儿童数量表征研究评述*

柳笛 杨纯

(华东师范大学教育学部,上海 200062)

儿童数量表征研究评述*

柳笛 杨纯

(华东师范大学教育学部,上海 200062)

数量表征是个体头脑内部对数量刺激的解释、表达与操作的过程，是人类认知发展的重要组成部分。儿童数量表征随着个体年龄的增长趋于成熟，具体分为四个发展阶段：(1)最初形成非符号数量表征；(2)将非符号数量表征与符号数量表征建立联系；(3)扩展整数表征的范围；(4)精确地表征有理数的大小。本研究从近20年有关数量表征的行为研究和认知神经科学研究入手，深入分析有关儿童数量表征的发展趋势与内在加工机制，总结了目前有效提高儿童数量表征能力的教育干预与训练方案。

数量表征;非符号数量表征;符号数量表征;干预

身处一个全球化、互联网与大数据交互的时代，人们在学习、工作和生活中时刻都需要对数量进行表征。数量表征是指个体头脑内部对数量刺激的解释、表达与操作的过程(Brysbaert，2004)。换句话说，数量表征就是个体理解数量概念及其关系的概念系统(陈英和，2015)。这里，个体对数量意义的理解不仅是单独理解特定数量的大小，而且包括对量与量之间的复杂关系的理解。信息加工理论和核心知识理论皆强调数量表征是人类认知发展的重要组成部分(Feigenson，Dehaene，& Spelke，2004)。数量表征的理解与掌握可帮助个体深刻体会数概念，促进长时记忆中储存的算术事实转化为有效的计算策略，从而提高运算流畅性并改善数学能力(Siegler & Pyke，2013)。

儿童早期数量表征的表现能够预测其以后的数学成绩(Watts，Duncan，Siegler，& Davis-Kean，2014)，还能预测其在阅读(Duncan et al.，2007)和科学领域(Sadler & Tai，2007)的成绩，甚至能预测个体成年以后的社会经济状况(Ritchie & Bates，2013)。在教育公平的视阈下，为了缩小低收入家庭儿童与高收入家庭儿童在数学知识上的差异，较多研究开始关注儿童早期数量表征的发展。目前，国内外研究者从行为研究和认知神经科学角度探讨了儿童数量的认知加工与表征，分析了儿童早期数量表征对以后数学能力的影响。相关研究成果在教育实践中的转化也引起众多研究者的浓厚兴趣，人们开展了丰富的数量表征教育干预和短期训练，希望以此加深对儿童数量表征的理解与掌握，从而改善他们的学习成绩。通过对近20年国内外文献的梳理，本文着重分析儿童数量表征的发展趋势及其大脑神经机制，以及在此基础上开展的教育引导和干预训练。

一、儿童数量表征的发展阶段

个体生活经验的日益丰富，数字范围的不断扩大，势必要求儿童能够更加精确地表征数量。从新生儿到成熟个体，数量大小的表征大致经历了四个阶段：(1)最初形成非符号数量表征；(2)将非符号数量表征与符号数量表征建立联系；(3)扩展整数表征的范围；(4)精确地表征有理数的大小。这四个发展过程是相互交织重叠的，而非线性连续的(Siegler，2016)。

(一)非符号数量表征

非符号数量表征是指个体大脑内部对视觉、听觉或跨感觉通道所呈现的实物或实物记号的数量刺激进行解释和表达的过程(赖颖慧，陈英和，陈聪，2012)。非符号数量表征具有遗传基础，在动物和人类个体的早期广泛存在(陈英和，赖颖慧，2013)。在数量表征机制的发展进程中，婴儿最先展露出非符号表征能力，7个月的婴儿就能够感知到相同数量物体的刺激，比如3个实物和3种语调(Jordan & Brannon，2006)。

研究者通过脑成像技术，为我们进一步揭示了个体数量表征的内在神经生理机制。从婴儿期到成年期，个体数量表征的内在机制其实与人脑顶叶内部的顶内沟(intraparietal sulcus，IPS)和背外侧前额叶皮质区域(dorsolateral prefrontal cortex，DLPFC)紧密相关。德国学者Nieder(2011)的电生理学研究发现，数字刺激能快速激活顶内沟的神经元，并实时开启数字处理模式，同时将信息迅速移动到与之相关的背外侧前额叶皮质区域，从而通过信号控制个体的反应行为。

