基于奇异值分解的单快拍DOA估计方法

2017-03-08蒋柏峰吕晓德

中国电子科学研究院学报 2017年1期

关键词：协方差噪声维度

蒋柏峰，吴琨，吕晓德

(1.中国电子科学研究院，北京 100041；2.中国科学院电子学研究所微波成像技术国家级重点实验室,北京 100190)

基于奇异值分解的单快拍DOA估计方法

蒋柏峰1，吴琨1，吕晓德2

(1.中国电子科学研究院，北京 100041；2.中国科学院电子学研究所微波成像技术国家级重点实验室,北京 100190)

针对大多数空间谱估计方法在单快拍情况下失效的问题，本文以奇异值分解为基本手段，提出一种直接利用单快拍阵列接收数据构造长方形伪协方差矩阵的方法模型。相比于已有构造Hermitian矩阵的伪协方差矩阵构造方法，本文提出的构造方法一方面等效阵列维度更高，角度估计性能更优；另一方面，其基本构造模型兼容已有构造方法，更具一般性。理论分析和仿真试验验证了本文提出构造方法的正确性和有效性。

阵列信号处理；DOA估计；单快拍；奇异值分解

0 引言

目标角度参数是雷达、通信、声呐等领域的主要测量参数之一。在该领域基于阵列的超分辨到达角(DOA)估计近年来成为业界研究热点，取得了丰硕的成果[1-16]。常规超分辨DOA估计方法建立在多快拍基础上，要求快拍数远大于阵列自由度及目标数量。快拍数的主要作用体现在对阵列接收信号协方差矩阵的估计上，快拍数越大，协方差矩阵的估计越准确，越接近统计值。文献[3]指出，快拍数对子空间类方法性能的影响主要体现在样本协方差矩阵的分解上，快拍数过小，将使子空间产生泄漏，从而影响算法分辨力和估计性能。在单快拍情况下，不仅阵列接收信号协方差矩阵的估计精度受到影响，而且无论信源相干与否，采样协方差矩阵的秩始终为1，常规空间谱估计方法失效。基于单快拍或少快拍的目标DOA估计问题已经引起业界的广泛关注[4-16]。

针对单快拍情况下的DOA估计问题，文献[9-14]结合常规阵列接收信号协方差矩阵特点，提出直接利用阵列接收信号构造伪协方差矩阵。该矩阵为Toeplitz矩阵，可以直接应用MUSIC[17]、ESPIT[18]等常规空间谱估计方法，适用性较强。文献[16]提出了基于阵列接收信号重排的伪协方差矩阵构造模型，该模型统一了文献[9-14]使用的构造方法，更具一般性。但上述方法模型构造的伪协方差矩阵仍为方阵，针对的是基于特征分解的空间谱估计方法，其等效阵列维度受到限制，目标角度估计精度难以进一步提升。

本文在已有基于特征值分解的伪协方差矩阵构造方法模型基础上，提出一种直接利用单快拍阵列接收数据构造长方形伪协方差矩阵的方法模型。对构造的伪协方差矩阵应用奇异值分解，可以得到噪声子空间，进而利用常规空间谱估计方法实现单快拍情况下的目标DOA估计。相比于文献[16]的构造方法，本文提出的伪协方差矩阵突破协方差矩阵为方阵的限制，等效阵列维度更高，目标角度估计性能更优。本文进一步通过理论分析，证明了所提出构造模型的一般性，文献[16]的构造方法模型是本文提出方法模型的特例。最后，通过仿真分析，验证了本文提出方法的正确性和有效性。

1 已有伪协方差矩阵构造方法模型及方法

远场窄带信号假设下的均匀线阵接收信号模型可表示为：

式中X(t)为M×K维接收数据矩阵，A(θ)为M×N维阵列流型矩阵，S(t)为N×K维入射信号矩阵，N(t)为M×K维噪声信号矩阵。其中M为阵元数量，K为快拍数，N为目标数量，通常情况下要求K≫M>N。对于均匀线阵，阵列流型矩阵A(θ)可表示为：

(2)

式中a(θn)为第n个目标的导向矢量。

理想情况下，可认为信号之间是不相关的，信号与噪声之间、各通道噪声之间是相互独立的，此时阵列接收信号的协方差矩阵可表示为：

(4)

式中RS为入射信号协方差矩阵，该矩阵是满秩的对角阵，对角线元素为相应的信号功率；RN为噪声协方差矩阵，可表示为σ2I的形式，σ2为噪声功率。此时协方差矩阵Rx是秩为N的Hermitian Toeplitz矩阵。

