数学的文化意蕴

李万军

〔河南牧业经济学院 基础部，河南 郑州 450044〕



哲学与文史

数学的文化意蕴

李万军

〔河南牧业经济学院 基础部，河南 郑州 450044〕

数学作为科学的语言、技术的基础、思维的体操、理性的精神，既有卓越的智力价值，又有广泛的应用价值，更有深刻的文化价值。在文化视野下，数学不仅是一种知识，更是一种素养；不仅是一种应用工具，更是一种思维模式；不仅是一种科学，更是一种文化；不仅是一种理性思想传播的规范方式，也是一种社会与自然相互联系的尺度。本文重点从文化视角论述四个问题：数学的科学意义；数学文化的特殊性；数学语言的文化含义；数学思想方法是一种典型的认识方法和广泛的思维模式，是理性文化的核心。

数学语言;数学思想;数学文化

数学不仅是符号、公式、空间结构、逻辑推理的世界，更是观察世界、认识世界、解释世界的一种方式。数学是社会实践的产物，与其他文化密切相联，具有一般大众文化的属性。除此之外，数学独特的语言形式、严谨的思维品质和理性探索精神，使数学文化自成体系，呈现自身的鲜明特征。广义地讲，数学文化不仅包含数学的起源、形成、发展及应用过程，又包含数学的思想、精神、方法、观点、语言等，还包含数学史、数学美、数学教育等数学发展中的人文成分及数学与社会各种文化的相容性。在文化视野下思考数学的意义，可以更深刻地体会数学思想，理解理性精神，学会科学思维，提高数学素养。

一、数学的科学意义

数学作为一种文化现象，历来受到人们的重视。但数学文化作为一种相对独立的文化系统、特殊的文化形态，直到20世纪下半叶，才逐渐形成。其代表人物之一，美国著名数学史学家克莱因，在其三大著作《古今数学思想》《西方文化中的数学》《数学——确定性的丧失》中对数学文化进行了比较系统和深刻的阐述，达到了一个较高的发展阶段。数学文化的兴起，一个主要的原因是20世纪初，数学曾存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，其影响一直持续到当今社会。数学的过度抽象化、形式化，使多数人产生错觉，深刻感到数学只是少数奇才、天才脑子里想象出来的“自由思维的拟造物”。一种对数学的错误认识是：数学本身自成体系，它的发展无需社会实践的推动，其正确性也无需社会实践的检验。这种错误的认识导致数学与社会实践渐行渐远，严重阻碍了数学的发展。为了纠正对数学认识的偏颇，关于数学文化的研究悄然兴起。在我国最近的十几年里，由于素质教育的推行，数学文化也成了研究的焦点和热点。新课标对数学文化提出了明确的要求，把数学文化视为一个单独的板块，并给予了特别的重视。新课标对数学最新的定义描述是：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”这个定义说明，数学的对象是抽象思维作用到客观的、真实的现实世界的产物。数学是人类文化的一部分。数学不是脱离实际的虚拟世界，与社会实践活动相互作用，而且与其它多元文化互补相融，共同影响到人们的思想和行为，内化为素养，形成文化。

从文化的继承性看，数学是人类思想传播的一种特定形式。数学是人类在一定文化环境中以“数与形”为主体对象，以符号化的数学语言为主要推理工具所从事的一种创造性实践活动。数学形成与发展的历史，以其独特的视角，保留并记录了人类在不同历史阶段文化发展的状态。数学来源于实践，并在实践中发展，数学文化在实践中形成，并受到其他社会文化的影响。由古到今，数学知识与思想方法代代相传，随着社会的进步逐步发展完善。不同的国家有不同的文化背景，不同的文化背景造就了不同的数学文化。如中国古代数学和古希腊数学都有着辉煌的成就，但它们之间也有明显的差异。中国古代崇尚实用，缺少严格求证的思想，在此背景下诞生了对后世同样产生巨大影响的《九章算术》，形成了崇尚实用的中国古代数学文化特征。古希腊强调抽象的思维，严密的推理而忽视成果的应用。由此催生了对后世产生巨大影响的著作《几何原本》，形成了严密、严谨的古希腊数学文化特征。