行为研究发现人类对非符号大数量(数量4以上)的表征，主要受数量比例的影响(Cantlon，Safford，& Brannon，2010)。新生儿能够辨别数量比例是3∶1的点阵，而并不能辨别2∶1的点阵。6个月的婴儿已具有数量的初步感知，能够辨别数量比例是2∶1的点阵。9个月婴儿数量分辨的精确性相对提高，能够区分数量比例是3∶2的点阵(Xu & Arriaga，2007)。婴儿的这种受数量比例限制的特点，在区分声音序列任务上同样存在(Lipton & Spelke，2003)。最近的研究表明，婴儿能够建立起一般的定量表征，包括数字大小、空间大小与时间大小。美国学者Lourenco和英国学者Longo(2010，2011)合作研究发现，若婴儿长期看到两个刺激中较大的一个刺激物用特定的方式进行装饰，随后他们会不习惯其中较小的刺激物采用相同的装饰方式。在适应期，若两个条状物中较长的一个有条纹，婴儿随后会不习惯较短的物体有条纹。这说明，定量表征存在于长度、时间和数量等任务上。

从人类的神经影像数据与动物的电生理数据来看，数量、空间范围和时间距离等任务都会激活接近额顶叶网络的区域(Cohen，Lammertyn，& Izard，2008)。因此，从婴儿期开始，非符号数量不仅可以单独作为一个特定维度进行表征，而且可以放在一个更普遍的定量系统中进行表征(Newcombe，Levine，& Mix，2015)。一般认为，非符号数量表征的进步，在很大程度上反映了一般定量概念的发展。

(二)从非符号数量表征到符号数量表征

符号数量表征是指个体大脑内部依赖于符号知识对数字和数词等形式的数量进行解释和表达的过程(赖颖慧等，2012)。个体早期发展的非符号数量表征知识，对以后符号数量表征知识(如，口头表达“8”和阿拉伯数字“8”)的学习起到潜移默化地影响。基于这一推论，法国学者Dehaene(2008)提出假说：个体在学习数字符号的时候，只是把阿拉伯数字的字形与对应的数量建立联系。该假说为个体在理解数字符号系统上的差异，提供了一种合理的解释，即非符号数量表征能够促进符号数量表征的发展(Halberda，Mazzocco，& Feigenson，2008)。法国Piazza研究团队(2007)采用功能性磁共振成像技术(fMRI)为该推断提供了佐证，即发现非符号数量任务和符号数量任务共同激活人脑顶叶和前额叶皮层的神经元群体。也就是说，人脑在处理非符号与符号数量任务的加工区域存在重叠。

非符号数量表征在掌握符号数量表征的过程中发挥了关键作用，并能够解释个体间的差异。有大量研究支持如下观点，儿童在辨别非符号数量大小任务上的表现能够预测个体当前甚至以后在比较数字大小、算术运算和数学成就等方面的表现(Gilmore，McCarthy，& Spelke，2010)。也有研究发现，通过干预儿童在估计点阵任务上的表现可以提高儿童的运算速度(Hyde，Khanum，& Spelke，2014)以及成人在限定时间内解题的数量(Park & Brannon，2013)。

然而，儿童非符号数量表征与符号数量表征的关系如何？儿童非符号数量表征与符号数量表征之间是否存在正向因果关系？为此，研究者对非符号与符号数量表征之间的关系强度进行了进一步研究。结果发现，个体在非符号与符号数量表征任务表现上的差异，以及非符号数量表征与数学成就之间的相关性，都远远弱于他们之前所提出的假设。例如，Lyons等(2014)以1391名小学生为研究对象，发现非符号数量表征的表现与运算能力之间的相关系数只有0.24。进一步扩充研究样本，以超过10000名的年龄介于11岁至85岁的个体为研究对象，发现非符号数量表征的表现和数学成就之间呈弱相关，相关系数仅为0.21(Halberda，Ly，Wilmer，Naiman， & Germine，2012)。

其次，研究者对非符号数量表征的干预研究亦得到与原假设不一致的结果。虽然有三项研究结果显示，运用非符号数量表征干预训练对符号运算产生了积极影响，但包含相同数量的非符号表征训练方案未能产生预期效果(Dewind & Brannon，2012)。

