数学文化之数学悖论

王昭辉+许珍超+刘俊含+南华

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉 133002）

摘要：本文主要研究数学文化之数学悖论，从数学悖论的内涵、在数学发展史中的影响、与创新思维的联系等多方面进行分析，并探讨、实现数学文化-数学悖论的生活化。

关键词：数学悖论；数学文化；数学危机；创新思维

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）49-0093-02

一、概念的界定

悖论（paradox，或者antinomy）意为自相矛盾的论点、矛盾，源于哲学与逻辑学。指看似无懈可击但逻辑上却导出相互矛盾结果的命题或理论体系[2]。中国古代关于“自相矛盾”的故事可以说是对悖论的一种最通俗的诠释。数学悖论作为一种悖论，是逻辑矛盾的数学结论，指的是在数学领域无法解释的认知矛盾。其包含的内容较为广泛，其中包括自相矛盾的论述；对既已认同的事实或真理的误解和反驳；形似正确的错误命题和形似错误的正确命题等等。

数学悖论有这样一些特征。首先，数学悖论不是超乎客观事实的凭空捏造，是人类对于客观事物的认识。其次，数学悖论体现了思维的独创性、跳跃性，是一种独特创新的思维活动。再次，数学悖论的产生常常反映人类思维从不完备或者对立范畴向统一相容的过渡。这种矛盾冲突往往可以凭借新的数学规范得到解决。

数学悖论的主要形式有3种：①佯谬；②似是而非的理论；③一系列的推理看上去似乎无懈可击，但最终导致逻辑上的自相矛盾。事实上悖论蕴含着真理，当人们突破逻辑局限，把悖论解释清楚时，便会获得认识上的一种飞跃，也因此使得数学文化中的悖论显示出巨大魅力。

二、数学悖论与数学的发展

数学的发展总是伴随着矛盾的冲突与解决，当矛盾达到顶峰乃至于撼动数学基础时，就会呈现危机。数学危机是数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾[3]。这种根本性矛盾能够暴露，往往是与人们在相应的历史条件下的认识水平有密切关系，说明在某个时期，理论体系的逻辑基础存在局限性，从而激励人们突破这种局限性，达到数学的新发展。

在古希腊人们对数的认识刚由自然数扩大到有理数的早期阶段，毕达哥拉斯希学派的希帕索斯（大约470 B.C.）提出：等腰直角三角形的斜边与一条直角边是不可公度的，它们的比值不可能是整数或整数之比[4]。这一发现不仅是对毕达哥拉斯学派的学说的挑战，同时也是对当时人们的普遍见解的极大冲击，因此直接导致了古希腊数学理论的“危机”。这一方面促使人们进一步去了解和理解无理数的同时，另一方面引发了公理几何和古典逻辑的诞生。同时也表明直觉、经验未必可靠，严密的推理、论证才真正可靠，由此欧几里德几何的公理化体系以及亚里士多德的逻辑体系建立起来了。

17世纪末，微积分理论（由牛顿和莱布尼兹创立）的发现是数学史上最重要的划时代的事件，在那个时期主要建立于无穷小分析。1734年，当时颇具影响力的英国红衣大主教贝克莱在他的《分析学家》一书中提出：牛顿先认为无穷小量不是零，然后又令它为零，自相矛盾，并且由此产生的流数事实上是0/0，是“依靠双重错误得到了虽不科学但正确的结论”，在数学史上称之为“贝克莱悖论”[4]，引发了第二次数学危机。贝克莱对“无穷小”的攻击，虽然是出于通过对微积分的批判达到为宗教神学作论证的政治目的，而此悖论本身确是思想方法问题，微积分的基础不稳固是其根源所在：数学方法的形式特征和无穷小量的辨证性间的矛盾[4]。为解决第二次数学危机，柯西、魏尔斯特拉斯、康托尔等作出巨大贡献，他们在极限理论基础之上建立了微积分学，并进而确立了分析学基础的逻辑次序：实数系-极限论-微积分。