数学发展中产生的各种问题，是数学文化形成的前提。数学究竟是什么？数学自身相容吗？数学有用吗？不学数学可以吗？等等，为了回答这些问题，认识数学的价值，关于数学文化的研究便应运而生。众所周知，现代数学的发展越来越抽象，越来越严谨，越来越复杂，其难度已远远超出了人们的想象，使人们对数学越来越畏惧，越来越远离，渐行渐远。即使专业数学学者，也仅仅理解自己所从事领域的数学知识，很难了解其它领域的数学。在此背景下，数学文化变成了人们关注的焦点。数学文化的任务便是使人们关注数学、理解数学、应用数学，提高国民的数学修养，吸引更多的优秀青年从事数学研究，应用数学思想，服务现实社会。特别是在我国应试教育体制下，人们普遍认为“数学就是解题”，题海战术是数学教学的重要手段，是教师和学生应试的利器。学数学就是为了考试，除此之外，别无他用，这些做法严重影响数学教育的价值。事实上，虽然我们学到的数学大多数情况下并不能直接运用到日常生活和实际工作中，但无论是日常生活还是实际工作，数学的思维模式、数学的批判精神会潜移默化地影响着人们的思维方式，定量地、全面地去观察、分析和解决问题，并质疑求证结论，更好应用。随着反复实践，量化的思维方式形成范式，最终演变、固化成为文化载体，在社会实践中无处不在，影响着人们的生活方式。

素质教育的兴起，促进数学文化的发展。数学素养是公民文化素质的重要组成部分。数学素养包括从数量角度观察问题；严谨的反思、求证；简洁准确的科学语言表达；缜密的逻辑推理意识和能力；对问题全面完整的把握及合理的量化和简化。研究数学文化的目的在于它可使数学教育从精英教育走向大众教育，影响人们的观念、精神以及思维方式的养成，提升数学素养。纵观数学的历史和发展可知，数学作为科学的语言、技术的基础、思维的体操，既有卓越的智力价值，又有广泛的应用价值，更有深刻的文化价值。数学不仅是有关“数”与“形”知识的历史积累，更是人类智慧和创造力的结晶，是开放性的文化体系。

二、数学文化的特殊意义

数学有三大特征：高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。数学追求的目标是：从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。数学的三大特征和目标追求，使数学文化具有了区分于其他文化的特征。数学的高度抽象仅保留研究对象的主要数量关系或结构，忽略其实际意义，便于将不同的问题放在统一范式下研究，归纳推理出规律，获得具有普遍意义的抽象成果。抽象性的成果，也决定了其结果应用的广泛性。正因为如此，数学成为了科学的语言，成为了其他科学成熟度的度量，成为了由感性认识到理性认识的桥梁。数学严谨的推理和缜密的理性思维使人们从问题的起点到结论，推理的过程必须条理分明、逻辑缜密，推理的结果必须经得起实践检验。整个发现、观察、分析、解决问题的过程必须前后一贯而不容许自相矛盾，追求一种完全准确、可靠、确定的知识。因此，数学的理性思想方法成为了人们一种完美的思维方法，成为一种广泛的思维模式，帮助人们正确地、客观地认识自然、社会和人类自身。几千年来，人类的知识在不断地增长，社会发生了巨大变化，数学思想和方法却一直延续至今，数学成为了自然的语言、科学的工具，对社会的进步表现出了强大的推动力。