此外，脑成像研究数据证实，非符号数量表征与符号数量表征之间的关系较为复杂。虽然研究表明非符号数量表征任务与符号数量表征任务都在相同的脑区激活，但在这些区域里由相同数量的非符号数量表征与符号数量表征引起的加工活性分布呈低相关，甚至无关(Bulthé et al.，2014)。基于行为数据，也很难推断非符号数量表征与符号数量表征共享同一个神经表征系统。目前，探讨非符号数量表征与符号数量表征之间究竟存在何种关系似乎并不重要，最重要的是考察非符号数量表征是如何帮助儿童理解大数量的符号表征的。比如，即使个体不能准确辨别50个点阵与51个点阵，但他只要掌握了十进制就知道“51”比“50”大。

(三)从小数量到大数量的符号数量表征

学习数量大小是一个缓慢、渐进的过程。对儿童来说，能准确从1数到10，并且知道后面的数字比前面的数字大，这并非一蹴而就的过程。即使经过一年的学习，儿童能正确地从1数到10，但其对10以内各数大小的认识仍比较有限(Le Corre & Carey，2007)。

儿童知道数字1至10的相对大小，有学者认为这种数量关系是一种近似压缩的对数模型。美国儿童数量认知科学研究的代表性人物Siegler以及众多国外学者都采用数字线估计任务，来描摹儿童从小数量到大数量的符号数量表征发展趋势。典型的数字线估计任务是呈现一条线段，线段左端标0，右端标10(100或1000)，被试根据出示的数字在线段上标注其相应的位置。

多重表征理论认为，在不同数量范围下，儿童数量表征模型由对数表征模型转向对数与线性表征模型共存，最终过渡到线性表征模型(徐华，陈英和，2012；周广东，莫雷，温红博，2009)。在0～100数量范围内，5～6岁儿童形成对数表征模型，7～8岁儿童开始具有线性表征模型(Laski & Siegler，2007；Siegler & Booth，2004)。在0～1000数量范围内，7～8岁儿童形成对数表征模型，9～10岁儿童开始具有线性表征模型(Booth & Siegler，2006)。在0～10000数量范围内，9岁儿童形成对数表征模型，12岁儿童开始具有线性表征模型(Thompson & Opfer，2010)。徐华(2011)采用0～10数字线估计任务，考察了3～4岁儿童的数量表征模型，结果发现按照静态分组，中国儿童在4.41岁就形成了线性数量表征。一些跨文化研究亦发现类似的结果，即相应的表征模型与发展趋势出现在年龄较小的中国儿童中(Siegler & Mu，2008)。在不同数量范围下儿童出现线性表征模型的年龄各异，与儿童数学学习经验密切相关。一般情况下，3～6岁儿童通过计数活动认识数字0～10；6～8岁儿童通过计数活动，以及一位数、两位数的加减法认识数字0～100；8～10岁儿童通过一位数、两位数的乘除法认识数字0～1000；9～12岁儿童通过多位数乘除法，认识数字0～10000或者更大的数。

为了更深入地揭示出儿童数量估计的认知过程及发展模式，最新研究不再拘泥于所谓的“模型”争论，转而关注其背后的心理加工方式与相应策略。我国学者刘国芳和辛自强(2012)采用数字线估计任务考察了5～6岁儿童数量表征的准确性在不同数字上的表现及其采用的估计策略，结果发现数字估计准确性在不同的估计数字上有所不同，且儿童较多采用中点策略和端点策略。

(四)从整数数量表征到分数数量表征

数量发展整合理论(Integrated Theory of Numerical Development)在承认个体掌握分数知识与整数知识差异的同时，更突显分数知识和整数知识发展的联系。该理论强调实数域内数的连续性，认为所有实数都可以用数字线上的点来表示(Siegler et al，2011)。

大量实验数据证实分数数量表征能预测高级的数学认知能力，说明分数数量表征对于个体数量表征机制发展的重要性。通过分析美国与英国的大型纵向数据，人们发现在控制整数运算知识、智力水平、工作记忆、家庭收入与教育水平等变量后，五年级小学生的分数表征成绩可以预测其高中的代数成绩与数学学业成就(Siegler, Duncan, Davis-Kean, Duckworth, Claessens et al., 2012)。

为了探明分数数量表征是否沿着与整数数量表征相似的路径发展，大量研究开始考察儿童分数数量表征的发展趋势与表征模型特点。张丽等(2014)以3～6年级小学生为研究对象，采用0～1分数数字线估计任务进行测试，结果发现五年级儿童分数数字线估计的准确性比四年级有显著提高，且五六年级儿童主要采取了线性表征，而三四年级儿童没有明显的线性表征或对数表征的倾向。卢淳等(2014)以六年级小学生和大学生为被试，发现被试在0～1数字线估计任务上呈线性表征，且小学生分数数字线表征的准确性显著低于大学生。Siegler 等(2011)以六年级和八年级小学生为被试，发现在0～1数字线估计任务上八年级学生分数数字线表征的准确性显著高于六年级学生，且八年级学生数字线估计的线性拟合度比六年级学生好。可见，随着对数学符号系统的深入理解与学习，个体分数数量表征发展趋势表现为随年龄的增长而发展。

