随机微分方程在图像恢复中的应用

崔蕊

摘 要：图像在传送、保存、应用过程中受实际因素影响时，会出现图像不清晰的现象。但是在实际应用中，我们需要辨识度高和清晰程度高的图像，因此需要对不清晰图像恢复方法进行研究。在图像恢复模型中，偏微分方程的模型居多，利用费曼一卡茨公式可以建立偏微分方程与随机微分方程的关系，所以文章采取随机微分方程对图像进行恢复。

关键词：随机微分方程；热方程；灰度图像

一、引言

图像是指各种图形和影像的总称。在传送、保存、应用图像过程中受实际因素影响，就会出现图像不清晰的现象。但在实际生活中，人们希望能够得到高质量的图像，因此有必要对图像复原领域进行研究，从而在图像应用时得到高质量的图像。图像恢复包括很多方法，本文主要研究灰度图像的复原问题。

虽然在图像复原领域偏微分方程模型应用广泛，但在图像复原中应用偏微分方程模型仍有很多弊端，本文利用费曼—卡茨公式在偏微分方程与随机微分方程之间建立关系，以解决相关问题。本文用随机微分方程的方法对噪声图像进行滤波，使图像满足人们的需要。

二、 噪声图像的数学模型

定义u：D→R2是初始采集的灰度图像，u0：D→R2是带有高斯噪声的图像（即传输过程中得到的不清晰图像），可以这样表示：u0=u+η，其 中η代表高斯白噪声。图像复原问题等价于已知u0，以此为条件复原初始采集的灰度图像u。用随机微分方程构造的模型为图像复原提供一个新思路。

笔者利用费曼—卡茨公式在偏微分方程与随机微分方程之间建立关系，建立了随机微分方程模型。

三、随机微分方程模型的热方程解法

图像复原问题等价于对图像进行滤波，高斯滤波过程等价于求解热方程的初值解，利用费曼—卡茨公式构造图像复原模型，二维高斯函数与污染图像卷積的结果是图像复原之后的结果。定义X过程是反射型随机过程。可以用下式表示：

五、图像复原质量的评价标准

目前针对图像恢复模型的优良度的评价还没有达成统一标准，本文列举以下两条评价方法。

1.图像边缘和纹理细节的保留能力

我们利用图像边缘和纹理细节来辨别图像，所以需要了解图像边缘和纹理细节，如果经过恢复模型处理后的图像边缘于不清晰，细节不完整，从整体上看，图像就会被损坏，这个模型就不值得应用。所以，可利用图像的界限和细节的保留度来考量模型的优良度。

2.模型的稳定性和计算复杂性

利用随机微分方程与偏微分方程方法都可以对被高斯噪声污染的图像进行滤波，达到去噪的目的，说明两种模型对污染图像的滤波过程都有效。从评价方式来说，由于偏微分方程中的热扩散模型采用相同的扩散速度来平滑图像，导致图像边缘不清晰，不能保留边界，因此，随机微分方程的方法优于偏微分方程。

参考文献：

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