高中数学中的平面几何例解与分析

2017-02-16罗琨

文理导航 2017年2期

罗琨

【摘要】当前高考的题型逐渐趋向于考核高中生的综合解题能力和创新能力。高中数学是一门强调逻辑性和思维严谨性的学科，其中平面几何的课程内容是高中生数学学习的重难点。本文探讨了高中生们出现数学学习障碍的主要原因，并根据自己的学习经验总结了几点高中数学平面几何的学习技巧，再结合相关例子进行分析探讨。

【关键词】高中数学教学；示错教学；意义；策略

前言

新课改背景下平面几何的课程内容发生了较大变化，高考中更是出现各种新颖的题型。在平面几何的学习过程中同学们应当遵循有针对性、灵活性和创造性的原则，在大量的练习实践中去突破自己的思维局限，因此进行平面几何的例解与分析对提高学生们的学习成绩具有重要的研究意义。

1.高中数学学习容易走进的误区

首先，目前有很多同学在学习上产生了一定的依赖心理。一方面，学生依赖于老师给的学习方法模板，并未研究属于自己的一套学习方式；另一方面，依赖于身边的人的督促，没有形成主动学习的意识。通常老师在课堂上都要分析课程重难点的学习方法，而部分同学经常上课漏记笔记，对概念一知半解，死记硬背相关方程，没有做到灵活学习。高中数学相对于初中来说，内容更加全面，题目的深度和广度都有一定的加强，这就要求我们在学习新知识后进行大量的练习加以巩固。

2.高中数学平面几何的学习技巧

几何学被广泛应用在科学研究和生活建筑的各个方面，要学好平面几何，可以从以下几个方面把握相关技巧：

第一，在概念和定理的学习中，概念要学会转化成几何语言来表述，定理要分清适用条件和适用图形。例如一个简单的例子，对于线段中点的定义，我们可以转化成这样的几何方式：点A、B、C在同一直线上，由于AC=BC，所以C点是线段中点，我们还可以倒过来想，若C是中点，可以得到2AC=2BC=AB，这样我们就能清楚地看到其包含的计算关系。

第二，在例题和练习题的学习中，例题能够促进课文中基本概念、定理等基础知识的掌握，练习题则可以考验学生对其运用的灵活度，若能有效地进行练习，就能达到举一反三的效果。

3.高中数学平面几何图形例解与分析

下面从圆、双曲线和线性证明三个方面解析平面几何。

3.1圆的知识应用

圆的方程有这两个表达方式，

（1）圆的标准方程：（x-a）2+（y-b）2=r2，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径。

（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2+4F>0），圆心坐标为：（-2/D，-2/E），半径为：r=。

例：设f（x）=（x-2005）（x+2006）的图像与坐标有三个交点A、B、C，则过圆与坐标轴的另一交点D坐标为多少？我们可以进行如下分析：

若求得函数f（x）=（x-2005）（x+2006）与坐标轴的交点A（2005，0）B（-2006，0），C（0，-2005×2006），然后求出A、B、C三点的圆的方程，最后求圆与坐标轴的另一交点显然运算量过大，若考虑过三点A、B、C的圆与O点的关系，设另一交点D，则可借助相交弦定理：|OA|·|OB|=|OC|·|OD|，可以得到2005×2006=2005×2006·|OD|，则|OD|=1，因此D点的坐标为（0，1），因此在做题时应当注意思维的发散运用。

3.2双曲线的知识应用

由双曲线的标准方程为：

（1）-=1（a>1，b>0）焦点为（±c，0）

（2）-=1（a>0，b>0）焦点为（0，±c）

A、b、c的关系为：c2=a2+b2

双曲线的渐近线方程：y=±x

例：已知双曲线-=1（a>1，b>0）的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=|PF2|。求双曲线离心率e的最大值，并写出此时双曲线的渐近线方程。我们可以这样考虑：

由|PF1|=3|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a得到|PF2|=a，c-a≤|PF2|，則c≤2a，所以e=≤2，当e取最大值2时，==

所以双曲线的渐近线方程为：y=±

3.3线性关系证明应用

如下图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F，证明∠DEN=∠F。分析如下：

以M为原点，AB为X轴，以垂直方向线段为Y轴建立坐标系，可以把CD看做是圆周上的动点，设AD=BC=r，则C点可以看做是以B为圆心，r为半径的圆周上的动点，D点同样对待，这样我们就可以得到：