圆锥曲线焦点问题“面面观”

沈辉

圆锥曲线的焦点既给圆锥曲线定“位”，又直接影响着圆锥曲线中某些“量”的变化；另外，圆锥曲线的众多性质都依赖于焦点，所以由焦点引发出圆锥曲线的许多问题倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相. 本文主要从五个方面介绍与圆锥曲线焦点有关的问题.

圆锥曲线的焦点“定位”问题

例1 求过点（2，-2），且与[x22-y2=1]有相同渐近线的双曲线的标准方程.

解法一 分类讨论法.

由题意得，双曲线[x22-y2=1]的渐近线方程为[y=±22x].

（1）若所求双曲线焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）].

则[ba=22]，

[∴b=22a]. ①

又点（2，-2）在双曲线上，

[∴4a2-4b2=1]. ②

联立①②得，方程组无解.

（2）若所求双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为[y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）].

則[ab]=[22]，[∴a=22b]. ①

又点（2，-2）在双曲线上，

[∴4a2-4b2=1]. ②

联立①②得，

[a2=2]，[b2=4].

故所求双曲线方程为[y22-x24=1].

点评 确定圆锥曲线的方程包括“定位”和“定量”两个方面. 因此，在求解此类问题时，其通性通法是必须根据已知条件确定焦点的位置，不能确定焦点位置的，需对焦点是在[x]轴上还是在[y]轴上进行分类讨论，不能遗漏任何一种情况.

解法二 待定系数法.

因为所求双曲线与已知双曲线[x22]-y2=1有相同的渐近线，

故可设双曲线方程为[x22-y2=λ（λ≠0）].

又点（2，-2）在双曲线上，

[∴λ=42]-4=-2.

故所求双曲线的方程为[x22-y2=]-2，即所求双曲线方程为[y22-x24=1].

点评 涉及求圆锥曲线方程的问题，根据已知条件并不能判定焦点的位置时，先不要急着分类讨论解题，可以先理解题意，充分挖掘题目的个性特征，寻找思路更优的解法. 如解法二，在已知渐近线反常的条件下，利用双曲线系[x22-y2=λ（λ≠0）]求解，避免了分类讨论，显然优于解法一.

圆锥曲线的焦半径问题

例2 如图，椭圆：[x29-y24=1]的左、右焦点为[F1]，[F2]，点P为椭圆上的动点，当[∠F1PF2]为钝角时，求点P的横坐标的取值范围.

解析 设P的坐标为[（x0，y0）]，由椭圆方程[x29-y24=1]可得，a=3，[c=5]，[e=53].

由焦半径公式得，

[PF1=3+53x0]，[PF2=3-53x0].

又因为[∠F1PF2]为钝角，

所以[PF12]+[PF22]-[F1F22]<0.

所以[（3+53x0）2]+[（3-53x0）2]-20<0.

解得，[-355

所以点P的横坐标的取值范围是[（-355，][355）].

点评 连接圆锥曲线的焦点与曲线上任意一点的线段称为它们的焦半径. 有关圆锥曲线上的点与焦点的距离问题， 可考虑使用焦半径公式来处理. 本例充分利用[∠F1PF2]为钝角这一条件，由焦半径公式求得两条焦半径[PF1]，[PF2]的长，进而用余弦定理求解.

圆锥曲线中焦点三角形问题

例3 已知椭圆C与椭圆：[x2+37y2=37]的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点[（572，-6）].

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点P为椭圆C上一点，且∠F1PF2=[π3]，求△F1PF2的面积.

解析 （1）因为椭圆：[x237+y2=1]的焦点坐标为[（-6，0）， （6，0）]，

所以设椭圆C的标准方程为

[x2a2-y2a2-36=1（a2>36）].

将点[（572，-6）]代入上式整理得，

[4a4-463a2+6300=0].

解得，[a2]=100，或[a2]=[634]（舍去）.

所以椭圆C的标准方程为[x2100+y264=1].

（2）因为点P为椭圆C上任意一点，

所以[PF1+][PF2=2a=20].

由（1）知，c=6.

在△PF1F2中，[F1F2]=[2c]=12.

所以由余弦定理得，

[F1F22]=[PF12]+[PF22]-[2F1F22cosπ3]，

即[122=][PF12]+[PF22]-[PF1?PF2].