17到19世纪近代数学蓬勃发展，在巴黎召开的第二届国际数学家大会（1900年）上法国数学家庞加莱（1854-1912年）甚至宣称：“数学的绝对严谨性看来直至今天已经达到了”。然而，事隔不到两年，英国数理哲学家、逻辑学家罗素（1872-1970）发表了一条令人震惊的消息：不存在所谓的绝对的严谨性，集合论本身自相矛盾！史称“罗素悖论”（这一悖论又通俗化地称为理发师悖论），形成了数学史上的第三次危机。这一次的危机不仅大大发展了数理逻辑，也促成一批现代数学的产生，形成了在本世纪初不同的数学哲学派别，这就是以罗素为代表的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881-1966）为代表的直觉主义学派和以希尔伯特为代表的形式主义学派[5]。三大学派的数学成果表现在数理逻辑学科的形成以及它的现代分支（证明论等）的形成上。

三、数学悖论与创新思维

当然，数学危机不会只有三次，数学悖论也不止三次，只是造成重大的全局性影响的是这三次。数学悖论是在既有的数学规范中产生的认识矛盾的思维体现。回顾三次数学危机和危机的消除过程可以看出，数学悖论的这种矛盾性是推动人类思维进步的一个重要因素。因此从这个意义上可以说创新性是数学悖论的一个最重要的特征。不难发现研究这些悖论，并试图理解、解释某悖论时，我们的头脑会无休止的随之运转，解决它的过程中，我们的逻辑思维、探索思维得到了锻炼和提高，而这些基本素质正是创新思维所要必须具备的。创新就是要在“无中生有”，要在现有的环境中发现、找到那些隐暗藏起来的隐秘。创新思维是如今社会非常欠缺的一种素质，所以说更多地去了解数学悖论可以让我们拥有更强的逻辑思维，提高我们的逻辑思维能力。

四、生活中的悖论

悖论绝不是恶意的无稽之谈，当然也不会真正阻碍思维的发展。它的奇妙之处在于常常暗藏某种逻辑错误自相矛盾，难以破解。除了与数学命题相关的悖论，生活中也会有各种类型的悖论。人们时常在按照常规推理想要肯定某种论断或某种道理时，却又在无意中否定了它们。因此如果能够洞若观火，巧妙破解，也可以对悖论及悖向思维加以利用。例如在辩论赛中，如若不涉及对方自我，是很难察觉其中的悖谬，一旦牵涉到对方，那么悖论立显。于是运用逻辑学中的二难推理方式就可以揭露对方悖论的相互矛盾，对对方的悖论进行挟制、攻击，使之进退失据，无法自圆其说。

初中二年级有这样一个题目。同乘一架班机的两个陌生人A与B，A：“你住在北京？什么地方？”B：“望京”。A：“我的大学同学千玲也住那里”。B：“呀，真是太巧了，我认识她，和我是一个小区呢！”这是一个“小世界悖论”，已有统计学家对这种巧合做了研究。结果表明任选两人，若每人平均认识一千人，则约有百万分之一的概率他们彼此相识，而这两人有一个共同朋友的概率约为百分之一，他们由熟人搭上关系的概率更是高达99%。这个悖论说明了人和人的朋友圈是多么紧密[6]。进而也可以解释流言蜚语不胫而走，坏事传千里了。

课堂上教学时，我们应该适当学习探讨一些数学悖论。悖论问题具有很强的研究性和趣味性，有利于激发学习数学的兴趣和热情；有利于培养学生的发散思维、创新思维，培养学生批判的、辩证的思维方式；有利于开展多姿多彩的学习活动；有利于人们去感受、体会数学的美与和谐。

五、结语

有关数学悖论的问题和有趣的故事不胜枚举，它们看似荒诞却蕴含哲理。其中包含有许多让你脑洞大开的问题，生活中当然需要有一双善于发现的眼睛，让我们不断去探索，从中也可以体会数学的精确、严谨、和美妙。探究数学的奥妙其实是一件非常有趣又有挑战性的一件事情。

参考文献：

[1]顾沛.南开大学数学课程十年来的探索與实践[J].中国高校研究，2011，（9）：92-93.

[2]赵斌.浅谈数学悖论问题的探讨[J].北京现代科学，2012，（5）：35.

[3]张楚廷.数学文化[M].高等教育出版社，2000.

[4]韩雪涛.数学悖论与三次数学危机[M].湖南科学技术出版社，2006.

[5]霍华德伊夫斯（Howard Eves）.数学史概论[M].哈尔滨工业大学出版社，2013.

[6]肖林.小世界的悖论[J].时代数学学习.2004，年Z1期，78-79.