分数数量表征与整数数量表征的关系如何，值得进一步研究。若整数数量表征能够积极影响分数数量表征的发展，甚至能够说明整数数量的理解是分数理解的重要前提，这将为Siegler 等提出的数量发展整合模型提供有利证据。研究者先从神经科学视角探讨了二者之间的关系，发现整数数量表征与分数数量表征所激活的脑区相同。这是从脑神经机制方面，为分数知识和整数知识发展存在联系提供有利支持。非符号分数数量表征与符号分数数量表征能够激活额顶叶网络脑区，该区域是处理整数数量表征的脑区(Jacob，Vallentin，& Nieder，2012)。对大学生而言，处理分数大小问题会自动激活人脑顶叶内部的顶内沟(Jacob，Nieder，2009)。

近年来，研究者采用数字线估计任务直接考察整数数量表征与分数数量表征之间的关系。例如，Thompson等(2008)对64名1～3年级学生进行测试，采用数字线估计任务发现学生整数估计的表现与分数估计的表现呈负相关。然而，Fazio 等(2014)对53名小学5年级学生进行的调查发现，整数数量大小比较的正确性、数量估计的准确性与分数估计的准确性存在显著正相关。张丽等(2014)对155名3～6年级小学生采用0～1分数数字线估计任务和0～1000 整数数字线估计任务进行测量，发现整数数量表征和分数数量表征呈显著正相关。纵向研究的数据也表明，个体在整数数量知识上的差异能够预测其后来在分数大小和算术知识上的差异(Jordan et al.，2013；Vukovic et al.，2014)。美国卡梅隆大学Bailey和Siegler等人(2014)对100多名儿童进行了为期7年的纵向跟踪研究，发现在控制智商、执行功能、种族、性别、家庭收入和父母教育水平等因素后，儿童6岁的整数数量知识能够预测其13岁的分数数量知识与分数运算。可以看出，整数数量表征与分数数量表征关系的研究结果存在不一致，这可能与研究对象年龄、样本量、测试任务等因素有关，因而仍需要深入考察整数数量表征与分数数量表征之间的关系。

二、数量表征的教育干预研究

儿童数量表征呈现出不同的发展阶段，总体而言，随着个体年龄的增长，儿童数量表征不断趋于成熟。研究表明，数学活动经验(Butterworth，2010)，认知加工能力(如空间能力、工作记忆、反馈等)(Geary et al.，2007)等因素会影响儿童数量表征的发展。因此，对儿童数量表征的教育干预就显得尤为重要。

(一)教育干预

数学活动经验被认为是影响个体数量表征系统发展的重要因素。Dehaene 等(2008)证实学习经历和教育机会对数量表征有影响。早期数学活动给了儿童运用数量表征的机会，这也可能会提高他们的数学认知能力。

一些行为研究进一步支持了这一观点。在接受正式学校教育之前，来自低收入家庭的儿童与来自中等收入家庭的儿童在早期数学经验上存在显著差异，与来自中等收入家庭的儿童相比，来自低收入家庭的儿童在家里接触数学材料和体验数学游戏活动的机会相对较少(Ramani & Siegler，2008)。美国学者Fuhs及其同事(2013)研究发现，来自低收入家庭的儿童的数量表征与数学能力之间存在弱相关：当控制间接变量词汇表达因素后，二者的相关性已经微不足道，控制直接变量词汇理解因素后，二者无显著相关。低收入家庭的儿童缺乏正式学校教育之前的早期数学经验，这影响了数量表征和数学能力之间的关系。低收入家庭的儿童在入学之前，缺少机会参与早期数学活动，所以在数量表征方面表现欠佳。

在以小学生为被试的研究中发现了与学前儿童研究类似的结果。Fuchs等(2013)多位学者合作开发了“挑战分数”数学课程，选取四年级小学生为被试，并将他们随机分为干预组和控制组。干预组接受的课程包括分数大小的比较、排序，以及在数轴上标识分数等；控制组接受的课程节选自普通数学课本上的相关内容，强调分数的整体与部分的表征(例如把1个圆平均分成4份，可以用1/4表示其中的1份)以及分数运算步骤。结果发现，接受“挑战分数”干预课程的被试，无论是在分数的概念性理解还是分数运算上都比控制组的学生表现要好。

