独立性检验的解题策略

陈侃　陈梅

独立性检验在实际生活中有着广泛的应用，与它有关的试题比较新颖，贴近生活，对考查大家“获取信息、分析信息、应用信息的能力”以及“运用数学的思想和意识”起到了非常重要的作用. 本文通过几个例题对这一类问题进行分析，加以总结，找出解决这类问题的方法.

对分类变量概念的理解

例1 对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为（ ）

（1）A与B无关，即A与B互不影响

（2）A与B关系越密切，则K2的值就越大

（3）K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据

A. 1 B. 2

C. 3 D. 0

解析 （1）正确，A与B无关，即A与B相互独立；（2）错误，[K2]的值的大小只用来检验A与B是否相互独立；（3）错误，还可以借助三维柱形图、二维条形图等.

答案 A

点评 涉及独立性检验的概念问题，对基本概念的理解是求解的关键. 基本概念有分类变量、定量变量、列联表等.

分类变量的强弱关系

例2 分类变量X和Y的列表如下，则下列说法判断正确的是________. （填序号）

（1）ad-bc越小，说明X与Y的关系越弱

（2）ad-bc越大，说明X与Y的关系越强

（3）（ad-bc）2越大，说明X与Y的关系越强

（4）（ad-bc）2越接近于0，说明X与Y的关系越强

解析 判断两个变量是否有关系，可以考查[ad-bc]的值的大小. [ad-bc]的值越大，说明两个变量之间的关系越强；[ad-bc]的值越小，说明两个变量的关系越弱. 故此题填（3）.

答案 （3）

点评 在列联表中，如果两个分类變量没有关系，则[ad≈bc]，即[ad-bc≈0]. 所以在判断两个分类变量的强弱关系时，应判断[ad-bc]的大小.

考查[K2]的意义

例3 在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）

A. 若随机变量K2的观测值k>6.635，我们有99%的把握说明吸烟与患肺病有关，则若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

B. 若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病

C. 若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么有5%的可能性使得推断错误

D. 以上说法均不正确

解析 K2是确定多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”；并不是说有99%的可能患有肺病，也不能说在100个吸烟者中必有99个人患有肺病.

答案 C

点评 本题考查对独立性检验的结果与实际问题的差异的理解，独立性检验的结论是一种相关关系，它与实际问题中的确定性是存在差异的，是反映有关和无关的概率.

对两种表示方法的理解

例4 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下列联表.

参照附表，得到的正确结论是________.

（1）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

（2）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

（3）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

（4）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

解析 由K2≈7.8可知，[P（K2≥6.635）≈0.010]，在犯错误的概率不超过1%的前提下或有99%以上的把握，认为“爱好该项运动与性别有关”.

答案 C

点评 本题考查随机变量的观测值[K2]与临界值[k]的关系，使得在假设成立的情况下，观测值[K2]要大于该临界值[k]，然后得出结论.

独立性检验的综合问题

例5 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品. 从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，测量其内径尺寸，得结果如下表.

（1）分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（2）由以上统计数据填写2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

分析 独立性检验问题的一般步骤：①用相关数据作出列联表；②计算统计量[K2]的值；③与临界值比较，判断是否相关，若相关，得出相关结论.

解 （1）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为[360500]×100%=72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为[320500]×100%=64%.

（2）由题意得列联表如下.

点评 独立性检验的基本思想类似于反证法. 要确认“两个分类变量有关系”成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量[K2]应该很小. 如果由观测数据计算得到的[K2]的观测值很大，则在一定可信程度上说明假设不成立.