数学文化是一个动态系统。该系统以数学科学为文化载体，以其发展历史、思想方法、技术应用及所辐射的相关文化为有机组成部分。数学文化不仅是理性思想传播的一种规范方式，也是一种社会与自然相互联系的度量。数学文化系统自成体系，具有相对的独立性、完整性，又具有一定的继承性和连续性,同时与其他文化还具有高度的相关性和相容性，对其他文化具有强烈的辐射性和渗透性。数学文化具有比数学科学本身更为深邃的内涵和丰富的外延，是对数学理论、方法、技术等知识的高度概括，是数学知识的灵魂。数学文化在形成和发展过程中，对人们的价值取向、思维方式、行为规范等方面所产生的潜移默化的影响，体现了数学的文化价值。随着数学向自然科学、社会科学、经济管理和应用技术等领域的渗透，它在人类文明进步和现代文化形成中发挥着越来越大的作用。

数学文化的核心是数学观念。在长期的数学实践活动中形成的价值观和行为规范就是数学观念。数学观念包含数学思想、理性思维、量化意识、批判精神、反思行为等。社会文化学认为：文化的核心内容是观念，文化特征的最深刻的体现是观念，文化对社会的影响，是通过观念的作用来实现的。数学对社会的影响则要通过数学观念对社会观念的影响来实现。从数学发展史看，数学史上发生过三次大的数学危机，第一次是“无理数的出现”，第二次是“无穷小量的出现”，第三次是“逻辑悖论的出现”。从表面上看，三次危机是数学内部自身的问题，而本质上是数学层面发生的文化危机。因为随着数学自身问题的解决，出现了新的数学观念和文化理性观念，与当时的政治、哲学、宗教等解释世界的方式发生冲突形成文化危机。因此，数学危机由最初单纯的数学内部危机转化为文化危机，影响人们的思想观念及社会的方方面面，促进社会进步。

三、数学语言的文化意义

使用大量符号、数字、图形、公式是数学特定的语言形式。在数学中,各种概念、性质、定理的描述，定理的推理及应用，变量之间的各种相互关系等，都用特有的数学语言来表达，这种语言形式都有特定的符号，也是体现数学文化价值的重要方面。符号是数学抽象的表现形式，是数学的语言，是简化思维的重要手段。数学符号的这种奇特作用受到人们的普遍注意，已成为数学文化的重要部分。许多科学家，特别是数学家都有一种感觉，借助符号推理得到的东西比预想的更多。有些符号似乎具备一些神奇的力量，能在其推理演算中创造十分重要的科学成果。由符号构成的数学模型舍弃了研究对象的各种具体的物质属性，只关注与研究目标相关的高度抽象状态下的数量关系和结构，具有更丰富的普适性和更广泛的应用性。数学特定的符号不仅是数学的语言，也是描述任何一门成熟科学都需要的工具。任何科学的思想和方法，在数学符号语言的框架下表达，推理更为严谨、结构更为清晰、结果更为准确。正如美国数学教育家克莱因指出的那样:“数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样,数学也用符号表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语言不同,日常语言是习俗的产物,也是社会和政治运动的产物。而数学语言则是慎重地、有意地而且是经常精心设计的。凭借数学语言的严密性和简洁性,数学家们就可以表达和研究数学思想,这些思想如果用普通语言表达出来,就会显得冗长不堪。这种简洁性有助于思维的效率。”美国数学史家斯特洛伊克也曾经指出：“一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理，而合适的符号，它就带着自己的生命出现，并且它又创造出新生命来。”