后续研究将被试扩展到成人领域。比利时学者Nys等人(2013)根据教育经历将被试分为三组：接受过学校教育的成年人、未接受过学校教育的成年人、只接受过数学教育但未接受过学校教育的成年人。结果发现，在比较点阵数量大小任务和比较数字大小任务中，未接受过学校教育组被试比其他两组被试反应慢，错误率也较高；在非符号数量与符号数量匹配任务中，未接受过学校教育组被试比其他两组被试表现得更加困难。这些发现表明，经过数学教育获得准确的数学知识，将有助于改善个体数量表征的发展。

(二)短期训练

1.数字棋盘游戏

Siegler等(2004)认为数字棋盘游戏(Number Board Game)能够促进儿童理解数量大小，完成从“1～10”或者“1～100”的数数到知晓数量大小的转变。棋盘游戏为理解数字含义提供了多元的感知觉线索，骰子显示的数字越大，表明：(1)棋子移动的距离越长；(2)棋子到达预定位置所需的时间越久；(3)如果棋子每次走一格的话，手部移动的次数就越多；(4)如果边数边移动棋子的话，口述的数词就越多。在游戏的过程中，棋盘游戏为儿童学习数量大小知识提供了空间、时间、运动、言语和听觉等方面的线索，多元感知信息构成了一个构建数量线性表征的支持体系。

美国学者Ramani和Siegler(2008)以低收入家庭的学前儿童为被试，对他们进行了为期2周的数字棋盘游戏训练，每周训练2次，每次15～20分钟。研究发现，儿童对数字线估计的精确性和他们的数学能力获得显著提高，而且他们的成绩超越了进行非数字棋盘游戏控制组儿童。这表明短期的数字游戏训练有助于数量表征的理解，能够影响儿童的数量估计精确性与数学成绩。

2. 感觉运动空间训练

另一个发展儿童数量知识的方法是感觉运动空间训练项目(Sensori-motor Spatial Training program)。该项目由德国学者Fischer等(2011)开发。研究者把躯体动作在数字舞蹈垫的反应(即双脚踩在目标数字在数轴上的位置)信息输入，并进行分析。该任务表征的空间特点与反应模式将充分激活个体心理数字线的表征。随着激活地增加，心理数字线表征的精确性逐步提高。研究者以5～6岁儿童为被试，对其进行了为期3周的干预训练，每周训练2次，每次10～15分钟，并在训练前后分别对被试进行测试，结果发现，经过训练后，儿童在数字线估计任务中的表现有显著改善。

不难发现，以上两个训练项目都是线性板游戏(物化的数字线估计任务)，这有助于形成心理数字线，增强空间对应与表征能力(Siegler & Ramani，2009)。干预项目的另一个共同特点是有助于儿童理解如何将数字映射到数量大小上，同时强化儿童的数数能力。对于数量范围0～100的游戏来说，要求儿童使用数数策略去解决问题，他们可以从任意一个数接着往后数，对游戏方格进行再次编码，而不是每次都从最小值“1”往后数。

三、对未来研究的展望

近年来，国内外研究团队对个体数量表征的行为发展特点与脑神经机制开展了系统研究。随着对数量表征认识的不断加深，有一些问题开始浮现出来，需要人们进行进一步探索与分析。

一是发展研究。未来的研究可尝试从行为机制和神经机制上对非符号数量表征、符号数量表征、整数数量表征、分数数量表征的发展特点、行为机制和神经机制进行研究，进一步探索非符号数量表征与符号数量表征、整数数量表征与分数数量表征的区别与联系，并从数量表征对儿童数学成就的作用等角度全面、系统、深入地探讨数量表征的规律与作用。

二是认知机制研究。众多研究发现，个体数量表征的精确性与认知加工的多个领域相关联，包括中央执行功能(Laski & Siegler 2014)，工作记忆(Friso-van den Bos et al.，2013)，注意和非言语推理(Vukovic et al.，2014)，空间能力以及语言(Jordan et al.，2013)。然而，这些认知加工领域之间是如何相互作用的，与数学能力的关系如何，这些方面均尚不明晰，需要进一步深入探索。

三是数量表征与数学运算的研究。已有研究证实儿童的数量知识与其在整数和分数运算上的表现存在相关性。数量知识的深刻理解有助于提高个体在整数运算与分数运算中的速度与准确性，同时能够促进其他数学技能的提高。然而，数量表征有效地影响算术运算的具体细节尚不清楚。

