决胜高考导数压轴题

■湖北省武汉市黄陂区第六中学 梅 磊

决胜高考导数压轴题

■湖北省武汉市黄陂区第六中学 梅 磊

由于导数是高等数学的基础知识,不等式是高中数学最重要的工具之一,对中学生来说,导数与不等式问题具有思维能力要求高、解题方法灵活、难度大等特点,所以几乎每年高考数学理科卷的压轴题都是导数不等式问题。本文结合近几年高考数学理科卷的压轴题,对导数与不等式问题进行分类例析,希望对同学们的学习能有所帮助。

一、函数不等式的证明问题

(1)求a,b的值;

(2)证明:f(x)>1。

设函数g(x)=xlnx,则g'(x)=1+ lnx。当时,g'(x)<0;当x∈时,g'(x)>0。故g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为所以

综上所述,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1。

点评:本题第(1)问考查函数图像在某一点处的切线与函数的导数的关系,即导数的几何意义,比较简单。第(2)问是函数不等式的证明问题,要证明不等式f(x)>1,常用的方法是求函数的导数,讨论函数的单调性,得到函数的大致图像,进而得到结论。但本题不易求出f'(x)的零点,从而需要同学们打破常规思路,将要证明的不等式合理转化。将证明不等式转化为证明不等式后,问题便迎刃而解。

二、函数不等式中参数的取值范围问题

设函数f(x)=x2+ax+b, g(x)=ex(cx+d)。若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P有相同的切线y=4x+2。

(1)求a,b,c,d的值;

(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围。

解析:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2, f'(0)=4,g'(0)=4。而f'(x)=2x+a, g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a= 4,d+c=4。从而a=4,b=2,c=2,d=2。

(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2, g(x)=2ex(x+1)。设函数F(x)= kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F'(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+ 2)·(kex-1)。由题设可得F(0)≥0,即k≥1。令F'(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2。

①若1≤k0。所以F(x)在(-2,-lnk)上单调递减,在(-lnk,+∞)上单调递增。故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(-lnk)。而F(-lnk)= -2lnk+2-(-lnk)2-4(-lnk)-2= lnk·(-lnk+2)≥0,故当x≥-2时, F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立。

②若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(exe-2),从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增。而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立。

③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2= -2e-2(k-e2)<0,从而当x≥-2时, f(x)≤kg(x)不可能恒成立。

综上可知,k的取值范围是[1,e2]。

点评:本题以不同函数在同一点处有相同切线为立意命题,第(1)问考查导数的几何意义,比较简单。第(2)问是求函数不等式中参数的取值范围问题。可以利用f(x)≤kg(x)构造出新的函数F(x)=kg(x)-f(x),并灵活运用导数研究此函数的性质,从而求出有关参数的取值范围。

三、导数综合题中间接考查不等式问题

(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线y= f(x)的切线?

(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x> 0),讨论h(x)零点的个数。

解析:(Ⅰ)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f'(x0)=0,即解得

(Ⅱ)当x∈(1,+∞)时,可知g(x)= -lnx<0,则h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)上无零点。

当x∈(0,1)时,g(x)=-lnx>0,所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数。

(1)若a≤-3或a≥0,则f'(x)= 3x2+a在(0,1)上无零点,故f(x)在(0,1)上单调。而,所以,当a≤-3时,f(x)在(0,1)上有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)上没有零点。

点评:本题第(Ⅰ)问仍然是考查导数的几何意义的基础题型,比较简单。第(Ⅱ)问在“最小值函数”这个特殊背景下命题,对同学们提出了“破解定势,思考本质”的要求。很多同学发现这道题是一个分段函数以后,就试图去求两个函数的交点,从而写出函数的解析式。但是本题联立两个方程后得到一个超越方程,无法求解。本题是求“零点的个数”问题,一味地去找分段边界无异于舍本逐末。事实上,只要观察f(x)的零点位置与g(x)的零点位置之间的关系即可。

纵观以上三道例题,第一问都是涉及曲线的切线问题,即考查导数的几何意义,同学们要引起重视。第二问虽然考查形式不同,但实质都是导数与不等式问题,突出考查转化与化归和分类讨论的数学思想。

高考导数压轴题以考查函数的单调性为核心,研究函数的单调性实际上就是研究函数的导数,函数的最值与函数的单调性紧密相连,而不等式又与函数的最值密切相关,所以解决高考导数压轴题的关键在于不等式。

同学们可以将近几年的高考数学卷中的导数压轴题加以练习,不断地在式子的变形中观察对比结构特征,求同存异,提炼有效信息,积累解题经验,体会高考导数压轴题的特点和突破策略,必然会形成属于自己的自然而常规的思路,从而能有效地提高导数压轴题复习备考的效率。

只有通过大量挑战高考导数压轴题的训练,才能经历从不了解到了解,从了解到理解,从理解到掌握,从掌握到灵活运用的过程,从而征服高考导数压轴题。

(责任编辑 王福华)