对态重叠原理和不确定关系的理解和认识

吕 凯，汪徐德，章志敏

(淮北师范大学，安徽 淮北 235000)

对态重叠原理和不确定关系的理解和认识

吕 凯，汪徐德，章志敏

(淮北师范大学，安徽 淮北 235000)

在量子力学的发展过程中，人们关于其中若干基本概念的理解经常存在着一些难以解释的困惑，导致对这门学科整体产生了误解，因此对于量子力学的基本概念进行正确的剖析就显得十分重要。另外，量子力学起源于西方，其中的基本概念都是用英语给出的，要想透彻理解这些基本概念，对于英文翻译的把握也显得十分重要。文中详细介绍量子力学中的两个基本概念：态重叠原理和不确定关系，并对它们的译法给出说明。

态重叠原理；不确定关系；量子力学

0 引言

量子力学的研究对象是远离我们日常生活经验的微观现象，量子力学对微观现象的描述与经典物理学所描述的宏观物体完全不同，这就使得人们更加难以掌握这种学问的“物理意义”，从而引发了人们极大的困惑和争论。纵观量子力学的发展历史，以爱因斯坦为首的一批科学家和以玻尔为首的哥本哈根学派，在对量子力学的基本概念的诠释问题上进行了很多次无比激烈的争论，最终哥本哈根学派胜出。

随着理论和实验的不断发展，量子力学的理论体系已逐渐完善，哥本哈根学派的科学家们对量子力学中基本概念的解释也已经被很多人所接受。当然，爱因斯坦和哥本哈根学派的大论战，在量子力学的整个发展过程中也是不可或缺的，因为它在某种程度上将这些难懂的基本概念直观地呈现在人们面前。

本文主要对量子力学中的态重叠原理、不确定关系作一些比较详细的论述，同时对这些概念的英文翻译作出说明，希望能够帮助初学量子力学的学生减少一点误解，更好地理解量子力学中的基本概念。

1 态重叠原理

态重叠原理是“the principle of superposition”的译名，它通常被译作态叠加原理。在经典著作狄拉克的《量子力学原理》一书中，态重叠原理出现在第一章，可以说是狄拉克奠定整个量子理论体系的根本前提，所有的量子理论的其它内容都必须服从于这一假设。

1.1 量子态的定义

在认识重叠原理之前，需要明确什么是量子态。狄拉克曾强调：要对物体进行观测，就必须让被观测物体与外界相互作用，观测行为必然会伴随对观测物体的干扰。狄拉克因此引入极限干扰假说：即假设科学实验中的观测精细程度有极限，观测过程伴随的对被观测物体的干扰的减少也有极限，这个限度是事物本性，实验技术的改进与观测者技能的提升都无法超越这个极限(极限干扰的最小值就是普朗克常数)。一个物体在被观测过程中，极限干扰可以忽略，就是大的，可用经典力学；如果极限干扰不能忽略，就是小的[1]。狄拉克将这种小的物体组成的系统称为量子系统，将小的物体的运动称为量子态。明确什么是量子态对于理解重叠原理会起很大的帮助作用。

1.2 重叠原理的定义以及译法的说明

狄拉克在其著作《量子力学原理》中将“the principle of superposition”定义为任何量子态都是其他的两个或者多个量子态重叠后产生的结果，也就是说任何两个或者多个量子态叠加起来的结果是一个新的量子态。有学者认为，重叠原理可以理解为不存在只有一个量子态的量子系统，李俊[2]认为“the principle of superposition”译为“重叠原理”也许更加合适，笔者对此也很赞成。“superposition”的英文解释为重叠、重合、叠合，若译成叠加(叠合)，即态叠加(叠合)原理，虽然能够准确表达线性叠加这个量子力学的根本的数学特征，但在物理内容的理解上容易造成是“人为相加”的[3]、人为堆叠起来的误解。以洗照片为例，当两个底片放在一起洗照片，两个底片最终都印在了洗出来的照片上，有点符合叠加的意思，但是我们会发现，这种状态是我们人为干涉的，然而重叠原理指的量子态本身就是别的态的重叠，不是人为加在一起的，它是量子态的存在方式。在理解重叠原理时，需要换个角度思考，原来在人们眼中很纯的态都是别的态的重叠，这是大自然的存在方式，是大自然的法则。

1.3 重叠原理的数学形式

描述量子态就是在表述重叠原理。量子态的重叠过程是一种相加过程，也就是意味着多个量子态可以用某种形式组合起来，从而得到新的量子态[1]。因此，量子态之间必须用具有可相加性的数学量联系起来。矢量的相加能够得出另一个矢量，这和量子态有很自然的对应关系。狄拉克用右矢量|ket>来表示力学系统中与之相应的一个态。狄拉克先定义了矢量的线性相关性：在复数线性矢量空间中，右矢量|A>与右矢量|B>可以任意线性叠加：c1|A>+c2|B>=|C>得到一个新的右矢量|C>，其中c1、c2为复数。一个右矢量可以被别的右矢量线性展开，这些右矢量叫做线性相关的，如果一组右矢量互相之间都不可以线性展开，则这一组右矢量就叫做线性独立的[1]。把狄拉克右矢量|A>中的代号A的意思明确下来，或者把这个矢量与量子态A联系起来，必须遵照量子态的重叠原理。狄拉克将矢量与量子态重叠原理进行对应，由此定义了矢量与态的对应关系。如果一个态由某些别的态叠加而成，则其对应的矢量可由那些态所对应的矢量线性表示，反之亦然。