四是跨文化研究。此类研究有助于我们从比较的视角去理解中国学生数量表征的本质，从而为改善教学计划提供信息，以便使学生的数学认知得到更好地培养与发展。Siegler等(2008)发现，中国5岁儿童对1～100整数数量估计的准确性显著高于美国同龄儿童，且准确性近乎达到美国一二年级小学生的水平。5岁的中国儿童就开始采用线性表征模式，而同龄美国儿童还是采用对数表征模式。最新的一项研究表明，中国六年级和八年级小学生在分数数量估计任务中的准确性显著高于美国同龄儿童(Torbeyns，Schneider，Xin，& Siegler，2015)。这两项研究表明成长在不同文化中的学生在数量表征的表现上存在差异，因此需要进一步考察导致中美儿童数量表征差异的可能原因。

五是数量表征干预训练研究。干预研究表明，采用一定训练程序的棋盘游戏和体感运动游戏可以有效地培养儿童的符号数量表征，但是还没有研究对非符号数量任务的效果进行检验。未来的研究应比较非符号数量干预任务与符号数量干预任务，来评估哪种干预措施对儿童的数量表征及其数学发展影响最大。此外，后续干预研究需要系统地调查各类干预训练方法在数量表征上的效果，并根据儿童的年龄与认知水平差异，探索与之相适应的训练方案，为教育实践提供参考。

陈英和.(2015).儿童数量表征与数概念的发展特点及机制.心理发展与教育,31(1),21-28.

陈英和,赖颖慧.(2013).儿童非符号数量表征的特点及作用探析.北京师范大学学报(社会科学版),1,33-41.

赖颖慧,陈英和,陈聪. (2012).视知觉线索对幼儿小数离散数量表征的影响. 心理发展与教育,4,337-344.

刘国芳,辛自强.(2012).数字线估计研究：“模型”背后的策略.心理研究,5(2),27-33.

卢淳,郭红力,司继伟,孙燕. (2014). 不同数字线下儿童与成人分数估计的表征模式. 心理发展与教育, 30(5), 449-456.

徐华.(2011).幼儿线性数量表征的形成及其机制(博士学位论文).北京师范大学，北京.

徐华,陈英和.(2012).儿童数字线估计研究的述评与前瞻.心理研究,5(5),46-50.

张丽,卢彩芳,杨新荣.(2014).3-6年级儿童整数数量表征与分数数量表征的关系.心理发展与教育,1,1-8.

周广东,莫雷,温红博.(2009).儿童数字估计的表征模式与发展.心理发展与教育,4,21-29.

Bailey, D.H., Siegler, R.S., & Geary, D.C.( 2014). Early predictors of middle school fraction knowledge.DevelopmentalScience, 17, 775-785.

Booth, J.L., & Siegler, R.S.(2006). Developmental and individual differences in pure numerical estimation.DevelopmentalPsychology, 42, 189-201.

Brysbaert, M.(2004). Number recognition in different formats. In J. I. D Campbell, (Ed.),HandbookofMathematicalCognition(pp. 23-42). Psychology Press: New York.

Bulthé, J., De Smedt, B., & Op de Beeck, H.(2014). Format-dependent representations of symbolic and non-symbolic numbers in the human cortex as revealed by multi-voxel pattern analyses.NeuroImage, 87, 311-322.

Butterworth, B(2010). Foundational numerical capacities and the origins of dyscalculia.TrendsinCognitiveSciences, 14，534-541.

Cantlon, J. F., Safford, K. E., & Brannon, E. M. (2010).Spontaneous analog number representations in 3-year-old children.DevelopmentalScience, 13, 289-297.

Cohen, K. R., Lammertyn, J., & Izard, V.(2008). Are numbers special? An overview of chronometric, neuro imaging, developmental and comparative studies of magnitude representation.ProgressinNeurobiology, 84, 132-147.

Dehaene, S. (2008). Symbols and quantities in parietal cortex: Elements of a mathematical theory of number representation and manipulation. In P. Haggard, Y. Rossetti, & Y.M.Kawato (Eds.),Sensorimotorfoundationsofhighercognition,attention,andperformance(Attention and Performance Series), 22 (pp. 527-574). New York: Oxford University Press.

Dehaene, S., Izard, V., Spelke, E., Pica, P. (2008). Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures. Science, 320, 1217-20.

