拟拓扑群中的嵌入性质

张海婵，谢利红

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

拟拓扑群中的嵌入性质

张海婵，谢利红

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

本文主要刻画第一可数拟拓扑群乘积空间的子群，得如下结论：1）设G是满足T1分离公理的拟拓扑群，则G拓扑同构于一族满足第一可数且满足T1分离公理拟拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω-balanced 和局部ω-good；2）设G是满足T2分离公理的拟拓扑群，则G拓扑同构于一族满足第一可数且满足T2分离公理拟拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω-balanced、局部ω-good 和Hs（G）≤ω；3）设G是满足正则分离公理的拟拓扑群，则G拓扑同构于一族满足第一可数且满足正则分离公理拟拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω-balanced、局部ω-good 和Ir（G）≤ω.

拟拓扑群；拓扑群；分离公理

1 引言与预备知识

设G是一抽象群，τ是G上的一拓扑. 当G的乘法运算μ∶（G,τ）×（G,τ）→（G,τ）是分开连续时，则（G,τ）是半拓扑群；当G的乘法运算μ∶（G,τ）×（G,τ）→（G,τ）是联合连续时，则（G,τ）是仿拓扑群. 设（G,τ）是仿拓扑群且其逆运算ν∶G→G是连续的，则（G,τ）是拓扑群. 设（G,τ）是半拓扑群且其逆运算ν∶G→G是连续的，则（G,τ）是拟拓扑群[1].

2007年，Manuel Sanchis等[2]研究了完全Lindelöf和完全ω-有界的仿拓扑群的嵌入性. 2009年，Mikhail Tkachenk[3]进一步给出了仿拓扑群能表示成一族第一可数或第二可数的仿拓扑群乘积空间的子群刻画. 但是Mikhail Tkachenk只考虑了正则性和Hausdorff性的仿拓扑群的嵌入，于是Iván Sánchez进一步研究了仿拓扑群的嵌入在T0和T1条件下是否还成立[4]，以及第一可数半拓扑群的投射[5]. 因此，很自然地就会问：拟拓扑群是否也具有与仿拓扑群和半拓扑群相类似的嵌入性质呢？本文主要研究拟拓扑群嵌入到第一可数Ti(i=1,2,3)拟拓扑群乘积空间的子群.

命题1[1]22设G是一抽象群，γ是G中包含单位元e处的集族，若γ满足下列条件：

1）对任意的U∈γ，存在V∈γ，使得V-1⊂U；

2）对任意的U∈γ和任意x∈U，存在V∈γ，使得Vx⊂U；

3）对任意的U∈γ和任意x∈U，存在V∈γ，使得xVx-1⊂U；

4）对任意的U,V∈γ，∃W∈γ，使得W⊂U∩V.

则存在唯一个拓扑τ，使得(G,τ)构成拟拓扑群，且γ是G中包含单位元e处的集族.

Iván Sánchez研究了第一可数半拓扑群的投射，得到了如下结论：

定理1[5]4-61）设G是满足T1分离公理的半拓扑群，则G拓扑同构于一族满足第一可数且满足T1分离公理半拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω-balanced 、局部ω-good 和Sm（G）≤ω；2）设G是满足T2分离公理的半拓扑群，则G拓扑同构于一族满足第一可数且满足T2分离公理半拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω-balanced、局部ω-good 和Hs（G）≤ω；3）设G是满足正则分离公理的半拓扑群，则G拓扑同构于一族满足第一可数且满足正则分离公理半拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω-balanced、局部ω-good 和Ir（G）≤ω.

定义1[5]1设G是一个半拓扑群，V是G的子集，若存在包含单位元的可数开邻域族γ，使得对任意的x∈V，有W∈γ满足xW⊂V，则称V是G中的一个ω-good集.

令N*(e)={V⊂G,e∈V,V是ω-good集}. 本文中出现的N*(e)都表示此定义，下文出现的N(e)都是表示半拓扑群G中包含单位元e处的所有邻域族.

定义2[5]3设G是半拓扑群，U是G中包含单位元e的邻域，对任意的x∈G，存在V∈γ且γ⊂N（e）使得xVx-1⊂U，则称γ从属于U. 对任意的U∈N（e），存在γ从属于U，则半拓扑群G是ω-balanced.

定义3[5]3设G是T2半拓扑群，U是G中包含单位元e的任意开邻域，存在单位元e的开邻域V使得⊂U，则G是正则的.

文献[3]中，Mikhail Tkachenk给出了仿拓扑群能表示成一族第一可数或第二可数的仿拓扑群乘积空间的子群刻画，引入了如下定义：

定义4[5]4-51）设G是正则半拓扑群，对任意的U∈N（e），若存在可数族γ⊂N（e）和V∈γ使得∩W∈γVW-1⊂U，则Ir（G）≤ω；2）设G是T2半拓扑群，对任意的U∈N（e），若存在可数族γ⊂N（e）使得∩V∈γVV-1⊂U，则Hs（G）≤ω.

