不利的。

图5 分散决策时，λ和η对制造商利润的影响

6.3 权衡比重λ和风险规避度η对闭环供应链系统利润的影响

Π*是分散决策时闭环供应链系统利润，Π**是联合决策时闭环供应链系统利润，由图6可以看出，在分散决策时，闭环供应链系统利润都是风险规避度η和权衡比重λ的增函数，而且无论λ和η怎样变化，都有Π**>Π*，即联合决策时闭环供应链系统利润总是大于分散决策时闭环供应链系统利润，验证了定理3的结论。

图6 λ和η对闭环供应链系统的影响

下面来分析λ和η对收益共享系数φ1和成本分担系数φ2的影响。假设η=0.3,0.5,0.7,0.9;λ=0.2,0.4,0.6,0.8，可以得到下表1。

从表1可以得出，在风险规避度η和权衡比重λ共同作用下，可以得到收益共享系数φ1和成本分担系数φ2的取值范围，但φ1和φ2的具体取值，这由两者的谈判能力所决定。表1验证了定理4。

表1 λ和η对φ1和φ2的影响

7 结语

本研究建立了随机需求下基于均值-CVaR第三方回收的闭环供应链决策模型。运用均值-CVaR度量准则构建了风险规避零售商的目标函数，分析了均值-CVaR度量下的闭环供应链上决策者的最优决策，并用收益共享-成本共担契约协调该背景下的闭环供应链。主要研究结论有：

(1)在均值-CVaR度量准则下，风险规避零售商的订货量是风险规避度η和权衡比重λ的增函数，目标利润也是风险规避度η和权衡比重λ的增函数；和CVaR度量准则相比，均值-CVaR准则下零售商的订货量和利润都得到了提高，表明了均值-CVaR准则度量风险时即考虑了决策者的风险利润，又考虑了决策者的期望利润，提高了决策者的精确度和利润。

(2)和联合决策相比，分散决策下风险规避零售商的订货量和回收商回收价格都会减少，从而导致需求、废旧产品回收量和闭环供应链利润都减少，无法实现帕累托最优。

(3)收益共享-成本共担契约不但使均值-CVaR度量的随机需求下的闭环供应链协调，还提高了废旧品的回收量，实现了企业和社会双赢。

(4)通过数值模拟得出：制造商的利润函数随风险规避度η和权衡比重λ的增加都是先减小后增加最后保持不变；闭环供应链系统利润都是风险规避度η和权衡比重λ的增函数，说明了零售商越偏好风险或者期望利润权重越大，闭环供应链系统利润就越高。

和其他模型一样，本文是建立在一些假设条件之上，对这些假设条件拓展可能是闭环供应链更深入的研究。例如，关于闭环供应链回收商废旧品回收方面，本文仅考虑了确定性的废旧品供给，若考虑废旧品随机供给，这使研究更接近于现实生活，同时会让本文问题复杂化，不过这可以作为进一步研究方向。在考虑新产品与再制造产品无差异背景时，因为本文即考虑了风险规避度，又考虑期望利润和风险利润的组合，涉及参数较多，所以本文仅考虑了成本假设中的某一种情况，成本的组合可以作为未来的进一步研究方向。

附件1

定理1的证明：

根据CVaR的更一般化的定义，得到了风险规避零售商的决策函数为：

(34)

将零售商的利润函数式(1)代入式(34)中，得到：

(35)

对任意确定的p,q，证明：

(2)当pA-wq

上式对v求一阶导数，得到：

又因为：

(3)当v>(p-w)q时，

上式对v求一阶导数，得：

所以CVaRη[Π(q,v)]为v的凹函数，因此，v*(q)∈[pA-wq,(p-w)q]。

当q

当q≥F-1(η)时，v*(q)=pF-1(η)-wq，则

将上式代入式(5)中，并对q求一阶导数，得到：

综上所得：

定理1得证。

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Closed-Loop Supply Chain Coordination MechanismBased on Mean-CVaR

CHEN Yu-ke, XIONG Long, DONG Jing-rong

(School of Economics and Management, Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)

In the paper, a three-stage close-loop supply chain system including a risk-aversion retailer, a risk-neutral manufacturer and a risk-neutral recycler is studied. A mean-CVaR close-loop supply chain model is established with mathematical methods. It analyzes the optimal decision of the close-loop supply chain members in decentralized decision-making situation and joint decision-making situation respectively. It is paper proved that the mean-CVaR criterion can help to improve order quantity and profits. It is indicated that profit sharing-cost sharing contract can not only coordinate close-loop supply chain members, but also can improve the recycling quantity of worn-out products. Moreover, howλandηinfluencetheclose-loopsupplychaindecisionmaker’sprofitandtheprofitofthewholesystemisanalyzed.

close-loop supply chain; revenue sharing and cost sharing contract; mean-CVaR; risk-aversion; random demand

1003-207(2017)02-0068-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.02.008

2015-12-06；

2016-02-21

国家社科基金重点项目(14AJL015)；国家自然科学基金(71471122，51308575)；教育部人文社科基金(13YJC630252)

陈宇科(1978-)，男(汉族)，四川泸州人，重庆师范大学经济与管理学院，博士，副教授，研究方向：供应链风险管理、技术创新管理、产业组织理论，E-mail:.cqchenyk@126.com.

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