Dewind, N.K., & Brannon, E.M.(2012). Malleability of the approximate number system: Effects of feedback and training.FrontiersinHumanNeuroscience,6, 68.

Duncan, G.J., Dowsett, C.J., Claessens, A., Magnuson, K., Huston, A.C., & Klebanov, P. et al.(2007) .School readiness and later achievement. Developmental Psychology, 43，1428-1446.

Fazio, L.K., Bailey, D.H., Thompson, C.A., & Siegler, R.S.(2014). Relations of different types of numerical magnitude representations to each other and to mathematics achievement.JournalofExperimentalChildPsychology, 123, 53-72.

Feigenson, L., Dehaene, S., & Spelke, E.(2004). Core systems of number.TrendsinCognitiveSciences, 8, 307-314.

Fischer, M.H., & Brugger, P.(2011). When digits help digits: Spatial-numerical associations point to finger counting as prime examples of embodied cognition.FrontiersinPsychology, 2, 260.

Friso-van den Bos, I., van der Ven, S.H.G., Kroesbergen, E.H.,& Van Luit, J.E.H.(2013). Working memory and mathematics in primary school children: A meta-analysis.EducationalResearchReview, 10, 29-44.

Fuchs, L.S., Schumacher, R.F., Long, J., Namkung, J., Hamlett,C.L. et al.(2013). Improving at-risk learners’ understanding of fractions.JournalofEducationalPsychology,105,683-700.

Fuhs, M.W., & McNeil, N.M.(2013). ANS acuity and mathematics ability in preschoolers from low-income homes: Contributions of inhibitory control.DevelopmentalScience,16,136-148.

Geary, D.C., Hoard, M.K., Byrd-Craven, J., Nugent, L., & Numtee, C.(2007). Cognitive mechanisms underlying achievement deficits in children with mathematical learning disability.ChildDevelopment, 78, 1343-1359.

Gilmore, C.K., McCarthy, S.E., & Spelke, E.S.(2010). Nonsymbolic arithmetic abilities and mathematics achievement in the first year of formal schooling. Cognition,115, 394-406.

Halberda, J., Ly, R., Wilmer, J.B., Naiman, D.Q., & Germine, L. (2012). Number sense across the Life span as revealed by a massive Internet-based sample.ProceedingsoftheNationalAcademyofSciencesoftheUnitedStatesofAmerica, 109,11116-11120.

Halberda, J., Mazzocco, M.M.M., & Feigenson, L.(2008).Individual differences in non-verbal number acuity correlate with math achievement.Nature,455, 665-668.

Hyde, D.C., Khanum, S., & Spelke, E.S.(2014). Brief nonsymbolic, approximate number practice enhances subsequentexact symbolic arithmetic in children.Cognition,131,92-107.

Jacob, S.N., & Nieder, A.(2009). Notation-independent representation of fractions in the human parietal cortex.JournalofNeuroscience,29, 4652-4657.

Jacob, S.N., Vallentin, D., & Nieder, A.(2012). Relating magnitudes: The brain’s code for proportions.TrendsinCognitiveSciences,16, 157-166.

Jordan, K.E., & Brannon, E.M.(2006). The multisensory representation of number in infancy.ProceedingsoftheNationalAcademyofSciencesoftheUnitedStatesofAmerica,103, 3486-3489.

Jordan, N.C., Hansen, N., Fuchs, L.S., Siegler, R.S., Gersten, R. et al.(2013). Developmental predictors of fraction concepts and procedures.JournalofExperimentalChildPsychology,116, 45-58.

Laski, E.V., & Siegler, R.S.(2007). Is 27 a big number? Correlational and causal connections among numerical categorization, number line estimation, and numerical magnitude comparison.ChildDevelopment, 78, 1723-1743.

Laski, E.V., & Siegler, R.S.(2014). Learning from number board games: You learn what you encode.DevelopmentalPsychology, 50, 853-864.

Le Corre, M., & Carey, S.(2007). One, two, three, four, nothing more: An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles.Cognition, 105, 395-438.

Lipton, J., & Spelke, E.S.(2003). Origins of number sense: Large number discrimination in human infants.PsychologicalScience,14, 396-401.

Lourenco, S.F., & Longo, M.R.(2010). General magnitude representation in human infants.PsychologicalScience, 21, 873-881.

Lourenco, S.F., & Longo, M.R. (2011). Origins and development of generalized magnitude representation. In S. Dehaene & E. Brannon (Eds.),Space,time,andnumberinthebrain:Searchingforthefoundationsofmathematicalthought(pp.225-244). London: Elsevier.