本文主要目的是刻画第一可数拟拓扑群乘积空间的子群.

2 主要结论

定义5[5]2设G是半拓扑群，若N*(e)构成G中单位元e处的一个局部基，则G是局部ω-good.

命题2[5]2设｛Gi∶i∈I｝是局部ω-good 半拓扑群族，则乘积空间是局部ω-good.

命题3[5]3设H是局部ω-good半拓扑群G的子群，则H是局部ω-good .

命题4[5]3任意第一可数半拓扑群是局部ω-good.

推论1[5]3任意第一可数半拓扑群的乘积子群是局部ω-good.

引理1[5]3设G是半拓扑群，若γ⊂N(e)满足下列条件：

1）对任意U∈γ和x∈U，存在V∈γ使得xV⊂U；

2）对任意U∈γ，γ从属于U.

则N=∩｛U∩U-1∶U∈γ｝是G中的不变子群，并且对任意U∈γ有：UN=NU=U.

定理2设G是正则拟拓扑群，则G拓扑同构于一族满足第一可数且正则拟拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω-balanced、局部ω-good 和Ir（G）≤ω.

证明充分性. 设G拓扑同构于一族满足第一可数且正则拟拓扑群乘积空间的子群，不妨设G拓扑同构于∏=∏i∈IHi的子群，其中每一Hi是第一可数且满足正则分离公理拟拓扑群. 由文献[3]的推论3.4，G是ω-balanced且满足Ir（G）≤ω. 由命题2、3和推论1可知：G是局部ω-good.

必要性. 设G是ω-balanced、局部ω-good 且满足Ir（G）≤ω. 对任一U0∈N（e），下面构造G到第一可数正则拟拓扑群HU0的连续同态pU0∶G→HU0，且∃V0∈N(eHU0)，eHU0是HU0上的单位元，使得

下面用归纳法构造满足下列定理2条件的｛γn∶n∈ω｝集族：

1）γn⊂N*（e）且

2）γn⊂γn+1；

3）γn在有限交下是封闭的；

4）对任意的U∈γn和任意x∈G，存在V∈γn+1使得xVx-1⊂U；

5）对任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得V-1⊂U；

6）对任意的U∈γn和任意x∈U，存在V∈γn+1使得Vx⊂U;

7）对任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得∩W∈γn+1VW-1⊂U.

假设对某一n∈ω. 已构造满足定理2条件1-7的γ0,γ1,···,γn. 因为γn是可数的，G是局部ω-good 且G满足ω-balanced，所以存在可数族λn,1⊂N*（e），满足对任意的U∈γn和取x∈G，存在V∈λn,1使得xVx-1⊂U. 因为G是拟拓扑群，所以存在可数族λn,2⊂N*（e），满足对任意的U∈γn，存在V∈λn,2使得V-1⊂U. 因为γn每个元都是ω-good，所以存在可数族λn,3⊂N*（e），满足对任意U∈γn和x∈U，∃V∈λn,3使得xV⊂U. 因为Ir（G）≤ω，所以存在可数族λn,4⊂N*（e），满足对任意U∈γn和∃V∈λn,4，使得∩W∈λn,4VW-1⊂U. 令γn′+1=γn∪λn,1∪λn,2∪λn,3∪λn,4，且γn+1是γn′+1的有限交集族. 显然，γn+1是可数的，易验证集族γ0,γ1,···,γn+1满足条件1-7.

令r=∪n∈ωγn，易验证γ满足引理1的条件1和2，所以N=∩｛V∩V-1∶V∈γ｝是G的不变子群. 由于对任意U∈γ构建γ满足∩V∈γVV-1⊂U，所以N=∩V∈γVV-1. 考虑代数群HU0=G/N. 设pU0∶G→HU0是标准同态，令β=｛pU0(V)∶V∈γ｝. 易验证β满足下列条件：

a）对任意的A,B∈β，存在C∈β使得C⊂A∩B；

b）对任意的A∈β，∃B∈β使得B-1⊂A；

c）对任意的A∈β和a∈A，∃B∈β使得aB⊂A；

d）对任意的A∈β和x∈G，∃B∈β使得xB-1x⊂A.

由γ满足定理2条件3-6可得：β满足以上条件

由条件a-d满足命题1，可得存在HU0上的一个拓扑τ使得(HU0,τ)是拟拓扑群，β是HU0上单位元的局部基. 因为β是可数的，所以(HU0,τ)是第一可数的.

