待定系数法在数学解题中的应用

孙婷

在数学学习中，待定系数法是常见的数学方法，也是重要的数学方法.一般来说，用待定系数法解数学问题时，它的结论是未知的，但结论的结构是可以判断出的某种确定的形式.在这种确定的形式中，只要求出其中一些关键的系数，问题的结论就求出来了.这些关键的系数叫作待定系数，这种解题方法叫作待定系数法.待定系数法解数学题的步骤：①确定所求问题含待定系数的解析式；②根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；③解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.

例1求（x2+x+3）5展开式中含x项的系数.

解：设（x2+x+3）5=a10x10+a9x9+…+a1x+a0（a1等是待定的系数），对式子两边求导数得5（2x+1）（x2+x+3）4=10a10x9+9a9x8+…+a1，令x=0，則a1=5×34=405.

例2已知数列{an}的前2项分别为23、79，以后的各项由公式an+2=23an+1+13an给出，求数列{an}的通项公式.

解：由an+2=23an+1+13an可设an+2+λan+1=μ（an+1+λan）（λ、μ是待定系数），从而有an+2=（μ-λ）an+1+λμan与an+2=23an+1+13an相比较得μ-λ=23λμ=13，解得λ=13μ=1或λ=-1μ=-13，从而an+2+13an+1=an+1+13an，且an+2-an+1=-13（an+1-an）.又a1=23，a2=79，于是an+1+13an=1且an+1-an=19·-13n-1.两式消去an+1得数列（an）的通项公式an=34+14×-13n.

例3已知圆过点A（1，4），且与过点B（6，8）的直线相切于点C（3，5），求圆的方程.

解：由两点式得过B，C的直线方程是x-y+2=0.设所求圆的方程为（x-3）2+（y-5）2+λ（x-y+2）=0（λ是待定系数），将点（1，4）代入此方程，解得λ=5.再代入（x-3）2+（y-5）2+λ（x-y+2）=0，求得圆方程为x2+y2-x-15y+44=0.

例4已知x，y，z都是正数，求xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解：由已知有：xy≤λx2+14λy2，2yz≤μy2+1μz2，λ，μ是正数（λ、μ是待定的系数）xy+2yz≤λx2+14λy2+μy2+1μz2=λx2+14λ+μy2+1μz2.令λ=14λ+μ=1μ，解得μ=255，λ=52.于是xy+2yz≤52x2+y2+z2.当λx2=14λy2，μy2=1μz2，即y=2λx=5x，z=μy=2λμx=2x时取等号，故xy+zyzx2+y2+z2的最大值52.

例5已知函数y=mx2+43x+nx2+1的最大值为7，最小值为-1，求此函数的表达式.

解：求函数的表达式，实际上就是确定系数m，n的值.将函数式变形为（y-m）x2-43x+（y-n）=0.因为x∈R，所以Δ=（-43）2-4（y-m）（y-n）≥0，即y2-（m+n）y+（mn-12）≤0.①要使函数有最大值7，最小值-1，亦就是-1≤y≤7.显然，（y+1）（y-7）≤7，即y2-6y-7≤0.②比较①②系数得方程组：m+n=6，mn-12=-7.解得m=5，n=1.或m=1，n=5.故所求函数表达式为y=5x2+43x+1x2+1或y=x2+43x+5x2+1.

总之，待定系数法是一种重要的学习方法，也是数学研究中一种不可缺少的数学方法.本文介绍了待定系数法在初等数学中数列、解析几何、导数中的应用，在以后的学习中还会遇到待定系数法在不定积分中、常微分方程中和初等数学中的应用.通过以上实例说明了待定系数法在数学学习中的重要性.