从人的思维形成过程看，幼年时期只会对个别事物进行具体简单思维。随着年龄增长，智力逐渐成熟，则能从个别的、具体的问题，概括总结出共同的特性及变化规律，形成抽象思维。为了思考简便，进而创造简单符号表示，使推理简洁、方便、流畅，节省脑力，延伸思维。数学的研究对象是事物的量和形，数学的研究工具是符号。数学是人类创造和使用符号的智慧结晶，数学符号语言充分展示了人类的思维艺术。德国数学家和哲学家莱布尼兹曾指出：“数学之所以如此有成效,之所以发展极为迅速,就是因为数学有特制的符号语言。”第一，数学符号语言具有统一性，世界各民族都有自己的交流语言，但都使用同一种数学语言，无需翻译，没有民族性和区域性。统一的数学语言，不仅便于数学文化的传承，也便于科学的交流，促进科学的进步。第二，数学符号语言具有准确性，在推理过程中使用数学语言，没有歧义性和模糊性，避免逻辑混乱，便于保持首尾一致。第三，数学符号语言具有简洁性，在数学推理中使用数学语言，便于比较、分析和判断，可以用尽可能少的符号准确表达尽可能多的联系，延伸了人脑的思维功能。数学不断地追求最简洁、最深层次的符号语言，这是思维认识的根本需要，是探索未知世界的必需工具。在科学技术领域，甚至在社会科学的某些领域，人们已经习惯用简洁、准确的数学公式来表述复杂事物之间的联系，理解自然界变化的客观规律，寻找社会现象内在的数量关系，探求超出人类感官所及的自然界的根本。

随着数学渗透到社会、经济、科技的各个领域，数学符号语言已成为人们信息储存的重要手段，也是人们沟通交流的方式之一。数学语言正日益渗透到现代生活的各种信息系统中，正确使用数学语言，成为人们的素养之一。特别是在科学研究和应用技术中，使用符号语言可以全面地、准确地、简洁地表达出隐藏在各种事物深处的变化形式，发现其内在规律和逻辑关系，大大降低了人的思维劳动强度，并缩短研究过程。著名数学家庞加来说过这样一段话：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是唯一真正的客观现实……是我们所能达到的唯一真理。”从运用偏微分方程建立的麦克斯韦方程组描述电磁规律,到爱因斯坦应用不变量理论、黎曼几何创立的相对论;从应用微积分理论得到的牛顿经典力学理论到应用矩阵理论为上世纪的物理学革命奠定基础；从航空航天技术到用数学思想方法编写计算机算法，数学符号语言已成为科学技术的工具。人们应用计算机，借助数学语言，在数学思想方法和理性探索精神的启迪下，解决各式各样的问题。

运用符号进行简洁准确的表达、逻辑理性的推理是数学的特征和应用的技巧。数学经过几千年的发展，形成了一种符号语言，升华成了一种数学思想，固化成了一种数学文化。符号思想是指运用符号及符号组成的数学语言来表达数学的概念、运算、命题及应用的数学思想。符号的抽象程度、可用程度反映数学发展水平和应用层次的高低。符号思想是数学形成抽象化形式的关键，是数学成为理性科学的开端。符号语言是为了理性思维的需要，也是将日常语言理想化、抽象化、模型化的结果。它简明、直观、严密，避免日常语言的复杂性，减少歧义，便于推理。符号语言是数学三大特性“抽象性、严谨性、应用性”的表现形式，是数学文化价值的重要体现。

四、数学思想方法的文化意义

数学文化作为现代理性文化的核心，主要体现在其思想方法上。数学思想方法提供了一种思维方式。这种思维方式是：将实际问题抽象化，运用符号建立数学模型，进行逻辑分析、推理、计算，将结果不断地验证、改进、推广，更深层次地揭示事物内在的联系，在更大范围内进行抽象概括，形成更为统一、严谨的理论，且应用广泛的科学方法。数学思想方法是数学实践的结晶，是从数学知识中抽象出来的一般认识论规律，是数学的灵魂。数学思想方法回避抽象的概念、深奥的定理、复杂的计算、繁琐的推证，通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。这种思想使人们做事目标明确、思维清晰、过程规范、方法创新和行为准确，是现代人必备的基本素养。数学理性思想是数学的灵魂，也是数学文化的体现。数学基本知识和计算方法蕴含数学的理性思想。例如，数学上“集合”的观念，它反映人们认识自然从着眼于个体到着眼于整体的进步，可以从全局观点把握分析问题，避免解决问题的片面性，为系统论和结构论思想的产生奠定了基础；解方程思想，揭示着已知和未知之间的联系规律，对从已知把握未知，最终了解未知有重要的方法作用；概率统计中的随机思想，可以使人们从个别观察一般，通过偶然现象认识和把握必然规律；分析中的极限思想，使人们通过有限认识把握无限。