单快拍情况下，接收信号矩阵的元素可表示为：

(5)

式中M为阵元数量，N为目标数量，sn为第n个目标的入射信号，nm为第m个通道的噪声信号，λ为信号波长，d为阵元间距，θn为目标与阵列法向的夹角。

由于文献[16]提出的方法模型，兼容文献[9-14]的构造方法，因此，本文结合阵列接收信号模型，以文献[16]提出的构造方法模型为例，进行对比分析。

文献[16]提出的伪协方差矩阵构造方法可表示为：

(8)

2 基于奇异值分解的伪协方差矩阵构造模型及方法

式(8)形式的伪协方差矩阵为Hermitian矩阵，由矩阵分析理论可知，Hermitian矩阵的特征值分解与奇异值分解是一致的。以文献[16]为代表的伪协方差矩阵构造方法之所以显性或者隐形地约束伪协方差矩阵为方阵，主要是受到式(4)形式的阵列接收信号协方差矩阵特点限制，没有考虑到伪协方差矩阵构造只是获取噪声子空间的中间过程，而噪声子空间的获取才是解决单快拍情况下的目标DOA估计问题核心。因此可以考虑以奇异值分解为手段获取噪声子空间，此时可以不再限制伪协方差矩阵为方阵，在满足目标数量小于等效阵列维度的前提下，构造长方形伪协方差矩阵，达到提高等效阵列维度、提高目标角度参数估计精度。

2.1 伪协方差矩阵构造模型分析

假设存在一个L1×L2维矩阵Y1，可以表示为：

(9)

式中B为L1×N维列满秩矩阵，A1为L2×N维阵列流型矩阵，L1≥N,L2≥N。

则矩阵Y1的奇异值分解可表示为：

(10)

式中U和V表示矩阵Y1的左、右奇异向量矩阵，Σ表示矩阵Y1奇异值矩阵。

根据奇异值分解的性质可知：

(11)

式中vj表示V的列向量。

式(11)表明，V的右L2-N各列向量形成了A1对应的噪声子空间。此时，可以利用常规空间谱估计方法实现目标DOA估计。

基于上述分为，基于奇异值分解的伪协方差矩阵构成模型可以表述为：利用式(5)形式的单快拍阵列接收信号，构造式(9)形式的伪协方差矩阵。下面就分析模型构建，进行理论分析。

矩阵Y1的元素可表示为：

p=1,2…L1,q=1,2…L2

(12)

对比式(5)，式(12)可知，B(p,n)应包含sn项，并且可以调整式(12)求和项的相位，即B(p,n)应可以表示为：

(13)

式中Tpnk为加权系数，k为整数，其取值应满足0≤k-q+1≤M-1。

将式(13)代入式(12)可得：

p=1,2…L1,q=1,2…L2

(14)

为利用式(5)形式的单快拍数据构造Y1，式(14)中的Tpnk应与变量n无关，即式(14)可以表示为：

p=1,2…L1,q=1,2…L2

(15)

(16)

式中Y1p表示矩阵Y1的第p行。

矩阵Y1可表示为：

(17)

式中T表示加权系数矩阵。

(18)

式中p=1,2…M-L2+1，q=1,2…L2。

(19)

式中A1为M×N维阵列流型矩阵的后M-L2+1行，A2为阵列流型矩阵的前L2行。

系数矩阵T的维度为L1×M-L2+1。当L1≥M-L2+1时，为使矩阵Y1的秩为N，则应约束矩阵T为列满秩矩阵。即矩阵T的秩为M-L2+1。下面对这一结论加以证明。

由矩阵秩的性质可知：

rank(Y1)≤min{rank(T)N}

rank(Y1)≥rank(T)+N-(M-L2+1)

(20)

式中rank()表示矩阵的秩。

由式(20)可知，当T为列满秩矩阵时，矩阵Y1的秩为N。

综上所述，矩阵T秩的约束条件可表示为：

(21)

基于上述分析，基于奇异值分解的单快拍DOA估计方法模型可描述为：利用式(5)形式的单快拍数据，构造式(17)形式的伪协方差矩阵，只要系数矩阵T满足式(21)的约束条件，则可利用奇异值分解得到噪声子空间。

2.2 伪协方差矩阵构造方法分析

基于前文的理论分析，矩阵T的每一个元素都可以是单快拍数据xm的函数，只要满足T满足式(21)的约束条件。因此，利用本文提出的伪协方差矩阵构造模型可以得到多种伪协方差矩阵构造方法。