Lyons, I.M., Price, G.R., Vaessen, A., Blomert, L., & Ansari, D. (2014). Numerical predictors of arithmetic success ingrades 1-6.DevelopmentalScience, 17, 714-726.

Newcombe, N.S., Levine, S.C., & Mix, K.(2015). Thinking about quantity: The intertwined development of spatial and numerical cognition.WileyInterdisciplinaryReviews:CognitiveScience,6, 491-505.

Nieder, A. (2011). The neural code for numbers. In S. Dehaene & E. Brannon (Eds.),Space,time,andnumberinthebrain:Searchingforthefoundationsofmathematicalthought(pp.103-118). London: Elsevier.

Nys, J., Ventura, P., Fernandes, T., Querido, L., Leybaert, J., & Content, A. (2013). Does math education modify the approximate number system? A comparison of schooled and unschooled adults.TrendsinNeuroscienceandEducation,2(1), 13-22.

Park, J., & Brannon, E.M.(2013). Training the approximate number system improves math proficiency.PsychologicalScience,24, 2013-2019.

Piazza, M., Pinel, P., Le Bihan, D., & Dehaene, S.(2007). A magnitude code common to numerosities and number symbols in human intraparietal cortex.Neuron,53, 293-305.

Ramani, G.B., & Siegler, R.S.(2008). Promoting broad and stable improvements in low-income children’s numerical knowledge through playing number board games.ChildDevelopment, 79, 375-394.

Ritchie, S.J., & Bates, T.C.(2013). Enduring links from childhood mathematics and reading achievement to adult socioeconomic status.PsychologicalScience, 24, 1301-1308.

Sadler, P.M., & Tai, R.H.(2007). The two high-school pillars supporting college science.Science, 317, 457-458.

Siegler, R.S.(2016).Magnitude knowledge: the common core of numerical development.Developmentalscience, 19(3),341-361.

Siegler, R. S., Booth, J.L.(2004). Development of numerical estimation in young children.ChildDevelopment, 75(2),428-444.

Siegler, R.S., Duncan, G.J., Davis-Kean, P.E., Duckworth, K., Claessens, A. et al. (2012). Early predictors of high school mathematics achievement.PsychologicalScience, 23, 691-697.

Siegler, R.S., & Mu, Y. (2008). Chinese children excel on novel mathematics problems even before elementary school.PsychologicalScience,19, 759-763.

Siegler, R.S., & Pyke, A.A.(2013). Developmental and individual differences in understanding fractions.DevelopmentalPsychology, 49, 1994-2004.

Siegler, R.S., & Ramani, G.B.(2009). Playing linear number board games - but not circular ones improves low-income preschoolers’ numerical understanding.JournalofEducationalPsychology,101, 545-560.

Siegler, R. S., Thompson, C. A., & Schneider, M. (2011). An integrated theory of whole number and fractions development. Cognitive Psychology, 62 (4), 273-296.

Thompson, C.A., & Opfer, J.E.(2008). Costs and benefits of representational change: Effects of context on age and sex differences in symbolic magnitude estimation.JournalofExperimentalChildPsychology, 101(1), 20-51.

Thompson, C.A., & Opfer, J.E.(2010). How 15 hundred is like15 cherries: Effect of progressive alignment on representational changes in numerical cognition.ChildDevelopment, 81, 1768-1786.

Torbeyns, J., Schneider, M., Xin, Z. Q., & Siegler, R. S.(2015). Bridging the gap: Fraction understanding is central to mathematics achievement in students from three different continents. Learning and Instruction, 37, 5-13.

Vukovic, R.K., Fuchs, L.S., Geary, D.C., Jordan, N.C., Gersten, R. et al.(2014). Sources of individual differences in children’s understanding of fractions.ChildDevelopment, 85, 1461-1476.

Watts, T.W., Duncan, G.J., Siegler, R.S., & Davis-Kean, P.E.(2014). What’s past is prologue: Relations between early mathematics knowledge and high school achievement. Educational Researcher, 43, 352-360.

Xu, F.,& Arriaga, R.I.(2007). Number discrimination in 10-month-old infants.BritishJournalofDevelopmentalPsychology, 25, 103-108.

(责任编辑胡岩)

10.16382/j.cnki.1000-5560.2017.05.012

上海市哲学社会科学规划课题“上海市数学学习困难儿童的诊断与干预研究”(2013JJY003)。