下证拟拓扑群(HU0,τ)是正则的. 先证(HU0,τ)是T2的. 令是HU0上的单位元.任取x∈G使得因为所以因此存在V∈γ使得x∉VV-1，即xV∩V=∅. 由引理1可得：xVN∩VN=∅，所以于是可得(HU0,τ)是T2的.

任意的pU0（U）∈β. 由定理2条件7可得：对任意的U，存在V∈γn+1使得下证令和取x∈G，使得易得x∉U，所以存在V∈γ，使得x∉VV-1，即xW∩V=∅. 由引理1可得，xWN∩VN=∅，因此可证得(HU0,τ)是T3的，从而(HU0,τ)是正则的.

定理3设G是T2拟拓扑群，则G拓扑同构于一族满足第一可数且T2拟拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω-balanced 、局部ω-good和Hs(G)≤ω.

证明充分性. 设G拓扑同构于一族满足第一可数且T2拟拓扑群乘积空间的子群，不妨设G拓扑同构于∏=∏i∈IHi的子群，其中每一Hi是第一可数且满足T2分离公理拟拓扑群. 显然G是ω-balanced且满足局部ω-good. 由文献[3]的命题2.1-2.3可知：G是Hs(G)≤ω.

必要性. 设G是ω-balanced 、局部ω-good 且满足Hs(G)≤ω. 对任一U0∈N（e），下面构造G到第一可数T2拟拓扑群HU0的连续同态pU0∶G→HU0，且∃V0∈N(eHU0)，eHU0是HU0上的单位元使得

下面用归纳法构造满足下列条件的｛γn∶n∈ω｝集族：

1）γn⊂N*（e）且

2）γn⊂γn+1；

3）γn在有限交下是封闭的；

4）对任意的U∈γn和任意x∈G，存在V∈γn+1使得xVx-1⊂U；

5）对任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得V-1⊂U；

6）对任意的U∈γn和任意x∈U，存在V∈γn+1使得Vx⊂U；

7）对任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得∩V∈γn+1VV-1⊂U.

假设对某一n∈ω，已构造满足定理3条件1-7的γ0,γ1,…,γn. 因为γn是可数的，G是局部ω-good且G满足ω-balanced，所以存在可数族λn,1⊂N*（e），满足对任意的U∈γn和取x∈G，存在V∈λn,1使得xVx-1⊂U. 因为G是拟拓扑群，所以存在可数族λn,2⊂N*（e），满足对任意的U∈γn，存在V∈λn,2使得V-1⊂U. 因为γn每个元都是ω-good，所以存在可数族λn,3⊂N*（e），满足对任意U∈γn和x∈U，∃V∈λn,3使得xV⊂U. 因为Hs（G）≤ω，所以存在可数族λn,4⊂N*（e），满足对任意U∈γn和∃V∈λn,4，使得令γn′+1=γn∪λn,1∪λn,2∪λn,3∪λn,4，且γn+1是γn′+1的有限交集族. 显然，γn+1是可数的，易验证集族γ0,γ1,…,γn+1满足以上条件.

令γ=∪n∈ωγn，易验证γ满足引理1的条件1和2，所以N=∩｛V∩V-1∶V∈γ｝是G的不变子群. 由于对任意U∈γ，构建γ满足∩V∈γVV-1⊂U，所以N=∩V∈γVV-1. 考虑代数群HU0=G/N. 设pU0∶G→HU0是标准同态，令β=｛pU0(V)∶V∈γ｝. 易验证β满足下列条件：

a）对任意的A,B∈β，存在C∈β使得C⊂A∩B；

b）对任意的A∈β，∃B∈β使得B-1⊂A；

c）对任意的A∈β，和a∈A，∃B∈β使得aB⊂A；

d）对任意的A∈β和x∈G，∃B∈β使得xB-1x⊂A.

因为γ满足定理3条件3-6，可得β满足以上条件.

由条件a-d满足命题1，可得存在HU0上的一个拓扑τ，使得(HU0,τ)是拟拓扑群，β是HU0上单位元的局部基. 因为β是可数的，所以(HU0,τ)是第一可数的.

下证拟拓扑群(HU0,τ)是T2的. 令是HU0上的单位元. 任取x∈G使得因为所以x∉N=∩V∈γVV-1. 因此，存在V∈γ使得x∉VV-1，即xV∩V=∅. 由引理1可得xVN∩VN=∅，所以ypU0(V)∩pU0(V)=∅，于是可得(HU0,τ)是T2的.

定理4 设G是T1拟拓扑群，则G拓扑同构于一族满足第一可数且T1拟拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω-balanced 和局部ω-good.

证明充分性. 设G拓扑同构于一族满足第一可数且T1拟拓扑群乘积空间的子群，不妨设G拓扑同构于∏=∏i∈IHi的子群，其中每一Hi是第一可数且满足T1分离公理拟拓扑群. 显然G是ω-balanced且满足局部ω-good.