2 不确定关系

对于不确定性的讨论，最早起源于哲学。量子理论出现之前，物理学家们认为物理现象都是具有确定性的，他们在努力追求这种确定性的过程中，却惊奇地发现了不确定性。

2.1 不相容可观测量

在介绍不确定关系(uncertainty relation)前，有必要向大家说明不相容可观测量。狄拉克在《量子力学原理》中曾指出：当我们作一次观察时，就是在测量某个动力学量，从物理上看来，这种测量的结果必须总是实数，所以我们应该期望，我们能测量的任意动力学量总必须是实数[1]。在量子力学中，如果用线性算子对应于动力学变量(例如粒子的坐标)，若一个线性算子与它的厄米共轭算子相等，那么它对应的动力学变量是实的(严格地说就是算子的本征值为实数)，称其为实算子，也就是现代量子力学中所说的厄米算子。“小”物体组成的系统即量子系统每次的测量值肯定是厄米算子的本征值，相应的本征矢量所对应的量子态就是每次测量时以及测量以后量子系统的状态-本征态。该厄米算子所对应的动力学量叫做量子力学的“可观测量”。量子力学中像坐标和动量、时间和能量等这样不满足乘法可交换的一些动力学量就是不相容的可观测量。一般来说，当两个可观测量不满足乘法交换律(不相互对易)时，两次观察就会相互干涉，也就是说是不相容的，这时候我们就必须引入不确定关系。

2.2 对不确定关系的理解和译法说明

有些教材当中将“uncertainty relation”译为测不准原理，本文认为此种译法是不可取的，译为不确定关系显得更加贴切。首先必须给予说明，量子力学是经过最精确测量检验的最成功的理论，量子力学中只存在不确定关系，没有测不准原理，因为不确定关系不是量子力学的假设，反而它是可以被严格证明的[1,4,5]。1927年，海森堡提出了不确定关系。海森堡最初解释他的不确定关系为测量动作的后果：准确地测量粒子的位置会搅动其动量，反之亦然。设想用一个γ显微镜来观察一个电子的位置，因为λ射线显微镜的分辨本领受到波长λ的限制，所用光的波长λ越短，显微镜的分辨率就越高，从而测定电子位置不确定的程度Δx也就越小，所以Δx∝1/λ。但另一方面，光照射到电子，可以看成是光量子和电子的碰撞，波长越短，光量子的动量p就越大，对电子速度的扰动就越大，所以Δp∝λ。

由此可见，海森堡对不确定性关系的表述可以理解为：测量动作不可避免地搅动粒子的运动状态，因此产生不确定关系。随后，学者们逐渐发现，测量造成的搅扰只是其中一部分解释，不确定性存在于粒子本身，是粒子的内秉性质，在测量动作之前就已存在。这种不确定性之所以根植于量子系统，是由粒子的波粒二象性导致的，是量子系统的基本性质。而海森堡的表述则可以归为一种观察者效应，它没有揭露出不确定性的本质。也许国内的一些量子力学教材受到了海森堡表述的影响，而将“uncertainty relation”翻译为测不准原理。不确定关系是量子系统的基本性质，它有严格的数学证明，和实验的观测能力是没有关系的。我们认为，为了避免给初学者带来误解和困扰，不应当将“uncertainty relation”翻译为测不准原理，而应规范地翻译为不确定关系。

3 结论

量子力学的建立是20世纪开天辟地的大事件，是一场伟大的科学革命，开启了物理学史的新纪元。在量子力学基础上兴起了量子电动力学、量子场论等新的学科[6]，也产生了半导体、量子通信等新的技术。量子力学不仅是自然科学的基础理论之一，也是整个现代科学技术的基础理论之一。然而量子现象不同于宏观现象的奇异性，使得量子力学成为自然科学物理学当中争论最多的学科，对于其中基本概念的争议也从未停止过。科学的发展永远是向前的，今天看来，经过以哥本哈根学派为代表的科学家的不懈努力，量子力学中基本概念的诠释已经十分清晰，它是到现在为止人们可以给出的最好的理论。但是我们必须认识到，科学总是在不断地向前发展，人们对于量子力学中基本概念的理解并不是停滞不前的，它会随着科学的发展不断深入。

[1] P.A.M.狄拉克.量子力学原理[M].北京:科学出版社,1958.

[2] 李俊.高等量子力学课件[EB/OL].http://blog.sina.com.cn/s/articlelist_1616511657_0_1.html,2013.

[3] 李俊.超星学术视频高等量子学[EB/OL].http://video.chaoxing.com/serie_400004449.shtml,2012.

[4] 周世勋.量子力学教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2009.

[5] 曾谨言.量子力学卷Ⅱ(第三版)[M].北京:科学出版社,2000.

[6] 薛志宇.哥本哈根学派与量子力学[J].现代物理知识,1997,9(6):38-41.

Understanding of the Principle of Superposition and Uncertainty Relation

LVKai,WANGXu-de,ZHANGZhi-min

(HuaibeiNormalUniversity,Huaibei235000,China)

In the development of quantum mechanics, there are some misunderstanding about the basic concepts, causing confusions to the whole subject. Thus, it is especially important to analyze the basic concepts of quantum mechanics properly. In addition, quantum mechanics derived from the West, and the concepts were given in English. For a thorough understanding of these concepts, appropriate translations are urgent. In this paper, two basic concepts in quantum mechanics are introduced: the principle of superposition and uncertainty relation. Furthermore, their translations are also discussed.

the principle of superposition；uncertainty relation；quantum mechanics

2016-11-19

国家自然科学基金(11504121)

吕凯(1979-)，男，博士，淮北师范大学物理与电子信息学院讲师，研究方向：量子力学、氧化物等。

O413

A

1674-3229(2017)01-0057-03