利用导数解决含参数的几类问题

利用导数解决含参数的几类问题

■山东省菏泽市第一中学 朱雅琪

导数的应用是高中数学的重点和难点,其中求参数的取值范围的问题是我在学习过程中感觉比较棘手的难点。在大量的练习和反思中,我总结出了解决这些问题的常见方法,与大家分享。

一、已知函数单调性，求参数取值范围

函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+ 6a x+8,其中a∈R。若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围。

解析：f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a= 6(x-a)(x-1)。

方法1 当a＞1时,f'(x)＞0在(-∞,1),(a,+∞)上成立,符合题意。

当a=1时,f'(x)=6(x-1)2≥0恒成立,f(x)在(-∞,+∞)上递增。

当a＜1时,f(x)在(-∞,a),(1,+∞)上单调增,要保证f(x)在(-∞,0)上单调增,则需0≤a＜1。

综上所述,当a≥0时,f(x)在(-∞,0)上单调增。

方法2 因为f(x)在(-∞,0)上单调增。所以f'(x)≥0在x∈(-∞,0)上恒成立。

故x(x-1)≥a(x-1)在x∈(-∞,0)上恒成立。因为x＜0,所以x-1＜0,x≤a从而a≥0。

点评：先求f'(x),讨论f'(x)=0两根的大小并判断函数f(x)的单调性,也可以利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题。

二、已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围

已知函数f(x)=x3+a x2+时都取得极值。

(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;

(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)＜c2恒成立,求c的取值范围。

从而c2＞2+c,解得c＜-1或c＞2。

点评：在利用不等式求参数取值范围时,通常要构造一个新的函数g(x),转化为恒成立问题。若类似于a≥g(x),则只要a≥g(x)max;若类似于a≤g(x),则只要a≤g(x)min。

三、已知函数图像的交点情况，求参数的取值范围。

已知函数f(x)=a x3+b x2-3x在x=-1,x=1处取得极值。

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围。

解析：(1)易得f(x)=x3-3x。

(2)设切点为M(x0,x30-3x0),因为f'(x)=3x2-3,所以切线方程为y-m= (3x20-3)(x-1)。又切线过点M,所以x30-

因为过点A可作曲线的三条切线,所以关于x0的方程(*)有三个不同的实数根。

所以g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,故函数g(x0)的极值点为x0=0,x0=1。

所以关于x0的(*)式有三个不同实根的充要条件是解得-3＜m＜ -2。实数m的取值范围是(-3,-2)。

点评：求解本题的关键是将切线的个数转化为方程实数根的个数,进而转化为函数零点的问题。

(责任编辑 徐利杰)