因为[PF12]+[PF22]=（[PF1+PF2）2]-[2PF1?PF2，]

所以[122=]（[PF1+PF2）2]-3[PF1?PF2].

所以[122=][202]-3[PF1?PF2].

所以[PF1?PF2]=[202-1223=32×83=2563].

故[SΔPF1F2][=12][PF1?PF2sinπ3]

[=12×2563×32=6433.]

所以△F1PF2的面积为[6433].

点评 椭圆或双曲线上的一点与两个焦点[F1]，[F2]所成的三角形，常称之为焦点三角形. 在解与焦点三角形有关的问题时，经常可考虑运用正、余弦定理和勾股定理等，通过变形，使之出现[PF1]与[PF2]的关系式，这样便于运用椭圆或双曲线的定义，求得[|PF1|·|PF2|]的值. 另外，在运算中要特别注意一些变形技巧和整体代换思想的应用.

圆锥曲线的焦点弦问题

例4 已知直线[l]经过抛物线[y2=4x]的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.

（1）若[AF]=4，求点A的坐标；

（2）求线段AB的长的最小值.

解析 由[y2=4x]得，p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）.

设A（[x1，y1]），B（[x2，y2]）.

（1）由抛物线的定义可知，|AF|=[x1]+[p2]，

从而[x1]=4-1=3.

代入[y2=4x]，解得，[y1=±23].

∴点A的坐标为（3，2），或（3，-2）.

（2）①当直线[l]的斜率不存在时，直线[l]的方程为x=1，与抛物线相交于A（1，2），B（1，-2），此时[AB]=4.

②当直线[l]的斜率存在时，设直线l的方程为y=[k（x-1）].

与抛物线方程联立得，[y=k（x-1），y2=4x.]

消去y整理得，[k2x2-（2k2+4）x+k2=0].

∵直线与抛物线相交于A，B两点，

则k≠0，并设其两根为[x1]，[x2].

∴[x1+x2=2+4k2].

由抛物线的定义可知，

|AB|=[x1+x2+p=4+4k2>4].

综上所述，[AB]≥4，即线段AB的长的最小值为4.

点评 圆锥曲线过焦点的直线与圆锥曲线相交， 两个交点连接而成的线段叫焦点弦. 由于焦点弦是圆锥曲线中一种特殊的弦，因此在解决此类问题时要充分挖掘焦点弦的特征，常用圆锥曲线的定义（特别是第二定义）将问题转化，利用焦点弦长公式并结合根与系数的关系求解. 本例第（2）问中，根据抛物线的定义，并结合焦点弦长公式[|AB|=x1+x2+p]把[|AB|]用含[k]的代数式表示出来，比直接用弦長公式[AB=（1+k2）x1-x2]整体代换、设而不求更简洁.

圆锥曲线中与焦点有关最值问题

例5 设P是抛物线[y2=4x]上的一个动点，F为抛物线的焦点.

（1）若点P到直线[x]=-1的距离为d，又A（-1，1），求[PA]+d的最小值；

（2）若B（3，2），求[PB]+[PF]的最小值.

解析 （1）依题意得，抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1.

由抛物线的定义知，[PF]=d.

于是问题转化为求[PA]+[PF]的最小值.

如图1，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为[22+12=5].

（2）把点B的横坐标代入[y2=4x]中得， [y=±12].

因为[12]>2，所以点B在抛物线内部. 自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1（如图2）.

由抛物线的定义知，[P1Q]=[P1F].

则[PB]+[PF]≥[P1B]+[P1Q]=[BQ]=4.

即[PB]+[PF]的最小值为4.

点评 在圆锥曲线中求解与焦点有关的两点间距离和的最值问题时，往往利用其几何特征，回归定义，化折线为直线解决最值问题. 如本例的第（1）问中的两定点位于抛物线两侧，直接利用“两点之间线段最短”求解；而第（2）问中的两定点位于抛物线同侧，则利用圆锥曲线的统一定义，将同侧（内部）问题转化为异侧问题，进而转化为第（1）问求解. 需指出的是，本例中亦可把抛物线改为椭圆或双曲线，同样有类似的问题.