必要性. 设G是ω-balanced 和局部ω-good . 对任一U0∈N（e），下面构造G到第一可数T1拟拓扑群HU0的连续同态pU0∶G→HU0，且∃V0∈N(eHU0)，eHU0是HU0上的单位元，使得

下面用归纳法构造满足下列条件的｛γn∶n∈ω｝集族：

1）γn⊂N*（e）且

2）γn⊂γn+1；

3）γn在有限交下是封闭的；

4）对任意的U∈γn和任意x∈G，存在V∈γn+1使得xVx-1⊂U；

5）对任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得V-1⊂U；

6）对任意的U∈γn和任意x∈U，存在V∈γn+1使得Vx⊂U；

假设对某一n∈ω，已构造满足定理4条件1-6的γ0,γ1,…,γn. 因为γn是可数的，G是局部ω-good且G满足ω-balanced，所以存在可数族λn,1⊂N*（e），满足对任意的U∈γn和取x∈G，存在V∈λn,1使得xVx-1⊂U. 因为G是拟拓扑群，所以存在可数族λn,2⊂N*（e），满足对任意的U∈γn，存在V∈λn,2使得V-1⊂U. 因为γn每个元都是ω-good，所以存在可数族λn,3⊂N*（e），满足对任意U∈γn和x∈U，∃V∈λn,3使得xV⊂U. 令γn′+1=γn∪λn,1∪λn,2∪λn,3，且γn+1是γn′+1的有限交集族. 显然，γn+1是可数的，易验证集族γ0,γ1,…,γn+1满足定理4条件1-6.

令γ=∪n∈ωγn，易验证γ满足引理1的条件1和2，所以N=∩｛V∩V-1∶V∈γ｝是G的不变子群. 由于对任意U∈γ，构建γ满足∩V∈γVV-1⊂U，所以N=∩V∈γVV-1. 考虑代数群HU0=G/N. 设pU0∶G→HU0是标准同态，令β=｛pU0(V)∶V∈γ｝. 易验证β满足下列条件：

a）对任意的A,B∈β，存在C∈β，使得C⊂A∩B；

b）对任意的A∈β，∃B∈β使得B-1⊂A；

c）对任意的A∈β和a∈A，∃B∈β使得aB⊂A；

d）对任意的A∈β和x∈G，∃B∈β使得xB-1x⊂A.

因为γ满足定理4条件3-6，可得β满足以上条件.

由条件a-d满足命题1，可得存在HU0上的一个拓扑τ，使得(HU0,τ)是拟拓扑群，β是HU0上单位元的局部基. 因为β是可数的，所以(HU0,τ)是第一可数的.

下证拟拓扑群(HU0,τ)是T1的. 令是HU0上的单位元. 任取x∈G使得因为y≠eHU0，所以x∉N=∩V∈γV. 因此存在V∈γ，使得即y∉pU0(V).于是可得(HU0,τ)是T1的.

[1] ARHANGELSKII A, TKACHENKO M. Topological groups and related structures [M]. Paris∶ Atlantis Press,2008.

[2] SANCHIS M, TKACHENKO M. Totally Lindelöf and totallyω-narrow paratopological groups [J]. Topology& Its Applications, 2008, 155(4)∶ 322-334.

[3] TKACHENKO M. Embedding paratopological groups into topological products [J]. Topology & Its Applications,2009, 156(7)∶ 1298-1305.

[4] SÁNCHEZ I. Subgroups of products of paratopological groups [J]. Topology & Its Applications, 2014, 163∶160-173.

[5] SÁNCHEZ I. Projectively first-countable semitopological groups [J]. Topology & Its Applications, 2016, 204∶246-252.

[责任编辑：熊玉涛]

Projectively First-countable Quasitopological Groups

ZHANG Hai-chan, XIE Li-hong
(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In this paper, we mainly discuss the projectively first-countable quasitopological groups.The following results are obtained: 1）LetGbe aT1quasitopological group, thenGis projectivelyT1first-countable if and only ifGisω-balanced and locallyω-good. 2）LetGbe a Hausdorff quasitopological group, thenGis projectively Hausdorff first-countable if and only ifGisω-balanced, locallyω-good andHs（G）≤ω. 3）LetGbe a regular quasitopological group, thenGis projectively regular first-countable if and only ifGisω-balanced, locallyω-good andIr（G）≤ω.

quasitopological groups; topological groups; separation axioms

O189.1

A

1006-7302（2017）04-0005-06

2017-07-12

国家自然科学基金青年科学基金资助项目（11601393）

张海婵（1990—），女，广东茂名人，在读硕士生，研究方向为拓扑群；谢利红，副教授，博士，硕士生导师，通信作者，主要研究方向为拓扑群.