利用函数的单调性求参数的范围

■四川省广汉市第六中学 刘浩平

利用函数的单调性求参数的范围

■四川省广汉市第六中学 刘浩平

在导数类问题中,我们经常见到已知函数的单调性求参数的范围的题型。解决这类问题大多数同学想到的首先是通过“参变分离”的方法把问题转化为恒成立的不等式。然后,再求得含变量部分的最大值(或最小值),从而得到参数的最值。但是,这一方法有一弊端,那就是需要“参变分离”,一旦“参变分离”行不通这种方法就不可行了。所以,还应掌握另一方法——利用集合间的包含关系求参数范围。

一、转化为不等式的恒成立问题求参数范围

(1)求b,c的值;

(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间;

(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围。

解析:(1)f'(x)=x2-ax+b,由题意得解得,

(2)由(1)得,f'(x)=x2-ax=x(xa)(a>0)。当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0。所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a)。

(3)g'(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g'(x)=x2-ax+ 2<0成立,即x∈(-2,-1)时,。而=-22,于是,当且仅当,即x=-2时等号成立,所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-22)。

点评:转化为不等式的恒成立问题求参数范围的解决途径是:利用“若函数单调递增,则f'(x)≥0;若函数单调递减,则f'(x)≤0”来求解。其中,要用到“参变分离”的方法获得恒成立的不等式。

二、利用集合间的包含关系求参数范围

已知函数f(x)=lnx-a2x2+ ax(a∈R)。

(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围。

解析:(1)当a=1时,f(x)=lnx-x2+ x,其定义域是(0,+∞),则。令f'(x)=0,解得或x=1。又x>0,故x=1。当0< x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0。所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞)。

(2)显然函数f(x)=lnx-a2x2+ax的定义域为(0,+∞),所以

②当a>0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即。此时f(x)的单调递减区间为由得a≥1。

③当a<0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即此时f(x)的单调递减区间为由,得

点评:利用集合间的包含关系处理求参数范围的解决途径是:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集。需要特别提醒的是:f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)≠0。应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解。

(责任编辑 王福华)