对任何事物都要进行质和量两方面的规律研究。数学思想和方法是对事物定量规律研究的有力工具。因此，数学思想方法广泛应用于自然、社会等领域，这也是数学对人类文化的重要贡献之一。近代科学的发展成果有力诠释了这一论点，17世纪中叶，随着微积分学的成熟，牛顿创立了现代力学；20世纪初，爱因斯坦的相对论是在现代数学的基础上建立起来的，其质能转换定理也是现代数学的结晶，为原子能的释放和利用奠定了基础；19世纪，数理逻辑产生和发展为计算机的诞生开辟了道路，提供了理论基础。当代，由于计算机的诞生，数学从认识物质世界为主转变为直接参与改造物质的实践活动，带来了科学和技术的进步，也拓展了数学应用的广度，改变了人们对数学的看法。以前，人们认为数学是抽象理论，难以应用，如今，数学不仅实用，而且可以直接应用于生产第一线，产生了惊人的完美的应用成果。在科学技术中，信息、航天、材料、能源、生物、医药都成功地应用了数学。信息科学与数学的联系更为密切，如大数据、云计算、信息传输与安全，这些都离不开数学。数字通讯技术、激光照排技术、矿资源勘探技术、天气预报技术、生物技术、航天技术等，都是数学理论直接应用的结果。美国总统科学顾问E·David曾说：“高技术本质上是数学技术。

数学思想方法也广泛渗透到社会科学中，如经济学、管理科学中广泛应用数学方法。数学是现代经济学、管理科学理论研究的基本工具。通过建立经济数学模型和应用数学上的逻辑推演，来寻求宏观经济和微观经济的内在运行规律是经济学家常用的有效手段。从1969年以来，诺贝尔经济学奖得主中，有超过半数其贡献是运用数学方法解决经济问题。数学与金融科学交叉形成金融数学。运筹学中，线性规划、非线性规划、对策论、决策论、排队论、最优控制、组合优化等在交通运输管理、商业管理、政府决策等许多方面得到广泛的应用。“似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。”明代学者徐光启对《几何原本》的评价，其本质是对数学应用思想的最好概括，也是对数学的文化凝练。

从文化角度观察数学的意义，数学是一种普遍适用的并赋予人以智力和能力的知识和思想方法体系。数学不仅是传播思想的一种基本方式，也是自然与社会相互联系的尺度。自然界的和谐性、合理性可以用数学语言来描述。运用符号语言进行简洁表达、逻辑思维，是数学的特征，是数学应用的技巧，是一种数学文化形态。数学思想方法是一切思维中最纯粹、最深刻、最有效的手段，是一种典型的认识方法和广泛的思维模式。数学理性探索精神是创新和获取真理的最高源泉，是数学文化对其他文化影响的本质所在，是理性文化的核心。在文化视野下，数学不仅是一种知识，更是一种素养；不仅是一种应用工具，更是一种思维模式；不仅是一种科学，更是一种文化。数学作为科学的语言，技术的基础，思维的体操，理性的精神，既有卓越的智力价值，又有广泛的应用价值，更有深刻的文化价值。

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(责任编辑：李瑞兰)

2017-01-12

李万军(1964-)，男，河南洛阳人，河南牧业经济学院教授，学士。

河南牧业经济学院科研创新团队建设计划资助项目(编号：201612)；河南牧业经济学院本科数学课程教学团队资助项目(编号：201618)。

10.3969/j.issn.2096-2452.2017.03.008

G40-055

A

2096-2452(2017)03-0037-05