文献[16]提出的加权求和构造方法构造的伪协方差矩阵可表示为：

(22)

(23)

当加权系数α为波束形成对应的系数时，容易验证式(23)的构造形式满足式(21)的约束条件。

上述分析表明，文献[9-14]、文献[16]的伪协方差矩阵构造方法可以统一在本文提出的构造方法模型下。这说明，本文提出的构造方法具有极大的灵活性和一般性。

令式(17)中的系数矩阵T为单位阵，则可得一组常用的伪协方差矩阵构造方法：

(24)

3 仿真试验及分析

本文提出的模型及构造方法具有一般性，可与多种空间谱估计方法结合。为方便比对分析，仿真时均结合使用MUSIC算法。

3.1 不同噪声子空间维度时估计性能对比

设均匀线阵阵元数量为13，阵元间距为半波长，2个目标位于-5°，6°位置，信噪比变化区间为-10 dB～30 dB，变化间隔为5 dB。

令系数矩阵T为单位阵，L1由2增加到10，间隔为2；相应的L2由12减小到4，间隔为2。对比不同噪声子空间维度及文献[16]构造方法的估计性能，结果如图1所示。

图1 不同噪声子空间维度时估计性能对比

3.2 不同目标数量估计性能对比

保持4.1节基本仿真参数不变，3个目标位于-10°，6°，15°位置，令系数矩阵T为单位阵，L1由3增加到7，间隔为2；相应的L2由11减小到7，间隔为2。对比不同噪声子空间维度构造方法的估计性能，结果如图2所示。

图2 目标数量为3时不同噪声子空间维度估计性能对比

由图2可以看出，随着信噪比的增加，不同维度噪声子空间时的估计性能都逐渐变好，最终趋于稳定。对比图1，图2可以看出，目标数量增加时，相同阵列规模情况下，角度估计性能有所下降，尤其是在信噪比较低时，性能恶化较为严重。这与常规空间谱估计方法在相同阵列配置条件下，目标数量增加时的DOA估计性能变化规律是一致的。

3.3 不同构造方法性能对比

图3 不同构造方法估计性能对比

由图3可以看出，两种构造方法的估计性能随着信噪比的增加，都逐渐变好，说明二者都是有效的。两种构造方法的估计成功概率曲线及均方根误差曲线存在微小的差异，这说明两种构造方式的估计性能并不是完全相同的，即使是相同的信噪比、相同的子空间维度，不同的系数矩阵会对估计性能产生一定程度的影响。这一方面再次证明本文提出构造方法的有效性，说明了构造方法的灵活性，也提示在某种输入条件下，应存在一个性能较为优异的权系数矩阵。本文提出的构造方法模型为最优权系数矩阵的确定提供了理论研究基础和依据。

4 结语

本文针对单快拍情况下大多数空间谱估计方法失效的问题，在已有利用单快拍阵列接收信号构造伪协方差矩阵的方法模型基础上，从噪声子空间与阵列流型矩阵相互正交这一基本性质出发，提出了一种利用奇异值分解获取噪声子空间的伪协方差矩阵构造方法模型。该模型包含了已有的伪协方差矩阵构造方法模型，是已有构造模型的进一步一般化，为基于单快拍数据构造伪协方差矩阵的这一类方法性能提升提供了理论研究模型。仿真试验和分析验证了本文提出构造模型的正确性，相比已有构造方法，本文提出方法目标角度估计性能更优。本文的研究成果具有较好的理论价值和实用价值。

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《中国电子科学研究院学报》编辑部

2016年4月20日

Single Snapshot DOA Estimation Method Based on SVD

JIANG Bai-feng1, WU Kun1, LV Xiao-de2

(1. China Academy of Electronics and Information Technology，Beijing 100041，China; 2. National Key Laboratory of Microwave Imaging Technology, Institute of Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Most of spatial spectrum estimation methods fail when there is only one valid snapshot. To deal with this issue, an oblong pseudo covariance matrix construction model utilizing array receiving signal based on singular value decomposition (SVD) is proposed. Comparing with the existing Hermitian pseudo covariance matrix construction method, firstly, the equivalent dimensionality of array of the proposing method is higher, which insures a better performance of angle estimation; secondly, the proposing model contains the existing method and is more flexible and general. Theoretical analysis and simulation results verify the correctness and effectiveness of the proposed method and model.

array signal processing, direction-of-arrive (DOA) estimation, single snapshot, singular value decomposition (SVD)

10.3969/j.issn.1673-5692.2017.01.011

2016-11-11

2017-01-15