感受数学美——以微积分为例

文︳刘清之

感受数学美
——以微积分为例

文︳刘清之

数学大师华罗庚曾指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”法国数学家庞加莱认为，“数学家不单单因为数学有用而研究数学；他研究数学还因为喜欢，而喜欢的原因则是因为数学是美丽的！”是的，数学是非常有用而又具有独特美的一门基础学科。笔者以微积分为例，和大家分享数学美。

一、简单美

爱因斯坦曾说，“美，本质上终究是简单性”。他认为只有借助数学，才能达到简单的美学标准。在微积分里，函数的极限为符号分别表示当自变量x趋向于a或趋向于∞时，函数（fx）的极限为A；函数y=（fx）的一阶导数借助y′或表示，其n阶导数可用符号或符号表示；函数（fx）在闭区间[a,b]上的定积分用表示，等等。这些符号形态优美，简洁明了，为微积分的传播创造了无障碍条件。

二、联系美

庞加莱说：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐。”在微积分里，函数的不定积分与定积分是两个内涵完全不同的概念。牛顿和莱布尼茨借助积分上限函数搭建了两者之间的一座桥梁，得到了微积分基本定理F（b）-F（a），从此建立了定积分与不定积分的密切联系。有了它，各种积分（包括定积分、重积分、曲面积分、曲线积分等）的计算可转化为求不定积分来解决。这是微积分学史上的一次重大发现，也说明了世间的万事万物皆相通的哲理。对于学习者的我们来说，应该付出更大努力去推动探究事物间联系，以使我们一点点地、越来越好地理解联系美。

三、抽象美

正如英国数学家罗素所说：“数学，不但拥有真理，而且具有至高的美，是一种冷而严格的美。”在我看来，这就是一种抽象美，给人无限的想象空间。如极限就给我们带来了无限的想象空间，《庄子天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”就是最好的体现。另外，数列的数学定义：设{xn}为一数列，若存在常数a，对任意给定的正数ε，总存在正整数N，当n＞N时，有不等式|xn-a|＜ε，则a为数列{xn}（当n→∞时）的极限。定义里的ε是任意给定的，但要保证不等式成立，我们就一定要理解这个ε无论多么小，不等式也要成立才行。理解这个定义的过程，我们能够体会到数学的抽象美。

四、应用美

美国数学教育家克莱因对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”微积分作为数学里的重要基础理论，在物理和经济学等领域得到了广泛的应用，取得了辉煌的成就，海王星的发现就是数学理论发挥无比威力的例证之一。

总之，数学美内容丰富，有外在的、内在的，还有应用的。在今后的学习中，我们要对数学美加深认识与思考，发现美、利用美，让数学这门工具学科更好地为人类服务。

（作者单位：湖南师大附中）